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本卷討論的內容側重幾何方面，採用的是解西方法。聯繫著本卷的中心思想，克萊因著重論述了精確幾何與應用幾何，理想圖形與經驗圖形，幾何理論和直覺的關係。他指出：精確幾何的基礎是公理系統，採用解析方法時，相當於現代實數概念；但公理產生於感覺(和人的創造)，而且直覺還引導人們邏輯思維，它又是精確幾何新發現的源泉。他同時強調，嚴格的證明不能單純靠直覺。
目次
第一篇 實變函數及其在直角坐標下的表示法
第二篇 平面曲線的自由幾何
第三篇 用作圖和模型表現理想圖形
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