一個數學家的嘆息:如何讓孩子好奇、想學習,走進數學的美麗世界
一個數學家的嘆息:如何讓孩子好奇、想學習,走進數學的美麗世界
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商品介紹
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  • 為什麼有趣的數學,會變成無趣的科目,讓許多學生討厭、害怕?

    這本薄薄的小書,用最簡潔的方式描述數學之美與樂趣所在,並且批判今日僵化的數學教育(背公式、大量的習題),忽略了帶領學生思考問題的過程:然而,正是在對數學的思考當中,人才是活著的,孩子的心智會打開,主動產生興趣。
    本書對於美國K-12(從幼稚園到十二年級)的數學教育做出了強烈的批判,然而在台灣,問題也是一樣嚴重。我們本來可以給孩子更好的數學體驗,讓他們喜歡上數學,有好奇心,這全看我們怎麼教。只要那一點點的改變。

    作者是一位傑出的數學家,他發願來教中小學的數學,希望呈現給孩子們數學的趣味、和充滿想像力的一面,因為:

    數學是一門藝術,重要的是過程,是遊戲,是玩,是去做。

    因此他非常批判「死記硬背」、「給答案」、「省略思考過程」的教學方式。
    他於2002年寫成本書的初稿,只有薄薄的25頁,然而在史丹佛大學的齊斯.德福林教授的推薦下,於美國數學協會(Mathematical Association of America)的網誌上發布後,在數學社群中引起極大的迴響,因而出版成書。

    如何尋回數學課堂上的遊戲與歡樂?如何領略數學之美?
    這本書,既是為孩子抱不平,也為數學這門偉大的藝術平反。本書可帶領孩子們認識數學具有創意、想像力的一面,也讓成年人重新發現——數學的樂趣。
  • 保羅‧拉克哈特Paul Lockhart

    他原本在美國的布朗大學、加州大學聖塔克魯茲分校擔任數學教授。從2000年開始,他自願到紐約布魯克林的聖安學校(St. Ann's School)教導K-12(從幼稚園到十二年級)的數學課。
    他是一位傑出的數學家,發願來教中小學的數學,希望能呈現給孩子們數學的美感、和充滿想像力的一面,他非常批判「死記硬背」、「省略思考過程」的教育方法。
    本書是他的第一本書,書一出版即在數學教育圈造成轟動。除了本書之外,他另著有新書《Measurement》。

    譯者簡介
    高翠霜

    台灣大學經濟系畢業、美國紐約州立大學石溪分校經濟碩士,曾任職經建會、經濟部國營會、台灣綜合研究院、行政院副院長室、行政院胡勝正政務委員辦公室。譯有《Career關鍵14年》(天下文化)、《績效評估》(天下文化)、《大改變》(先覺)、《通膨、美元、貨幣的一課經濟學》、《贏家的詛咒》、《常識經濟學》、《了解總體經濟的第一本書》(以上經濟新潮社出版)等書。

  • 【專業推薦】
    洪萬生 臺灣師範大學數學系退休教授
    鄭國威 PanSci泛科學總編輯
    何琦瑜《親子天下》總編輯

    這是我所見過,對於目前的數學教育最棒的評論之一。
    ——齊斯.德福林(Keith Devlin),史丹佛大學人文科學與先端科技研究中心共同創辦人,《數學的語言》(商周)作者

    作者寫出了很重要、很平易近人的悲嘆與狂喜。他哀嘆的是今天數學教育的現狀;而他也熱切盼望老師們能得到鼓舞,帶領學生們體驗數學裡頭十分刺激的「概念的詩意」,而且真的是如此。
    ——貝利‧馬祖爾(Barry Mazur ),哈佛大學校聘數學教授

    本書的論述精妙,任何對數學教育有興趣的人都應該要讀。我保證他們會喜歡這個閱讀經驗,不論他們是否完全同意拉克哈特所寫的內容。
    ──布萊恩‧邦區(Bryan Bunch),《The Kingdom of Infinite Number》作者

    這本關於數學的簡短又中肯的小書,對你我當初學習這個科目的方法提出了強烈的抗議。繪畫只是在有數字的區塊裡塗上顏色嗎?落日夕陽只是一系列的光譜及方向的指示嗎?拉克哈特主張,數學不只是定義和公式。想要尋回數學課堂上的遊戲和歡樂,他告訴我們,需要做的只是回復到真正的數學。
    ——羅伯‧克里斯(Robert P. Crease),《史上最美的十項科學實驗》(臉譜)作者

