阿草的圓錐曲線
阿草的圓錐曲線
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  • 我們在國中時學到平面幾何,到了高中時學圓錐曲線。前者採用(綜合)幾何的方法,後者則採用坐標幾何的方法,因此前者很有幾何味道,後者則淡的多,甚至沒有。古代的圓錐截痕,需要以平面幾何為基礎,更需要有立體幾何的能耐,幾何味道滿點。此書的一大重點就是要呈現圓錐截痕的這些菁華。另外加上坐標成了「圓錐曲線」,能更深入研究圓錐曲線與行星運動之間的連結。最後,再把重點放在射影性質,利用綜合幾何的方法,了解到橢圓、雙曲線和拋物線之間密切的關係。

  • 1943年出生於東京,3歲返台,畢業於國立臺灣大學數學系,1972年獲美國芝加哥大學哲學博士學位,並於1976年回臺任教於臺灣大學數學系,曾任系主任,於2001年退休。多年來以「阿草」為筆名,致力於數學與科普的推廣與寫作,曾任《中國數學雜誌》(改名為《臺灣數學期刊》)總編輯、《科學月刊》總編輯、大學入學考試中心顧問。著作包含《阿草的葫蘆》、《微積分基本要義》、《從月曆學數學》(原書名:《阿草的曆史故事》)、《從生活學數學》(原書名:《阿草的數學聖杯》)、《從天文地理學數學》。

     
  • 所謂圓錐曲線包括了拋物線、橢圓及雙曲線,它們都可由平面與圓錐以一適當的角度相截而得,所以通稱為圓錐截痕 。圓錐截痕最早由古希臘人開始研究,歐幾里德曾寫過四大冊的圓錐截痕,可惜原著已經遺失。不過歐幾里德後不久的阿波羅尼亞斯 ,約西元前262~190年;本書簡稱其為阿波氏),參考了他的著作,並發展了許多自己的想法,得到很多研究的成果,寫成了《圓錐截痕》八大冊。歐幾里德的《原本》是古希臘數學的代表作,阿波氏的《圓錐截痕》是古希臘高等幾何學的傑作;阿波氏因而有「偉大幾何學家」的稱號。《圓錐截痕》是純粹的數學研究,幾乎找不到因應需要而有的研究動機。直到1800多年後,的十七世紀初,天文學家刻卜勒 ,1571~1630年)得到他的行星三大運動定律,圓錐截痕才因這麼有用而重新受到重視。也大約在這個時候,伽利略 ,1564~1643年)研究拋物運動,而知道拋物運動的軌跡為拋物線。十七世紀下半的牛頓 ,1642~1727年)更提出了萬有引力的想法,並證明受到引力的影響,行星繞行太陽的軌道為橢圓;彗星的軌道可以是橢圓也可以是雙曲線或拋物線。其實,一個天體繞著相對大得多的另一天體的運動軌跡,就是一圓錐截痕。十七世紀數學的一重要發展是引進了坐標,以兩坐標間的代數(包括級數)關係,來處理曲線。傳統的,需要以幾何方法來處理的圓錐截痕,也很快代數化,於是圓錐截痕又叫做圓錐曲線。而這些曲線的兩變數之間的關係是二次的,所以又叫做二次曲線。有了坐標及代數方法,圓錐截痕許多很難處理的定理就變得相對的簡單。牛頓雖然有辦法用古典的幾何方法,處理引力與行星軌道的關係;不過有了坐標,就容易發展解析方法(微積分),兩者之間的關係就比較容易處理。(牛頓研究引力與軌道的關係時,使用他自己發展的微積分,但寫書時,則用傳統的幾何方法,因為當時大家都還不太懂微積分。)無論用代數或幾何方法,三類圓錐截痕(曲線)似乎有類似的性質(同為圓錐的截痕、二次的曲線),但也有非得分別處理的性質(橢圓及雙曲線有對稱中心、兩條對稱軸、兩個焦點,而拋物線沒有對稱中心,只有一條對稱軸、一個焦點)。十九世紀射影幾何的發展,則把這三種曲線統一在射影的觀點之下。

    我們的學生在國中時學平面幾何,到高中時學圓錐曲線。前者採用(綜合)幾何的方法,後者則採用坐標幾何的方法,因此前者很有幾何的味道,後者則幾何的味道淡得多,甚至沒有。其實,古代的圓錐截痕,需要以平面幾何為基礎,更需要有立體幾何的能耐,幾何味道滿點。本書的一個重點,就是要呈現圓錐截痕的這些精華。另外,用了坐標,圓錐截痕變成了圓錐曲線。有了坐標,圓錐曲線更可深入研究,其與行星運動之間的關係才能確立。高中的圓錐曲線其實只是淺嚐即口,本書的另一個重點,就是用坐標的方法,深入探討圓錐曲線。最後,我們把重點放在圓錐曲線的射影性質,使我們了解到橢圓、雙曲線、拋物線有非常密切的關係。非以數學為專業,但對高中幾何有興趣,想再進一步涉獵者,是本書設定的對象。我們放棄用坐標方法來探討射影幾何,他雖然比較定量,但較屬於技術層次。關於射影幾何,我們只介紹綜合幾何的方法,以便得到定性的認識。平面幾何的素材只是簡單的直線與圓,但衍生的內容,已經足夠讓人稱奇。稍微複雜的圓錐曲線,更有曲折的歷史背景,以及豐碩的內涵。如此數學的、甚至是文化的瑰寶,應讓大家有機會欣賞享受。希望對此本書能有些貢獻。

    曹亮吉 台北2005年12月

  • 鸚鵡螺數學叢書總序
    自序
    第1篇 背景
    1.1 古希臘數學史
    1.2 幾何方法
    1.3 重要性質
    第2篇 截痕
    2.1 直圓錐直角截痕
    2.2 斜圓錐截痕
    2.3 點焦連線
    2.4 冰淇淋筒定理
    第3篇 重現
    3.1 刻卜勒行星運動
    3.2 坐標幾何興起
    3.3 牛頓萬有引力
    第4篇 坐標
    4.1 坐標幾何大要
    4.2 二次曲線
    4.3 參數化
    4.4 極坐標
    第5篇 射影
    5.1 從投影到射影
    5.2 交比
    5.3 對偶原理
    5.4 點錐線與線錐線
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