思考的樂趣：Matrix67數學筆記（簡體書）

北大高材生，科普界名人顧森力作
用簡單詼諧的語言烹飪數學佳餚
富有啟發性的討論、緊密結合現實的話題
沒有高深的理論，只有思考的樂趣

《思考的樂趣：Matrix67數學筆記》內容大多是從作者6年多以來積累的上千篇博客中節選而來的，分為“生活中的數學”、“數學之美”、“幾何的大廈”、“精妙的證明”和“思維的尺度”五部分。書中基本不涉及高深的數學理論，但是內容新穎、時尚，既有與現實生活聯繫緊密的應用型話題，又有打通幾何、代數聯繫的富有啟發性的討論，還間或介紹了一些著名數學難題的最新研究進展，信息十分豐富。本書是廣大數學愛好者的美味佳餚，只要具備簡單數學基礎即能閱讀。·

顧森

網名Matrix67，北京大學中文系應用語言學專業學生，數學愛好者。長期為各類科普雜誌供稿，從事中學數學教育工作多年。

顧森編著的《思考的樂趣》社會學是應用心理學，心理學是應用生物學，生物學是應用化學，化學是應用物理，物理是應用數學。雖然生活的變量太多。建立完整的數學模型幾乎是一個不可能完成的任務，但數學玩家們仍然樂此不疲地嘗試著用自己的方式理解生活。

