這才是數學:從不知道到想知道的探索之旅
這才是數學:從不知道到想知道的探索之旅
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商品介紹
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  • 書摘/試閱
  • '近幾年來,保羅・拉克哈特的《一個數學家的嘆息》在數學圈子裡祕密流傳,直到成書出版後,更引爆了廣泛的好評,因為它批判了今日僵化的數學教育(背公式、大量的習題),忽略了帶領學生思考問題的過程;而且數學課程太片段化、瑣碎、缺乏脈絡。我們本來可以給孩子更好的數學體驗,讓他們喜歡上數學,產生好奇心,不是嗎?
    在這本新書中,作者寫出了數學教育正向積極的一面,帶領我們體會,數學是一種充滿趣味的探索以及思考方式。
    作者現身說法提出了他心目中的數學,應該是什麼樣子。他先談數學世界與現實世界有何不同,然後從三角形、圓、幾何、代數、三角函數、向量、到微積分,不斷地引導我們問「為什麼?」。
    他和你說話,用平易近人的語氣,運用手繪的圖形,就像是自己在玩數學似的,呈現他心目中理想、有意義的數學問題,以及思考過程。他不會假裝數學很簡單,但也大方展現數學的美。在他筆下,複雜的數學概念變得符合直覺、容易掌握,數學概念不再是東一塊、西一塊,各個單元彼此可以連結,形成有意義的動人故事。他針對數學推理和古典幾何主題的討論很有意思,正呼應了他所堅信的:數學不僅是科學,也是藝術。
    在這個新天地裡,漂亮的圖形和模式在我們的腦海中閃過,做出一些令人驚訝的事!當我們注意對稱性、圓形、圓柱、圓錐,會發現幾乎每個人都有辦法「做數學」,當我們一頭栽進去,盡情思考之後,將獲得極大的喜悅,並得到情感和美感上的回報。

    【熱情推薦】
    任維勇 北一女中數學教師
    洪萬生 師大數學系退休教授
    游森棚 師大數學系教授

    無論你受過什麼樣的數學教育,或是沒有上過數學課,你都會從這本迷人的書中得到樂趣。只要你接受作者的邀請,浸淫在書裡散發出的數學感受中,並親自動手嘗試看看──不只是解題,更積極的,一面探索數學世界一面構思問題。
    ──貝利‧馬祖爾(Barry Mazur ),哈佛大學校聘數學教授

    這本書是一首情歌,一篇哲學宣言,以及關於做數學的甘苦,但甘甜占了大多數。
    ──史蒂芬•史特格茲(Steven Strogatz),康乃爾大學講座教授

    充滿趣味和巧思的寫法,不僅讓數學不再令人感到害怕,也優雅地描繪出作者樂在其中的世界。
    ──《出版人週刊》(Publishers Weekly)
  • 他原本在美國的布朗大學、加州大學聖塔克魯茲分校擔任數學教授。從2000年開始,他自願到紐約布魯克林的聖安學校(St. Ann's School)教導K-12(從幼稚園到十二年級)的數學課。
      他是一位傑出的數學家,發願來教中小學的數學,希望能呈現給孩子們數學的美感、和充滿想像力的一面,他非常批判「死記硬背」、「省略思考過程」的教育方法。
    他的處女作《一個數學家的嘆息》(經濟新潮社出版),一出版即在數學教育圈子造成轟動,引爆討論。

    作者現身說法:The World of Mathematical Reality
    http://www.youtube.com/watch?v=V1gT2f3Fe44
  • 目次

    推薦序 從「測量」看數學與數學之美 游森棚
    推薦序 去掉條條框框,看見數學的本質 洪萬生

    真實與想像
    漫談數學問題

    上篇 大小與形狀
    我們一開始先談抽象幾何圖形;
    對稱鋪磚和角度;
    縮放和比例;
    長度、面積與體積;
    窮盡法及其結果;
    多邊形和三角學;
    圓錐曲線與射影幾何;
    力學曲線。

    下篇 時間與空間
    這一篇涵蓋了數學上的運動;
    以數值關係描述運動;
    向量表示法和力學相對性;
    速度;
    微分法及其各式各樣的應用;
    最後是給讀者的一點鼓勵。

    英中譯名對照
  • 真實與想像

    現實世界有很多種。其中一種,當然是我們身處的實體世界。再來就是那些和實體世界非常類似的想像世界,譬如那個「一切如常而且我五年級那年並沒有尿在褲子上」的世界,或是「同車黑髮正妹轉頭跟我交談,最後我們墜入愛河」的那個世界。相信我,這種想像中的現實世界有一大堆,但這些與我的主題無關。

    我想談一種完全不同的世界,我準備稱呼它「數學實在」(mathematical reality)。我的心智可以看到一種世界,美麗的幾何形狀與模式翱翔其間,做出讓我驚嘆的有趣行徑。這個世界很讚,我真的很喜歡。