    "'〔推薦序〕
    大破大立
    ──難得一見的數學教育好書

    洪萬生/台灣師大數學系退休教授

     

      這本書《一個數學家的嘆息》應該是我所見過的數學教育宣言中最基進的(radical)一篇了。作者保羅.拉克哈特(Paul Lockhart)是一位成功的專業數學家,公元2000年,他毅然轉入紐約市一所涵蓋K-12年級的中小學任教,身體力行他認為有意義的數學教學活動。本書即是他的現身說法,因此,他對於美國目前中小學數學教育的現實之沉重但真誠的嘆息,似乎沒有幾個有識之士敢視而不見。
      事實上,本書(分上、下兩篇)所呈現的願景,乃是中小學數學教育的一種烏托邦。通常我們面對烏托邦,似乎總是看看就好,大可不必認真。然而,我仔細閱讀(英文原文⊕中譯文)之後,對於邀約寫序,多少有些猶豫與掙扎。對照我自己的數學經驗,我將如何推薦本書呢?我自己曾在台灣師大數學系任教將近四十年,主要授課如數學史都涉及未來與現職的中學教師之專業發展,而且也曾指導過幾十位在職教師班的碩士生,所以,我對於(台灣)數學教育現實的興革,當然也有相當清晰的理想與願景。不過,經歷過那麼多的數學教育改革爭議之後,我覺得務實地訓練與提升教師的數學素養,恐怕是最值得把握的一條可行進路。
      話說回來,作者的願景所引伸出來的策略,也並非完全不可行!譬如說吧,在本書結束時,作者語重心長地鼓勵老師「需要在數學實在中悠遊。你的教學應該是從你自己在叢林中的體驗很自然地湧出,而不是出自那些在緊閉窗戶車廂中的假遊客觀點。」因此,「丟掉那些愚蠢的課程大綱和教科書吧!」因為「如果你沒有興趣探索你自己個人的想像宇宙,沒有興趣去發現和嘗試了解你的發現,那麼你幹嘛稱自己為數學教師?」
      對許多數學教師來說,要是丟掉課程大綱與教科書,大概會有一起丟掉洗澡水與嬰兒的制式(conventional)焦慮感,儘管有一些教師平常教學時,根本不太理會課程大綱與教科書內容,而只是使用自己或同仁共同編輯的講義。然而,不管你是否贊同拉克哈特的主張,也不管他的主張是否能夠付諸實現,本書是老師、家長與學生都不容錯過的金玉良言,值得我們咀嚼再三。底下,我要稍加說明我大力推薦本書的三個理由。
      本書上篇主題是「悲歌」,依序有〈數學與文化〉、〈學校裏的數學〉、〈數學課程〉、〈中學幾何:邪惡的工具〉以及〈「標準」數學課程〉等五節。下篇主題是「鼓舞」,但不分節論述。上篇文字曾由齊斯.德福林(Keith Devlin)安排,在MAA線上(MAA Online)每月專欄「德福林觀點」全文披露(2008年3月),獲得大大超乎預期的迴響。在上篇一開始,作者拉克哈特利用虛構的音樂與繪畫之學習夢境,說明相關語言或工具的吹毛求疵,讓這些藝術課程之學習,變得既愚蠢又無趣,最終摧毀了孩子們對於創作模式那種天生的好奇心。或許上述夢魘並非真實,但是,「類比」到數學教育現場,卻是千真萬確。而拉克哈特的立論,是一般人容易忽略的數學知識活動特性:數學是一門藝術!至於它和音樂和繪畫的差別,只在於我們的文化並不認同它是一門藝術。拉克哈特進一步指出:
     事實上,沒有什麼像數學那樣夢幻及詩意,那樣基進、具破壞力和帶有奇幻色彩。我們覺得天文學或物理學很震撼人心,在這一點上,數學完全一樣(在天文學發現黑洞之前,數學家老早就有黑洞的構想了),而且數學比詩、美術、或音樂容許更多的表現自由,後者高度依賴這個世界的物理性質。數學是最純粹的藝術,同時也最容易受到誤解。