序一
我本不想寫這個序。因為知道多數人看書不愛看序言。特別是像本書這樣有趣的書，看了目錄就被吊起了胃口，性急的讀者肯定會直奔那最吸引眼球的章節，哪還有耐心看你的序言？
話雖如此，我還是答應了作者，同意寫這個序。一個中文系的青年學生如此喜歡數學，居然寫起數學科普來，而且寫得如此投入又如此精彩，使我無法拒絕。
書從日常生活說起，一開始就講概率論教你如何說謊。接下來談到失物、物價、健康、公平、密碼還有中文分詞，原來這麼多問題都與數學有關！但有關的數學內容，理解起來好像並不是很容易。一個消費稅的問題，又是圖表曲線，又是均衡價格，立刻有了高深模樣。說到最後，道理很淺顯：向消費者收稅，消費意願減少，商人的利潤也就減少；向商人收稅，成本上漲，消費者也就要多出錢。數學就是這樣，無論什麼都能插進去說說，而且千方百計把事情說個明白，力求返璞歸真。
如果你對生活中這些事無所謂，就從第二部分開始看吧。這裡有“讓你立刻愛上數學的8個算術遊戲”。作者口氣好大，區區5頁文字，能讓人立刻愛上數學？你看下去，就知道作者沒有騙你。這些算術遊戲做起來十分簡單卻又有趣，背後的奧秘又好像深不可測。 8個遊戲中有6個與數的十進制有關，這給了你思考的空間和當一回數學家的機會。不妨想想做做，換成二進製或八進制，這些遊戲又會如何？如果這幾個遊戲勾起了探究數字奧秘的興趣，那就接著往下看，後面是一大串折磨人的長期沒有解決的數學之謎。問題說起來很淺顯明白，學過算術就懂，可就是難以回答。到底有多難，誰也不知道。也許明天就有人想到了一個巧妙的解答，這個人可能就是你；也許一萬年仍然是個懸案。
但是這一部分的主題不是數學之難，而是數學之美。這是數學文化中常說常新的話題，大家從各自不同的角度欣賞數學之美。陳省身出資兩萬設計出版了《數學之美》挂歷，十二幅畫中有一張是分形，是唯一在本書這一部分中出現的主題。這應了作者的說法：“講數學之美，分形圖形是不可不講的。”喜愛分形圖的讀者不妨到網上搜索一下，在圖片庫裡有豐富的彩色分形圖。一邊讀著本書，一邊欣賞神秘而驚人美麗的藝術作品，從理性和感性兩方面享受思考和觀察的樂趣吧。此外，書裡還有不常見的信息，例如三角形居然有5000多顆心，我是第一次知道。看了這一部分，馬上到網上看有關的網站，確實是開了眼界。
作者接下來介紹幾何。幾何內容太豐富了，作者著重講了幾何作圖。從經典的尺規作圖、有趣的單規作圖，到瘋狂的生鏽圓規作圖、意外有效的火柴棒作圖，再到功能特強的摺紙作圖和現代化機械化的連桿作圖，在幾何世界裡我們做了一次心曠神怡的旅遊。原來小時候玩過的摺紙剪紙，都能夠登上數學的大雅之堂了！最近看到《數學文化》月刊上有篇文章，說摺紙技術可以用來解決有關太陽能飛船、輪胎、血管支架等工業設計中的許多實際問題，真是不可思議。
學習數學的過程中，會體驗到三種感覺。
一種是思想解放的感覺。從小學裡學習加減乘除開始，就不斷地突破清規戒律。兩個整數相除可能除不盡，引進分數就除盡了；兩個數相減可能不夠減，引進負數就能夠相減了；負數不能開平方，引進虛數就開出來了。很多現像是不確定的，引進概率就有規律了。瀏覽本書過程中，心底常常升起數學無禁區的感覺。說謊問題，定價問題，語文句子分析問題，都可以成為數學問題；擺火柴棒，摺紙，剪拼，皆可成為嚴謹的學術。好像在數學裡沒有什麼問題不能討論，在世界上沒有什麼事情不能提煉出數學。
一種是智慧和力量增長的感覺。小學裡使人焦頭爛額的四則應用題，一旦學會方程，做起來輕鬆愉快，摧枯拉朽地就解決了。曾經使許多飽學之士百思不解的曲線切線或面積計算問題，一旦學了微積分，即使讓普通人做起來也是小菜一碟。有時僅僅讀一個小時甚至十幾分鐘，就能感受到自己智慧和力量的增長。十幾分鐘之前還是一頭霧水，十幾分鐘之後豁然開朗。讀本書的第四部分時，這種智慧和力量增長的感覺特別明顯。作者把精心選擇的巧妙的數學證明，一個接一個地拋出來，讓讀者反復體驗智慧和力量增長的感覺。這裡有小題目也有大題目，不管是大題還是小題，解法常能令人拍案叫絕。在解答一個小問題之前作者說：“看了這個證明後，你一定會覺得自己笨死了。”能感到自己之前笨，當然是因為智慧增長了！