    問題是,實體世界是個災難。它太複雜,一切事物都不像表面上那樣。物體熱脹冷縮,原子不時飛舞。尤其是,沒有哪樣東西可以真正測量得出來。我們不知道一根草的精確長度。這個宇宙中的任何一個量測值,必定都是近似值。這沒什麼不好,宇宙的本質就是如此。在這裡,最小的斑點不是點,最細的絲線也不是線。

    至於數學實在,則是一種假想的世界,我可以隨自己高興,把它想像成簡單又美好。我可以擁有現實生活裡不可能擁有的完美事物。我手裡不可能握著一個圓,但腦袋裡可以,甚至還能度量這個圓。數學實在,是我自創出來的美麗境地,我可以去探訪、思索,與朋友一起討論。

    大家之所以對實體世界感興趣,有很多理由。天文學、生物學、化學和其他領域的專家,一直在設法了解這個宇宙的運作,試圖描述它。

    我則是想描述數學實在,想做出模式,搞清楚這些模式如何運作。這正是像我這樣的數學家努力做的事。

    重點是,我要設法兼顧實體世界與數學實在,因為兩者都充滿了美和樂趣(也令人敬畏三分)。實體世界很重要,因為我身處其中,數學實在也很重要,因為就存在我腦袋裡。我這輩子就在設法同時擁有這兩樣美好的東西,你也一樣。

    我寫這本書的構想,是要設計出各種模式。我們會做出幾何形狀與運動的模式,然後試著理解並度量這些模式。最後我們將看到美麗的東西!

    但我也不想騙你:這不會是輕鬆愉快的任務。數學實在,是無邊無際的叢林,藏滿迷人的奧祕,不輕易讓人看見。你要有奮戰的心理準備,這會是一場知性與創造性的奮戰。說老實話,我不知道還有哪一項知識活動,這麼需要想像力、直覺和創造力。但我還是選擇了它,因為太喜歡而難以自拔。這片叢林讓人魂牽夢縈,一旦踏進去過,你就永遠忘不掉。

    所以,我要邀你參與一場值回票價的冒險!我當然期望你也會愛上這片叢林,為它的魔力折服。我企圖在這本書傳達數學給我的感受,向你展示幾個最美、最令人興奮的數學發現。你不會看到注腳、參考出處之類的學術附注。這是我個人的表述。我只希望自己能設法用容易理解且又有趣的方式,傳遞這些有深度的迷人概念。

    不過,這會是一趟緩慢的旅程。我並不想一路呵護你,不讓你接受真理的考驗,我也不打算為你可能面對的困境表示歉意。遇到新的概念,不妨就花幾小時甚至幾天來沉澱──有的概念起初可能歷經幾百年,才讓人接受呢。

    我假定你熱愛美的事物,願意花心力理解。這趟旅程中,你需要具備的只有常識和好奇心。請放輕鬆!藝術是供人享受的,而這本書就在談藝術。數學不是賽跑或競賽,而是跟自己的想像力玩耍。希望你玩得開心!


    漫談數學問題

    何謂數學問題?對數學家而言,問題就是一種試探──去檢驗數學實在,看看它做出什麼行為。就好像「拿棍子戳一下」,看會發生什麼事。我們看到了數學實在的一小角,可能是幾何形狀的排列方式,或是數字模式之類的,想要進一步了解它背後的運作,於是我們戳它一下──只不過沒用手或是棍子,而是運用心智。
    舉例來說,假設你在畫三角形,在這些三角形上進行各種實驗,譬如切割成小三角形,結果偶然發現了一件事:

    你把各邊中點和它的對角連起來時,三條連線(中線)似乎全交於一點。又試了各式各樣的三角形,發現好像都會如此。這下子你遇到了一個謎團!但是我們先來釐清這個謎團的本質。它跟你畫在紙上的圖無關。用紙筆畫出的三角形能做或不能做些什麼,是和實體世界有關的科學問題。譬如你畫得很草率,三條中線就不會相交成一個點。我想你大可以畫得非常小心謹慎,再放在顯微鏡下看,但頂多只會把紙纖維和鉛筆的石墨成分看得更清楚,卻不會因此而更了解三角形。
    真正的謎團,是環繞著這些過於完美、不存在於現實的三角形,而我們想問的問題是:在數學實在中,這三條完美的直線是否會交於一個完美的點。鉛筆或顯微鏡現在都派不上用場。(在整本書我會一直強調這種區別,可能會到讓你嫌囉唆的地步。)我們該如何解決這樣的問題?對於這樣的假想物件,有任何已知的知識嗎?是哪種形式的知識?
    在繼續檢視這些提問之前,我們先花點時間,欣賞一下這道問題,領略何謂「數學實在」的本質。

    我們撞見了一個密謀,顯然暗中有某種(未知的)結構上的運作,使這種情況發生。我認為這很了不起,但也有點嚇人。三角形究竟知道什麼事,是我們所不知道的?想到有這麼多漂亮而深奧的真理,等著我們去發現並融會貫通,有時還真讓我有點忐忑不安。
    這個謎團究竟是什麼?我們想知道為什麼。為什麼一個三角形想這麼做?假如你是隨便把三根棍子丟到地上,棍子通常不會交疊在某一點,而是兩兩交叉,中間形成一個小三角形,不是嗎?