      這種主張呼應了英國數學家哈帝(G. H. Hardy)之觀點:數學家是理念模式(patterns of ideas)的創造者。在他的《一個數學家的辯白》(A Mathematician’s Apology)中,哈帝藉此宣揚他的柏拉圖主義(Platonism)。不過,拉克哈特卻將柏拉圖的理念(ideas)拉回到人類玩遊戲的層次:「我純粹就是在玩。這就是數學──想知道、遊戲、用自己的想像力來娛樂自己。」事實上,在遊戲的情境中,人們會基於天生的好奇,而開始探索。而這無非是人類學習活動的最重要本質所在。反過來,如果數學學習只是要求學生死背公式,然後在「習題」中反覆「套用」,那麼,「興奮之情、樂趣、甚至創造的過程會有的痛苦與挫折,全都消磨殆盡了。再也沒有困難了。問題在提出來時也同時被解答了──學生沒事可做。」對於這種強調精準卻無靈魂地操弄符號的文化及其價值觀,拉克哈特利用簡單例證戳破它的虛幻,這是我大力推薦本書的第一個理由。
      在〈學校裏的數學〉這一節中,拉克哈特指出教改迷思,在於它企圖「要讓數學變有趣」,以及「與孩子們的生活產生關連」。針對這兩點,他的批判非常犀利:「你不需要讓數學有趣──它本來就遠超過你了解的有趣!而它的驕傲就在與我們的生活完全無關。這就是為什麼它是如此有趣!」顯然為了達到「有趣」與「關連」的目的,教科書的編寫難免「牽強而做作」。譬如,為了幫助學生記憶圓面積和圓周公式,拉克哈特認為:與其發明一套圓周先生(Mr. C)和面積太太(Mrs. A)的故事,不如敘說阿基米德甚至劉徽有關圓周率的探索史實,說不定更能觸動學生的好奇心靈。這種強調發生認識論(genetic epistemology)的歷史關懷,也與他批判數學課程的缺乏歷史感互相呼應。
      拉克哈特對於數學課程的僵化之批判,還擴及它所連結的「階梯迷思」,他認為這種一個主題接一個主題的進階安排,除了淘汰「失敗的」學生之外,根本沒有(其他)目標可言。因此,學校裏的數學教育所依循的,「是一套沒有歷史觀點、沒有主題連貫性的數學課程,支離破碎地收集了分類的主題和技巧,依解題程序的難易度湊合在一起」。相反地,「數學結構,不論是否具有實用性,都是在問題背景之內發明及發展出來的,然後從那個背景衍生出它們的意義」。
      或許有人說,中學的幾何課程可以滿足此一智性需求,不過,拉克哈特卻將它稱為「邪惡的工具」。作者在〈中學幾何:邪惡的工具〉這節中,指出數學證明的意義在於「說明,而且應該說明得清楚、巧妙且直截了當」,同時,只有當你想像的物件之行為違反了直覺,或者有矛盾出現時,嚴謹的證明才有其必要,而這當然也符合歷史真實。基於此,他嚴厲批判「兩欄式證明」(two-column proof)既沉悶又「沒有靈魂」,學生只是被訓練去模仿,而不是去想出論證!
      在作者深刻批判學校數學、課程綱要以及幾何證明之後,他還揭露了一個目前通行的「標準數學課程」之真相,這個戳破學校數學(school mathematics)神話的深刻反思,是我大力推薦本書的第二個理由。
      在上篇解構性的「大破」之後,拉克哈特在本書下篇當中,為我們貢獻了令人鼓舞的「大立」,這是我大力推薦本書的第三個理由。在本篇中,拉克哈特想像了一個數學實在(mathematical reality),其中「充滿了我們為了娛樂自己而建構出來(或是偶然發現)的有趣又可愛的架構。我們觀察它們、留意它們的模式、嘗試做出簡潔又令人信服的敘述,來解釋它們的行為」。至於如何做數學?拉克哈特利用實例演示,啟發我們「與模式遊戲、注意觀察事物、做出猜測、尋找正反例、被激發去發明和探索、製作出論證並分析論證,然後提出新的問題」。此外,他還特別提醒:小孩子都知道學習和遊戲是同一回事。可惜,成年人已然忘卻。因此,他最後給讀者的實用忠告是:玩遊戲就對了!做數學不需要證照。數學實在是你的,往後的人生你都可以悠遊其中。
      總之,本書作者分享了他自己基於好奇,探索數學知識活動被忽略面向的深刻體會,其中他認為數學如同音樂、繪畫及詩歌一樣,也是一門藝術。同時,學習與遊戲是同一回事。因此,在遊戲的情境中,基於人類天生的好奇心而探索模式,才是學習數學的正道。這也部分解釋了何以他那麼重視數學史的殷鑑,因為數學都是從歷史脈絡(context)產生,並因而獲得意義。
      對於教師或甚至家長來說,如果你覺得本書的主張太過基進,不妨參考作者的玩數學比喻,那麼,你對數學學習一定會有全新的體會。根據寵物書籍的說明,離開幼兒階段還喜歡遊戲的物種,只有成年人和成犬而已。人類幼童利用遊戲來學習包括數學在內的各種事物。如今,我們身為成年人,甚至有幸帶領小孩子學習,為什麼不可以繼續玩下去呢?

