數學的世界Ⅰ：從阿默士到愛因斯坦數學文獻小型圖書館（簡體書）

第1部分：無窮的數學
1數學與形而上學家 伯特蘭．羅素
編者評注：漢斯，哈恩
2無窮 漢斯·哈恩

第2部分：數學真理與數學結構
編者評注：本部分內容簡介
1論數學真理的本質 卡爾·G．亨佩爾
2幾何學與經驗科學 卡爾·G．亨佩爾
3公理化方法 雷蒙德．L．懷爾德
4哥德爾的證明 歐內斯特，納格爾，詹姆斯．R．紐曼
5數學科學 奧斯瓦爾德·維布倫，約翰，韋斯利·楊
6數學與世界 道格拉斯·加斯金
7數學公設與人類理解 理乍得·馮．米澤斯

第3部分：數學的無理性
編者評注：荒謬的重要性
1悖論去而復來 愛德華·卡斯納，詹姆斯·R．紐曼
2直觀的危機 漢斯·哈恩

第4部分：怎樣解題
編者評注：數學之淚
1怎樣解題 G．波利亞

第5部分：數學詞匯
編者評注：關於二維無限和諧關係和其他數學術語
1老概念的新名稱 愛德華·卡斯納，詹姆斯．R．紐曼

第6部分：數學之為藝術
編者評注：約翰，威廉．納文，沙利文
1數學之為藝術 約翰·威廉，納文．沙利文

第7部分：戰爭中的數學
編者評注：弗雷德裡克．威廉，蘭徹斯特
1戰爭中的數學 弗雷德裡克·威廉．蘭徹斯特
編者評注：運籌學
2怎樣獵殺潛艇 菲利普·M．莫爾斯，喬治．E．金博爾

第8部分：藝術的數學理論
編者評注：喬治·大衛，伯克霍夫
1審美的數學 喬治·大衛，伯克霍夫

第9部分：正義的數學
1倫理學的一個數學方法 喬治·大衛．伯克霍夫

第10部分：文學中的數學
編者評注：飛島拉普塔
1擺線布丁 喬納森，斯威夫特
編者評注：阿道斯，赫胥黎
2小阿基米德 阿道斯·赫胥黎
編者評注：福瓊先生
3南太平洋的幾何 西爾維亞·湯森．華納
編者評注：統計學作為文學的靈感
4不容改變的邏輯 羅素·馬洛尼
5律法 羅伯特·M.科茨

以實數度量線段的可能性，以及由此帶來的解析幾何中以實數為“坐標”確定一個點的可能性，都依賴於所謂的“阿基米德公設”），即：給定兩個長度，存在第一個長度的一個倍數超過第二個長度.但是作為邏輯構造，我們也可以設計一個空間，將阿基米德公設替換為相反的假定，即，存在大於一個給定長度任意倍數的長度.）因此在其中存在無窮大和無窮小的長度f以任意一個給定的長度為單位）；而在常規幾何的空間裡是沒有無窮大或無窮小的長度的.當然，常規算術的實數在這種幾何裡是沒有用處的，這裡用的是“非阿基米德”算術系統，可以和常規算術的實數系統一樣在計算中被理解和應用.
我們常常聽到反對的聲音，說高維幾何、非歐幾何、非阿基米德幾何雖然作為邏輯構造是自洽的，但是由於不合直觀，對於安排我們的經驗而言沒有什麼用處，只有三維歐氏且滿足阿基米德公設的幾何才有用，因為只有這種幾何是符合直觀的.我們怎麼說呢？對於這個批評我的第一個評論是——這也是我整個演講的重點——常規幾何本身也談不上直觀過程的一個極好的例子.事實是，每一種幾何，三維或高維，歐氏或非歐，阿基米德或非阿基米德，都只是一種邏輯構造.只是由於傳統物理，直到最近的幾個世紀以來，它都非常適用，因此我們習慣於用它來操作.正是用它來整理經驗的習慣使得我們認為，只有它才是符合直觀的，而其他不一樣的都是不直觀的，違反直觀的，直觀上不可能的，但是就像我們已經看到的，“直觀上不可能”在常規幾何裡同樣會發生，一旦我們不把自己束縛在長時間以來熟悉的幾何實體上，而是反思之前沒有考慮過的物件，這種違反直觀的現象就會發生，
現代物理使得現在使用高維幾何和非歐幾何的邏輯構造來整理我們的經驗變得恰當.（雖然我們還沒有發現非阿基米德幾何的應用，但是完全不排除這種可能性.）但是這些物理進展時間上太近了，我們還沒有習慣處理這些邏輯構造，它們才仍然顯得有違直觀.
地球是圓的這個理論曾經也是有違直觀的.這個猜想曾被廣泛拒絕，因為人們認為，地面上存在對徑點是不可能的.而今我們已經習慣了這個事實，沒人再聲稱，因為有違直觀，所以地球不可能是圓的.
物理概念也是邏輯構造，並且同樣地，我們清楚地看到，那些有熟悉應用的概念被認為是直觀的，而沒有熟悉應用的是不直觀的，“重量”的概念在我們日常經驗裡如此常見，幾乎所有人都會認為它是直觀的.而“轉動慣量”的概念因為不在大部分人的生活中出現，就被認為是不直觀的.但是對於經常使用這個概念的實驗物理學家和工程師們來說，“轉動慣量”和“重量”一樣直觀.類似地，“電位差”的概念對電力技師來說非常直觀，對大部分人來說就不直觀，
如果高維幾何和非歐幾何的應用繼續被用來整理我們的經驗，我們就會對處理這些邏輯構造越來越習慣；如果它們進入了學校課程，如果我們牙牙學語之時就開始接觸它們，就像我們學習三維歐氏幾何一樣，那麼就沒有人會再認為這些幾何是違反直觀的.它們會被認為和今天三維歐氏幾何一樣直觀，康德認為，直觀是獲得知識的純粹先驗的方法.事實絕非如此，直觀是植根於心理慣性的習慣的力量。
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