按圖索驥:無字的證明
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  • 在數學教學中,引導學生認識證明,是進入數學性思考,很扎實的一環。像是盡可能利用文字敘述、符號表達、邏輯推演,嚴謹地向學生呈現直接證法、間接證法和數學歸納法。敝人在教學現場觀察到:學生有多元的學習能力,透過眼到、心到、手到等等方式,可以找到屬於自己學習數學的竅門。這不獨需要運算式的堆疊,也需要繪製適當圖形作為輔助,更需懂得如何發展「數」與「形」,這兩大數學學理根基的展現。於是在累積了多年的教學經驗後,整理出本書與讀者大眾分享。

  • 蔡宗佑

    1983年出生於臺南,畢業於國立臺灣大學,現任於新北市立新北高級中學(原國立三重高中),致力於中學數學教育,在教育現場得知許多人在學習數學時,或多或少有過挫敗感,對數學理論存在距離感,喜歡揉合科普知識及正規教材,以簡單有趣的方法教學,期望以淺顯易懂的方式,與學生、讀者分享多元化的數學觀。

  • 看膩了數學課本中如阿嬤的裹腳布一般,又臭又長的數學證明了嗎?這本按圖索驥將帶領您從另一種不同的角度來閱讀數學證明,讓您對於數學證明有耳目一新的感覺。

  • 萊茵巴哈(H.Reichenbach)曾將科學的學習歷程分為:發現及驗證(the context of discovery and the context of justification)兩個階段。人類不斷地透過觀察自然,體察事物,利用邏輯找出及發現可能的模式,再敘述及驗證之,達到分析、體認這自然世界,來說明、闡述自然哲理,更能運用這模式與能力做抽象思考以及解決所遇到的問題。

    敝人感謝三民書局,特別是臺灣大學的蔡聰明教授,指導及幫忙審定,並給了我這個機會向數學界,特別是國、高中生及奉獻給中學教育的前輩、老師們呈現這本作品,這是屬於是理解數學證明的小品。在從事數學教學中,引導學生認識證明是進入數學思考中很扎實的一環,介紹:直接證法、間接證法和數學歸納法,利用文字敘述、符號表達、邏輯推演都盡可能嚴謹地向學生呈現。敝人觀察出學生有多元的學習能力,透過眼到、心到、手到等等方式,找到屬於自己學習數學的竅門,不獨是運算式的堆疊,也需要繪製適當圖形作為輔助,更是數與形兩大數學學理根基的展現,於是在教學歷程累積下來,整理出這一本「按圖索驥」!

    這本「按圖索驥」不論是對學養豐富的教師學者們,研讀漸漸成熟的學生族群,或正在修習的初學者,都很適合參閱這本書,在這本書努力的方向是以「多元化、具啟發性、具參考性、有記憶點」這幾個要點做發揮,希望在傳統的論證架構之上,讓數學學習中加入多元的聯想力、富有創造性的思考力,雖不敢稱妙不可言、打破成規,但內心是希望可以另闢蹊徑,多走出一個方向,縱使路途雖遠,心仍嚮往之。

    本書針對中學教材及科普知識中的主題,共有六章,分為兩冊:第一冊有三章,第一章基礎幾何:畢氏定理、三角形面積、西瓦定理等等;第二章基礎代數:乘法公式、配方法等;第三章不等式:四大不等式及應用、Jordan不等式。第二冊也有三章,第四章三角學:正餘弦定理、和角公式、和差化積、正弦疊合;第五章數列與級數:連續整數和、三角數、費式數列等等;第六章極限與微積分:分部積分、無窮等比級數和等等。

    每一個主題皆以「起、承、轉、合」的方式繪製四個圖形,搭配顏色為運算邏輯上增添層次,讓讀者將四張圖細細閱讀時,有如親身經歷一般,輕鬆簡易地完成主題的論證;本書也提供同一個主題的多種證法,希望能帶給讀者更多元的啟發,能從中取得更多共鳴。其次,敝人要感恩及感謝編寫這本書一路上朋友的鼓勵與幫忙,還有幾位不可多得的貴人。在求學時期就深深影響我,時刻地給我鼓勵與啟發的臺灣大學張海潮教授,教授時常勉勵:「當一個老師的人,做學問不能越做越差,要時時精進,時時充實」這也是敝人家裡書桌上的箴言,藉此勉勵自己充實能力,更進一步,這本書的起源便是與張教授討論中學數學時,教授做了提點而深受啟發的。

    臺灣大學蔡聰明教授,是敝人完成此書的最大動力與指引。在跟隨蔡教授學習的過程中,聽教授將舊典籍娓娓道來,卻富有新的靈感;把古今中外的數學知識及史料,開闊縱橫,融會貫通,不自覺嚮往之。蔡教授學識淵博,中學數學、科普知識及數學史料無不精通,成了此書最重要的動力來源,是踏實的請益對象,也是溫暖的師長長輩,更是在出版數學書籍道路上最為豐富且嚴謹的學者教授。

    最後,敝人將此書呈現給各位讀者,希望能有所共鳴,雖有不足的地方,尚祈不吝指教。

  • 《鸚鵡螺數學叢書》總序
    推薦序一
    推薦序二
    自序
    導讀

    C1 基礎幾何1
    1-01 畢氏定理(I)
    1-02 畢氏定理(II)
    1-03 畢氏定理(III)
    1-04 畢氏定理(IV)
    1-05 直角三角形面積=兩月牙形面積和
    1-06 直角三角形兩股與斜邊之不等式
    1-07 封閉 芒星之內角和
    1-08 四邊形面積
    1-09 三角形面積(I)
    1-10 三角形面積(II)
    1-11 直角三角形之內切圓半徑
    1-12 內切圓半徑
    1-13 西瓦定理
    1-14 孟氏定理(I)
    1-15 孟氏定理(II)
    1-16 點到直線距離
    1-17 二階行列式之幾何意義
    1-18 黃金比例
    1-19 圓內接正三角形與黃金比例
    1-20 圓內接正 邊形的面積與正 邊形周長之關係
    1-21 正四面體高之垂足(外心)
    1-22 正四面體高之垂足(重心)
    1-23 錐體與柱體體積
    1-24 拋物線光學性質

    C2 基礎代數1
    2-01 二元乘法公式
    2-02 二元乘法公式和
    2-03 配方法
    2-04 平方差
    2-05 代數公式
    2-06 平方和的乘積
    2-07 等差數列四項連乘積

    C3 不等式1
    3-01 分數不等式(I)
    3-02 分數不等式(II)
    3-03 分數不等式(III)
    3-04 算幾平均不等式(I)
    3-05 算幾平均不等式(II)
    3-06 算幾平均不等式(III)
    3-07 算幾平均不等式(IV)
    3-08 算幾平均不等式(V)
    3-09 三維算幾平均不等式
    3-10 一正數及其倒數和大於或等於2 (I)
    3-11 一正數及其倒數和大於或等於2 (II)
    3-12 一正數及其倒數和大於或等於2 (III)
    3-13 算術對數幾何平均不等式
    3-14 算術幾何調和平均不等式
    3-15 四大平均數不等式(I)
    3-16 四大平均數不等式(II)
    3-17 四大平均數不等式(III)
    3-18 算幾平均不等式之應用(I)
    3-19 算幾平均不等式之應用(II)
    3-20 Cauchy-Schwarz不等式(I)
    3-21 Cauchy-Schwarz不等式(II)
    3-22 Jordan不等式
    3-23 Aristarchus不等式
    3-24 指數不等式
    3-25 Napier不等式(I)
    3-26 Napier不等式(II)
    3-27 發散級數
    推薦書展
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