    〔推薦序〕
    數學差,不是你的錯
    ──別讓學校扼殺了創意!

    鄭國威/PanSci泛科學網站總編輯

    先說個我自己的真實故事吧。
    我小學的時候在學校功課排名前列,主要的原因是因為我就讀的學校規模非常小,一個年級才兩班,競爭不激烈,另一個原因是我的確有點小聰明,而且蠻喜歡唸書。那年頭,學業功課好,加上比較聽老師的話,很容易就獲得其他課外表現的機會,代表班級或學校去外頭參加比賽,也因此當了好幾年的模範生,拿了個縣長獎畢業。囂張的咧。數學?對學過珠心算的我太簡單了!

    但一上了國中,全都變了。我依舊很用功、大部分的科目考試成績不是滿分就是逼近滿分,但唯有數學,我連及格的一半都拿不到。「數學」,光是看到這兩個字就足以讓我產生頭昏想吐的感覺,甚至還更嚴重些,會緊張到冒汗、肚子痛。老師在黑板上用大大的三角尺跟大圓規畫的圖依舊精美,板書我能抄的都抄了,但我就是沒辦法理解這些數字跟圖形的邏輯。我慌了。
    於是我開始竄改成績單、竄改考卷分數,或是跟大雄一樣,總是以考卷沒帶回家或是丟了為藉口,不讓父母簽名。雖然現在回想起來真是很傻,但當時的我真的快被數學逼瘋了,每天提心吊膽。

    升上國二,狀況依舊沒變,但班導師換成了另一位在學校號稱王牌的數學老師。一天晚上,全家人都在客廳看電視的時候,電話響起,我坐在接起電話的父親對面,聽到他對話筒說「喔!老師好!」的時候,我的眼淚無法克制地決堤了。
    好消息是,後來在新任班導師的細心教導之下,我的數學解題能力提升了很多,應該說,他讓我學會用我能理解的方式把答案交出來。我心知肚明,我雖然同樣考90分、100分,但跟班上數學真的好的同學比起來,我的程度還是很差。我順利考上第一志願的高中,但我完全沒有跟父母商量,就決定去唸文組。因為那種根深柢固對數學的恐懼,始終沒有離去,高中的數學對我來說更是百倍猙獰的惡魔。

    於是我大學唸外語、研究所唸傳播,但也避開做量化研究。工作之後,做各式各樣的計畫,只要跟數學、算錢、預算有關,我就推掉。我生活節約,不想花錢,因為我不想算數學。但如果我花錢,我也不太在乎多少錢,有沒有打折,也不記錄開支,因為我不想算數學。我也不做任何投資理財,一切都交給家人處理。
    我不知道打開這本書的你是誰。是同樣害怕數學的學生,還是正在讓學生害怕數學的老師,抑或是擔憂孩子數學成績,正在物色補習班或家教老師的父母親。如果你都不屬於這三者,而是一個非常喜歡數學的人,那麼我反而要問:怎麼可能?

    這本書的英文原名是「一位數學家的嘆息」(A Mathematician’s Lament),本來也不是一本書,而是一篇2002年起開始在美國數學教師社群中流傳的文章。我看了前五頁,就覺得受震撼。而這種震撼,是一種「總算有人了解我的感覺」加上「曾經的恐懼跟傷疤又被碰觸」的綜合感受。每多讀一段,就越覺得明朗,了解自己為何當初會那麼畏懼數學。一口氣看完全書,彷彿是做了一次心理療程,把這段影響我人生選擇至巨的數學夢魘給重新詮釋了,原來數學差,並不是我的錯。
    作者將數學與繪畫、音樂相比,突顯出數學教育之僵硬跟死板。原來問題就是出在我們看待這門學科的角度完全錯誤,將數學當作其他理科的基礎,要求絕對的精準跟正確,按照既定的公式,強調快速(為了考試)、強調術語(為了顯得專業)、強調一切大部分人在日常生活中根本使用不到的東西(為了培養數學家……但到底為甚麼每個人都要被培養成數學家呢?)