一種是心靈震撼的感覺。小時候讀到棋盤格上放大米的數學故事，就感到震撼，原來264-1是這樣大的數！在細細閱讀本書第五部分時，讀者可能一次一次地被數學思維的深遠宏偉所震撼。一個看似簡單的數字染色問題，推理中運用的數字遠遠超過佛經裡的“恒河沙數”，以至於數字僅僅是數字而無實際意義！接下去，數學家考慮的“所有的命題”和“所有的算法”就不再是有窮個對象。而對於無窮多的對象，數學家依然從容地處理之，該是什麼就是什麼。自然數已經是無窮多了，有沒有更大的無窮？開始總會覺得有理數更多。但錯了，數學的推理很快證明，密密麻麻的有理數不過和自然數一樣多。有理數都是整係數一次方程的根，也許加上整係數2次方程的根，整係數3次方程的根等等，也就是所謂代數數就會比自然數多了吧？這裡有大量的無理數呢！結果又錯了。代數數看似聲勢浩大，仍不過和自然數一樣多。這時會想所有的無窮都一樣多吧，但又錯了。簡單而巧妙的數學推理得到很多人至今不肯接受的結論：實數比自然數多！這是偉大的德國數學家康託的代表性成果。
說這個結論很多人至今不肯接受是有事實根據的。科學出版社去年出了一本書名為《統一無窮理論》，該書作者主張無窮只有一個，不贊成實數比自然數多，希望建立新的關於無窮的理論。他的努力受到一些研究數理哲學的學者的支持，可惜目前還不能自圓其說。我不知道有哪位數學家支持“統一無窮理論”，但反對“實數比自然數多”的數學家歷史上是有過的。康託的老師克羅內克激烈地反對康託的理論，以致康托得了終身不癒的精神病。另一位大數學家布勞威爾發展了構造性數學，這種數學中不承認無窮集合，只承認可構造的數學對象。只承認構造性的證明而不承認排中律，也就不承認反證法。而康托證明“實數比自然數多”用的就是反證法。儘管絕大多數的數學家不肯放棄無窮集合概念，也不肯放棄排中律，但布勞威爾的構造性數學也被承認是一個數學分支，並在計算機科學中發揮重要作用。
平心而論，在現實世界確實沒有無窮。既沒有無窮大也沒有無窮小。無窮大和無窮小都是人們智慧的創造物。有了無窮的概念，數學家能夠更方便地解決或描述僅僅涉及有窮的問題。數學能夠思考無窮，而且能夠得出一系列令人信服的結論，這是人類精神的勝利。但是，對無窮的思考、描述和推理，歸根結底只能通過語言和文字符號來進行。也就是說，我們關於無窮的思考，歸根結底是有窮個符號排列組合所表達出來的規律。這樣看，構造數學即使不承認無窮，也仍然能夠研究有關無窮的文字符號，也就能夠研究有關無窮的理論。因為有關無窮的理論表達為文字符號之後，也就成為有窮的可構造的對象了。
話說遠了，回到本書。本書一大特色，是力圖把道理說明白。作者總是用自己的語言來闡述數學結論產生的來龍去脈，在關鍵之處還不忘給出飽含激情的特別提醒。數學的美與數學的嚴謹是分不開的。數學的真趣在於思考。不少數學科普，甚至國外有些大家的作品，說到較為複雜深刻的數學成果，常常不肯花力氣講清楚其中的道理，可能認為講了讀者也不會看，是費力不討好。本書講了不少相當深刻的數學工作，其推理過程有時曲折迂迴，作者總是不畏艱難，一板一眼地力圖說清楚，認真實踐著古人“誨人不倦”的遺訓。這個特點使本書能夠成為不少讀者案頭床邊的常備讀物，有空看看，常能有新的思考，有更深的理解和收穫。
信筆寫來，已經有好幾頁了。即使讀者有興趣看序言，也該去看書中更有趣的內容並開始思考了吧。就此打住。祝愿作者精益求精，根據讀者反映和自己的思考發展不斷豐富改進本書；更希望早日有新作問世。
2012年4月29日