    我們所尋找的是一種解釋。當然,倘若這現象根本不真確,我們可能就找不到解釋了。譬如我們只是一廂情願,或是被拙劣的繪圖手法給愚弄了。在實體世界裡有很多「敷衍之事」,所以也許只是三條直線相交成的那個三角形太小了,被鉛筆屑擋住,我們看不到罷了。但另一方面,它當然也有可能為真;它具備了數學家會去尋找的很多元素:自然性、優雅、簡單,以及某種令人信服的特質。所以它可能是對的,但問題同樣是:為什麼?
    現在,學問來了。為了做出解釋,我們得創造某樣東西──要以某種方式建構一套論證或推理,可讓我們回答為什麼三角形會產生這種行為。這項任務非常艱鉅。其中一個理由是,若只是畫或做出一堆實體三角形,然後看它對不對,這樣是不夠的。這並不是在解釋,反而比較像是「近似驗證」。我們的疑問,是個更為嚴肅的哲學問題。
    如果不知道為什麼三中線交於一點,又怎麼知道它們真的相交呢?「數學實在」不像實體世界,沒有實物可觀察。我們該如何了解一個純想像的領域?重點是,什麼是真確的,其實沒那麼重要。真正重要的是為什麼它為真。理由才是我們該問的。
    我並不是要貶低人類感官的價值。我們十分需要繪圖、模型、影片等任何可取得的素材,來輔助直覺和想像。我們只需明白,這些東西並不是討論的主體,並不能告訴我們數學實在的真相。
    所以,現在我們真的面臨困境了。我們認為自己可能發現了一個漂亮的真理,現在需要證明它。這就是數學家的工作,我希望你也樂在其中。
    這件事做起來非常困難嗎?是很困難。有沒有撇步或方法可依循?並沒有。這是不折不扣的抽象藝術。藝術始終是一場奮戰。沒有什麼系統化的方法,可幫助你創作出充滿美感和意義的繪畫或雕塑作品,也沒有哪個方法可以讓你做出具備美感和意義的數學論證。很抱歉。數學是最難的藝術,這也是我喜愛它的原因之一。

    所以對不起,我不能告訴你怎麼做,而且我不打算陪著你,或是在書末附上一堆提示或詳解。如果你打心底想畫一幅畫,畫布的背面也不會有畫帖讓你照著畫。假如你題目做到一半卡住了,苦思不得其解,那就歡迎你加入我們的行列。數學家也都不知道怎麼解自己的題目。如果能解開,就不叫做問題了!我們始終在未知的邊緣奮戰,我們總是陷入苦思,直到有所突破。我也希望你有很多突破,這感覺很棒。但是,做數學並沒有什麼特別的撇步,你必須多思考,希望靈感找上門。
    不過我不會把你送進叢林之後就撒手不管。你必須帶著智慧和好奇心,這些都是你賴以求生的裝備,而我也許可以提供幾點普通的建議,替你指引方向。

    我的第一個建議是:你自己訂的題目就是最好的題目。你是勇敢的心智探險家;這是你的腦袋和冒險。「數學實在」是你自己腦袋裡的產物,你想去探索就可以去。你的問題是什麼?目標在哪裡?我是很喜歡出題讓你思考,但這些僅只是拋磚引玉,讓你可以繼續自己栽種出叢林來。別怕解不開自己訂的題目──數學家經常如此。另外,盡量讓自己同時思考五或六個問題。假如你的頭反覆撞同一面牆,你會非常沮喪。(有五、六面牆輪流讓你撞,情況就好多了!)說正經的,一個問題做一段時間然後休息一下,總是有幫助的。
    還有一個重要的建議是:互相幫忙。如果你有朋友也想要做數學,你們可以一起討論,分享當中的快樂和挫折,就像一起玩音樂一樣。有時候,我會耗六到八個小時與朋友研究一個題目,即使只有一丁點進展,我們還是會因為有另一個傻瓜作伴而感到很開心。
    所以,難就難吧。盡量不要氣餒或是把失敗看得太嚴重。不只你無法理解數學實在,我們所有的人都跟你一樣。別擔心自己經驗不足或是「不夠格」。數學家的特質並不是學術技能或淵博知識,而是永不滿足的好奇心,以及對簡單之美的渴望。做自己,去你想去的地方。與其裹足不前、害怕挫折或是困惑,不如試著擁抱這份恐懼和神祕感,開開心心大玩特玩一番。是沒錯,你的想法會行不通,你的直覺會出錯,歡迎你加入我們的行列!我一天會有十幾個不成熟的想法,其他的數學家也都跟我一樣。

     

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