    是甚麼讓這樣的教學結構如此穩固?是教科書跟參考書出版社、補習班產業、還是學校教育本身?看完這本書,我再次確認肯.羅賓森爵士(Sir Ken Robinson) 2006 年在TED 大會上的演說的確一點沒錯:「學校扼殺了創意」,而且是刻意為之。
    因為當代的教育制度繼承自工業革命時期,所以教育的目的就是為了創造工業需要的人才,到現在也沒有改變。大量產出工業需求的一致性勞動力是學校教育的目標,因此教學方式必須要有效率、必須要全國一致。美其名是公平,實際上是奴役。如今結合了教科書業者、補習班業者,成了龐大的教育控制複合體。

    數學教育特別嚴重。數學本該是供人無限想像空間的學科,因為不管思考的數學題目多麼天馬行空,多麼不切實際,都無所謂,沒有任何現實會受到傷害,除了成績單。因為害怕錯誤、對分數錙銖必較,有太多像我一樣的學生用背誦的方式學數學,靠著不斷解參考書跟考卷上的題目來磨練自己動筆的速度,但從來沒有體會過數學的樂趣,連想都沒想過數學會是有趣的。

    大多數看過這本書的國外讀者都給予很高的評價,或許因為作者揭開了國王新衣的真相,但作者除了對數學教育拋出銳利無比的批判,也在書的第二部分嘗試用他覺得真正對學生有益處的教學方式與每一位讀者互動。雖然作者只給了幾個案例,但我看見了他想要帶領學生進入的數學奇妙世界是甚麼樣子,而我也好希望在我國中或是更小的時候,就能夠看見這個世界。如果你是學生,希望這本書可以讓你重拾對自己的信心。如果你是老師,請審視自己到底是在教學還是扼殺學生。如果你是家長,請理解你的孩子正在遭受折磨,而那本不該發生,也不該是他的錯。

  • 前言
    齊斯.德福林(Keith Devlin)
    史丹佛大學教授

    2007年下半年,在我的一場演講會上,有個聽眾交給我一份25頁的打字文稿,標題是〈一個數學家的嘆息〉(A Mathematician’s Lament),說我可能會喜歡這篇文章。這篇文章是一位數學教師保羅.拉克哈特(Paul Lockhart)在2002年所寫的,從那時起,它就在數學教育的小圈子裏祕密流傳,但是從未正式發表過。這位聽眾顯然低估了我的反應──我非常地喜歡這篇文章。這位保羅.拉克哈特,不論他是何方神聖,我覺得他的文字應該有更廣大的讀者,因此,我做了一件以前從未做過,未來也可能不會再做的事:找尋這篇文章的作者──這有點難,因為文章裏沒有聯絡資訊──並且得到他的同意之後,我在「美國數學協會」(Mathematical Association of America)的網誌MAA Online我的每月專欄「德福林觀點」(Devlin’s Angle)當中,以該文的原貌轉載全文。這是能讓這篇文章在數學界及數學教育圈子曝光,我所知道最快而且最有效的方法。

    2008年3月,〈一個數學家的嘆息〉在我的專欄中刊出時,介紹文我是這樣寫的:

    坦白說,這是對於當前K-12(從幼稚園到十二年級)的數學教育,我所見過寫得最好的評論之一。

    當時我期待會有熱烈的迴響。文章刊出後,引來的是燎原大火。保羅的文字在全世界激起了極大的共鳴。除了許多人寫email來表達讚賞之意,還有蜂擁而至的請求,要求授權轉載以及翻譯──礙於協議,我沒有刊登保羅的聯絡方式,所以很多要求是衝著我而來的。(你手上的這本書,也是因此而產生的。)
    保羅所說之事,許多數學家及數學教師也曾經說過。對於數學教育理念不同,因而反對保羅觀點的人,保羅所提出的觀點也不是新鮮事。不同的是,保羅文字中的說服力以及他所流露出的強烈熱情。這不只是一篇好文章;這是偉大的作品,真正的發自內心。