目　錄

第　一部分 生活中的數學　1
1．　概率論教你說謊　2
2．　找東西背後的概率問題　5
3．　設計調查問卷的藝術　7
4．　統計數據的陷阱　9
5．　為什麼人們往往不願意承擔風險？　13
6．　消費者承擔消費稅真的吃虧了嗎？　15
7．　價格里的陰謀　19
8．　公用品的悲劇　30
9．　密碼學與協議　34
10．　公平分割問題　44
11．　中文自動分詞算法　49

第　二部分 數學之美　55
12．　讓你立刻愛上數學的8個算術遊戲　56
13．　**折磨人的數學未解之謎　61
14．　那些神秘的數學常數　76
15．　奇妙的心電圖數列　84
16．　不可思議的分形圖形　88
17．　幾何之美：三角形的心　100
18．　數學之外的美麗：幸福結局問題　108

第三部分　幾何的大廈　111
19．　尺規作圖問題　112
20．　單規作圖的力量　123
21．　銹規作圖也瘋狂　130
22．　火柴棒搭成的幾何世界　134
23．　摺紙的學問　141
24．　連桿系統　147
25．　探索圖形剪拼　153

第四部分　精妙的證明　159
26．　我**愛的一個證明　160
27．　把輔助線作到空間中去的平面幾何問題　162
28．　小合集(一)：幾何問題　169
29．　皮克定理的另類證法和出人意料的應用　179
30．　歐拉公式的另類證法和出人意料的應用　185
31．　定寬曲線與蒲豐投針實驗　192
32．　來自不同領域的證明　196
33．　平分面積的直線　203
34．　小合集(二)：圖形證明　205
35．　生成函數的妙用　212
36．　利用賭博求解數學問題　215
37．　非構造性證明　217
38．　小合集(三)：數字問題　220