    毫無疑問,〈一個數學家的嘆息〉一文以及因而衍生出的這本書,都是表達意見的作品。保羅對於應該如何教授數學有很強烈的意見,而且強力辯護他所主張的教法,及反對現今學校數學教育的現狀。然而,除了他個人深具魅力的寫作風格之外,更特別的一點是,他對於艱難又備受爭議的數學教育課題,提出了看法,這是很少人能夠想得出來的。保羅的經歷比較少見,他是個成功的專業數學家,在大學裏教書,後來發現他的真正使命在K-12教育,因而投身其中,至今多年。
    這本書,在我看來,和它的原稿一樣,對於每一位要從事數學教育的人、每一位學齡孩子的家長、每一位負責數學教學的學校或政府官員而言,都應該是必讀之作。你可能不是完全同意保羅的說法。你可能認為他主張的教學方法不是每位教師都能夠成功運用的。但是你應該讀一讀並想一想他的說法。這本書已經是數學教育世界裏的顯著地標,不能也不應該被忽略。在此我並不打算告訴你我認為你該做何回應。就像保羅自己也會同意的,這應該是讀者的事。但我要告訴你的是,我會愛死了保羅.拉克哈特來當我的數學老師。

    (數學家齊斯.德福林為2004年國際畢達哥拉斯獎、2007年卡爾.沙根科普獎得主。史丹佛大學人文科學與先端科技研究中心〔H-STAR〕共同創辦人及資深研究員,同時也是國家公共廣播電台〔National Public Radio〕週末版的「數學人」〔The Math Guy〕專欄作者。)

  • 前言 齊斯.德福林
    推薦序大破大立:難得一見的數學教育好書 洪萬生
    推薦序數學差,不是你的錯——別讓學校扼殺了創意! 鄭國威

    上篇 悲歌
    數學與文化
    學校裏的數學
    數學課程
    中學幾何:邪惡的工具
    「標準」數學課程

    下篇鼓舞

  • 上篇  悲歌

    一位音樂家滿身大汗地從噩夢中驚醒。夢中,他發現自己置身於一個奇特的社會,那裏的音樂教育是強迫性的。「我們是要幫助學生,讓他們在這個愈來愈多聲音的世界上,變得更有競爭力。」教育專家、學校體系以及政府,一起主導這個重要計畫。研究計畫的進行、委員會的組成、決策的形成──這些都沒有聽取任何一位現職音樂家或作曲家的意見,也沒讓他們參與。
    由於音樂家通常是把他們的構思,以樂譜的形式呈現出來,想當然爾,那些奇怪的黑色豆芽菜和線條就是「音樂的語言」。所以,要讓學生們擁有某種程度的音樂能力,當然他們得要相當精通這種語言;如果一個小孩對於音符和音樂理論沒有紮實的基本功,要他唱歌或演奏樂器,將是很可笑的事。演奏或是聆聽音樂(更不要說創作樂曲),被認為是相當高深的課題,通常要等到大學或甚至研究所,才會教他們這些。

    而在小學和中學階段,學校的任務就是訓練學生使用這個語言──根據一套固定的規則繞著符號打轉:「音樂課就是我們拿出五線譜紙,老師在黑板上寫下一些音符,然後我們抄寫下來,或是轉換成其他調。我們必須確定譜號和調號的正確性,而我們的老師對於四分音符是否塗滿,要求非常嚴格。有一次我在半音階(chromatic scale)的測驗題中答對了,老師卻沒給我分數,說我把音符的符幹(stems)擺錯了方向。」
    以教育工作者的智慧,他們很快就發現,即使很小的孩子,也可以給予這類的音樂指導。事實上,如果一個三年級的小孩無法完全記住五度循環(circle of fifths),就會被認為是很羞愧的事。「我得給我的小孩請個音樂教師了,他就是沒法專心做他的音樂作業。他說那很無趣。他就是坐在那裏望著窗外,自己哼著曲調,編一些愚蠢的曲子。」

    較高年級的學生,壓力就真的來了。畢竟,他們必須為標準化的測驗和大學入學考試做準備。學生必須修習音階和調式、拍子、和聲、對位等課程。「他們得學習一大堆東西,但是等到大學他們終於聽到這些東西,他們將會很感激在高中所作的這些努力。」當然,後來真的主修音樂的學生並不多,所以只有少數人得以聆聽到黑色豆芽菜所代表的聲音。然而,讓社會上每個人都知道什麼是轉調(modulation)、什麼是賦格(fugal passage)是很重要的,無論他們有沒有親耳聽過。「告訴你實話吧,大部分的學生就是不擅長音樂。他們覺得上課很無聊,他們的技能不佳,他們的作業寫得亂七八糟,難以辨認。而且大多數的學生,都不關心在現今世界上,音樂是多麼的重要;他們希望音樂課愈少愈好,而且能趕快上完。我猜人就只有兩種:音樂人和非音樂人。我碰到過一個小孩,她真是太優秀了!她的作業無懈可擊──每個音符都在正確的位置上,完美極了,既清楚又一致,真是美麗呀。她將來一定會成為偉大的音樂家。」

    這位音樂家一身冷汗地從夢中醒來,慶幸那只是一場瘋狂的夢境。他跟自己說:「當然,沒有哪個社會會將這麼美妙又有意義的藝術形式,分解到這麼不需動腦又支離破碎;也沒有哪個文化會這麼殘酷地剝奪孩子們這種展現人類情感的自然手段。這真是荒謬呀!」
     
    *   *   *

    可悲的是,我們數學教育目前的制度正好就是這樣的噩夢。事實上,如果我必須設計一套制度來「摧毀」孩子們對於「創造模式」與生俱來的好奇心,我不可能比現行制度做得更好──我就是無法想像出構成當前數學教育的這種毫無意義、壓迫心靈的方法。
    大家都知道這個制度有問題。政治家說「我們需要更高的標準」;學校則說「我們需要更多經費和設備」;教育家有一套說法,而教師們又有另一套說法。他們通通都錯了。唯一了解問題所在的是那些最常被責備,但是又最被忽略的人──學生。他們說「數學課愚蠢又無趣」,他們說對了。

    數學與文化

    首先我們要了解,數學是一門藝術。數學和其他類型的藝術如音樂和繪畫的差別只在於,我們的文化不認同數學是一門藝術。每個人都了解,詩人、畫家、音樂家創造出藝術作品,以文字、圖像及聲音來表達自我。事實上,我們社會對創造性的表達是相當大方的,建築師、廚師、甚至電視導播都被認為是職業上的藝術家。那麼,為何數學家不是呢?
    這個問題,有一部分原因出在,沒有人知道數學家到底在做些什麼。社會上的普遍認知似乎是,數學家和科學是有關連的──也許是因為數學家提供給科學家一些公式和定理,或者協助將一大堆數字輸入電腦。如果這個世界必須要分成「詩意夢想家」和「理性思考家」兩部分,毫無疑問,絕大多數人會把數學家放在後面那一類。

    然而,事實上,沒有什麼像數學那樣夢幻及詩意,那樣基進、具破壞力和帶有奇幻色彩。我們覺得天文學或物理學很震撼人心,在這一點上,數學完全一樣(在天文學家發現黑洞之前,數學家老早就有黑洞的構想了),而且數學還比詩、美術、或音樂容許更多的表達自由,後者高度倚賴這個世界的物理特質。數學是最純粹的藝術,同時也最容易受到誤解。
    因此讓我試著解釋數學是什麼,以及數學家做些什麼。我以哈帝(G. H. Hardy,英國數學家,1877-1947)絕佳的敘述做為開場:

    一位數學家,就像一位畫家或詩人,是模式(pattern)的創造者。如果他的模式比畫家或詩人的模式能留存得更久,那是因為這些模式是用理念(ideas)創造出來的。

    所以數學家的工作是做出理念的模式(making patterns of ideas)。什麼樣的模式?什麼樣的理念?是關於犀牛的理念嗎?不是的,那些留給生物學家吧。是關於語言和文化的理念嗎?不,通常不是。這些對大部分數學家的審美觀而言,都太複雜了。如果數學有一個統一的美學原則的話,那將是:簡單就是美(simple is beautiful)。數學家喜歡思考最簡單的可能性,而這種最簡單的可能性是想像的,不見得是現實存在的。
    例如,如果現在我在思考形狀──這是我常常做的──我可能會想像在長方形中有一個三角形:

    我想知道,這個三角形占據了長方形多少的空間?三分之二嗎?重要的是要了解,我現在探討的不是長方形內有三角形的這幅畫。我探討的,也不是一座組成橋樑上樑柱架構的那些金屬三角形。在此,並沒有那些深謀遠慮的實用目的存在。我純粹就是在玩。這就是數學──想知道(wondering)、遊戲(playing)、用自己的想像力來娛樂(amusing)自己。首先,三角形在長方形中占據了多少空間,甚至沒有任何真實、實體上的目的。即使是最謹慎小心製造出來的實體三角形,仍然是不斷震動的原子所組成的;它的形狀每分鐘都在改變。也就是說,除非你要探討「近似」(approximate)的度量。好了,這裏就會牽扯到數學的「美學」了。因為那樣就不單純了,它成為一個仰賴真實世界各式各樣細節的醜陋問題了。那些留給科學家去解決吧。數學提出的問題是,在一個想像的長方形中那一個想像的三角形。它的形狀邊緣很完美,因為我要它們很完美──這就是我喜歡思考的問題類型。這就是數學的一個主要特徵:你想要它是什麼樣,它就是什麼樣。你有無限多的選項;沒有真實世界來擋路。