第五部分　思維的尺度　223
39．　史詩般壯觀的數學證明　224
40．　停機問題與“證明方法”　227
41．　奇怪的函數(一)　232
42．　比無窮更大的無窮　234
43．　奇怪的函數(二)　243
44．　塔珀自我指涉公式　246
45．　俄羅斯方塊可以永無止境地玩下去嗎？　249
46．　無以言表的大數：古德斯坦數列　254
47．　乘法之後是乘方，乘方之後是什麼？　256
48．　不同維度的對話：帶你進入四維世界　260

如果你對生活中這些事無所謂，就從第二部分開始看吧。這裡有“讓你立刻愛上數學的8個算術遊戲”。作者口氣好大，區區5頁文字，能讓人立刻愛上數學？你看下去，就知道作者沒有騙你。這些算術遊戲做起來十分簡單卻又有趣，背後的奧秘又好像深不可測。 8個遊戲中有6個與數的十進制有關，這給了你思考的空間和當一回數學家的機會。不妨想想做做，換成二進製或八進制，這些遊戲又會如何？如果這幾個遊戲勾起了探究數字奧秘的興趣，那就接著往下看，後面是一大串折磨人的長期沒有解決的數學之謎。問題說起來很淺顯明白，學過算術就懂，可就是難以回答。到底有多難，誰也不知道。也許明天就有人想到了一個巧妙的解答，這個人可能就是你；也許一萬年仍然是個懸案。
但是這一部分的主題不是數學之難，而是數學之美。這是數學文化中常說常新的話題，大家從各自不同的角度欣賞數學之美。陳省身出資兩萬設計出版了《數學之美》挂歷，十二幅畫中有一張是分形，是唯一在本書這一部分中出現的主題。這應了作者的說法：“講數學之美，分形圖形是不可不講的。”喜愛分形圖的讀者不妨到網上搜索一下，在圖片庫裡有豐富的彩色分形圖。一邊讀著本書，一邊欣賞神秘而驚人美麗的藝術作品，從理性和感性兩方面享受思考和觀察的樂趣吧。此外，書裡還有不常見的信息，例如三角形居然有5000多顆心，我是第一次知道。看了這一部分，馬上到網上看有關的網站，確實是開了眼界。
作者接下來介紹幾何。幾何內容太豐富了，作者著重講了幾何作圖。從經典的尺規作圖、有趣的單規作圖，到瘋狂的生鏽圓規作圖、意外有效的火柴棒作圖，再到功能特強的摺紙作圖和現代化機械化的連桿作圖，在幾何世界裡我們做了一次心曠神怡的旅遊。原來小時候玩過的摺紙剪紙，都能夠登上數學的大雅之堂了！最近看到《數學文化》月刊上有篇文章，說摺紙技術可以用來解決有關太陽能飛船、輪胎、血管支架等工業設計中的許多實際問題，真是不可思議。
學習數學的過程中，會體驗到三種感覺。
一種是思想解放的感覺。從小學裡學習加減乘除開始，就不斷地突破清規戒律。兩個整數相除可能除不盡，引進分數就除盡了；兩個數相減可能不夠減，引進負數就能夠相減了；負數不能開平方，引進虛數就開出來了。很多現像是不確定的，引進概率就有規律了。瀏覽本書過程中，心底常常升起數學無禁區的感覺。說謊問題，定價問題，語文句子分析問題，都可以成為數學問題；擺火柴棒，摺紙，剪拼，皆可成為嚴謹的學術。好像在數學裡沒有什麼問題不能討論，在世界上沒有什麼事情不能提煉出數學。
一種是智慧和力量增長的感覺。小學裡使人焦頭爛額的四則應用題，一旦學會方程，做起來輕鬆愉快，摧枯拉朽地就解決了。曾經使許多飽學之士百思不解的曲線切線或面積計算問題，一旦學了微積分，即使讓普通人做起來也是小菜一碟。有時僅僅讀一個小時甚至十幾分鐘，就能感受到自己智慧和力量的增長。十幾分鐘之前還是一頭霧水，十幾分鐘之後豁然開朗。讀本書的第四部分時，這種智慧和力量增長的感覺特別明顯。作者把精心選擇的巧妙的數學證明，一個接一個地拋出來，讓讀者反復體驗智慧和力量增長的感覺。這裡有小題目也有大題目，不管是大題還是小題，解法常能令人拍案叫絕。在解答一個小問題之前作者說：“看了這個證明後，你一定會覺得自己笨死了。”能感到自己之前笨，當然是因為智慧增長了！
一種是心靈震撼的感覺。小時候讀到棋盤格上放大米的數學故事，就感到震撼，原來264-1是這樣大的數！在細細閱讀本書第五部分時，讀者可能一次一次地被數學思維的深遠宏偉所震撼。一個看似簡單的數字染色問題，推理中運用的數字遠遠超過佛經裡的“恒河沙數”，以至於數字僅僅是數字而無實際意義！接下去，數學家考慮的“所有的命題”和“所有的算法”就不再是有窮個對象。而對於無窮多的對象，數學家依然從容地處理之，該是什麼就是什麼。自然數已經是無窮多了，有沒有更大的無窮？開始總會覺得有理數更多。但錯了，數學的推理很快證明，密密麻麻的有理數不過和自然數一樣多。有理數都是整係數一次方程的根，也許加上整係數2次方程的根，整係數3次方程的根等等，也就是所謂代數數就會比自然數多了吧？這裡有大量的無理數呢！結果又錯了。代數數看似聲勢浩大，仍不過和自然數一樣多。這時會想所有的無窮都一樣多吧，但又錯了。簡單而巧妙的數學推理得到很多人至今不肯接受的結論：實數比自然數多！這是偉大的德國數學家康託的代表性成果。
說這個結論很多人至今不肯接受是有事實根據的。科學出版社去年出了一本書名為《統一無窮理論》，該書作者主張無窮只有一個，不贊成實數比自然數多，希望建立新的關於無窮的理論。他的努力受到一些研究數理哲學的學者的支持，可惜目前還不能自圓其說。我不知道有哪位數學家支持“統一無窮理論”，但反對“實數比自然數多”的數學家歷史上是有過的。康託的老師克羅內克激烈地反對康託的理論，以致康托得了終身不癒的精神病。另一位大數學家布勞威爾發展了構造性數學，這種數學中不承認無窮集合，只承認可構造的數學對象。只承認構造性的證明而不承認排中律，也就不承認反證法。而康托證明“實數比自然數多”用的就是反證法。儘管絕大多數的數學家不肯放棄無窮集合概念，也不肯放棄排中律，但布勞威爾的構造性數學也被承認是一個數學分支，並在計算機科學中發揮重要作用。
平心而論，在現實世界確實沒有無窮。既沒有無窮大也沒有無窮小。無窮大和無窮小都是人們智慧的創造物。有了無窮的概念，數學家能夠更方便地解決或描述僅僅涉及有窮的問題。數學能夠思考無窮，而且能夠得出一系列令人信服的結論，這是人類精神的勝利。但是，對無窮的思考、描述和推理，歸根結底只能通過語言和文字符號來進行。也就是說，我們關於無窮的思考，歸根結底是有窮個符號排列組合所表達出來的規律。這樣看，構造數學即使不承認無窮，也仍然能夠研究有關無窮的文字符號，也就能夠研究有關無窮的理論。因為有關無窮的理論表達為文字符號之後，也就成為有窮的可構造的對象了。
話說遠了，回到本書。本書一大特色，是力圖把道理說明白。作者總是用自己的語言來闡述數學結論產生的來龍去脈，在關鍵之處還不忘給出飽含激情的特別提醒。數學的美與數學的嚴謹是分不開的。數學的真趣在於思考。不少數學科普，甚至國外有些大家的作品，說到較為複雜深刻的數學成果，常常不肯花力氣講清楚其中的道理，可能認為講了讀者也不會看，是費力不討好。本書講了不少相當深刻的數學工作，其推理過程有時曲折迂迴，作者總是不畏艱難，一板一眼地力圖說清楚，認真實踐著古人“誨人不倦”的遺訓。這個特點使本書能夠成為不少讀者案頭床邊的常備讀物，有空看看，常能有新的思考，有更深的理解和收穫。
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