    另一方面,一旦你做了選擇(例如,我可能選擇我的三角形是對稱的,或不是對稱的),然後,你這個新創造就會自行發展下去,不管你是否喜歡它的後續發展。這就是製造想像的模式時有趣的地方:它們會回應!這個三角形在長方形中占據了某個空間比例,而我完全無法控制這個比例為何。這個數字就擺在那裏,可能是三分之二,可能不是,但可不是我說了就算。我必須找出這個數字。
    因此,我們可以玩玩看,想像一下我們要什麼,然後做出模式,再對這套模式提出問題。但是我們要如何解答這些問題呢?這一點都不像科學,我沒辦法用試管、設備或是任何東西做實驗來告訴我,我想像出來的虛擬物的真相。能得知我們想像物的真相的唯一方法,就是運用我們的想像力,然而這是個艱苦的差事。
    在這個例子中,我的確看到了簡單又美妙的地方:

    如果我把長方形像上面那樣切成兩個部分,我可以看到這兩個部分都被三角形的斜邊斜切成一半,所以三角形裏面和外面的空間是相等的。也就是說,這個三角形一定是正好佔了長方形的一半!
    這就是數學的外貌和感覺。數學家的藝術就像這樣:對於我們想像的創造物提出簡單而直接的問題,然後製作出令人滿意又美麗的解釋。沒有其他事物能達到如此純粹的概念世界;令人著迷、充滿趣味,而且不花半毛錢!
    你也許要問了,我的這個想法又是從何而來的?我怎麼知道要畫那條輔助線?那我要問你了,畫家又是怎麼知道要在哪裏畫上一筆?靈感、經驗、嘗試錯誤、運氣。這就是藝術,創造出那些思想的美麗小詩,創造出那些純粹理性的詩篇。這個藝術型態有著某種東西,能做如此神奇的轉變。三角形和長方形之間的關係原本是個謎,然後那條小小的輔助線讓謎底浮現出來。我本來看不出來的,突然間我就看見了。然而,我能夠從「無」當中創造出全然簡單的美麗,並且在這個過程當中改變了我自己。這不正是藝術嗎?

    這就是為什麼看到現在學校裏的數學教育會讓人如此痛心。這麼豐富且迷人的想像力探索過程,卻一直遭到貶抑,淪落成一套要硬背死記、毫無生氣的「事實」(facts),以及必須遵循的演算程序。關於「形狀」的一個簡單而自然的問題,一個富創造性和收穫的發明與發現的過程,卻被取代為:

    三角形面積公式:A=? b h

    「三角形面積等於底乘以高的一半」,學生被要求要死背這個公式,然後在「習題」中反覆「應用」。興奮之情、樂趣、甚至創造的過程會有的痛苦與挫折,全都消磨殆盡了。再也沒有任何「困難」了。問題在提出來時也同時被解答了──學生沒事可做。
    現在,讓我說清楚我到底在反對什麼。不是公式,也不是背記一些有趣的事實。在某些情境下,這是可以的,就像學習字彙必須要記憶一樣──這可以幫助我們創造更豐富、更微妙的藝術作品。但是,三角形是長方形面積的一半,這個「事實」並不重要。重要的是,以輔助線來切割的這個巧妙構思,以及這個構思可能激發出其他美妙的構思,進而引導出在其他問題上的創造性突破──光是事實的陳述絕不可能給你這些的。
    拿掉了創造性的過程,只留下過程的結果,保證沒有人能真正全心投入這個科目。這就像是「說」米開朗基羅創造了美麗的雕塑卻不讓我「看」它。我要如何受到激發而產生靈感?(當然實際上還更糟──至少我還知道有一個雕塑藝術存在,只是不讓我去欣賞它)。

    由於將焦點集中在「什麼」,排除掉「為什麼」,數學被降格為一個空殼子。數學不是在「真相」裏,而是在說明、論證之中。論證的本身賦予真相一個情境,並確認到底我們在談論什麼、其意義何在。數學是說明的藝術(the art of explanation)。如果你不讓學生有機會參與這項活動──提出自己的問題、自己猜測與發現、嘗試錯誤、經歷創造性的挫折、產生靈感、拼湊出他們的解釋和證明──你就是不讓他們學習數學。所以,我不是在抱怨我們數學課堂上出現的事實與公式,我抱怨的是我們的數學課裏沒有數學。
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