數理邏輯（簡體書）

《數理邏輯（新編21世紀哲學系列教材；中國人民大學「十三五」規劃教材—特色教材）》是為了給將來致力於數理邏輯研究的讀者奠定堅實基礎而寫的。概括地講，第1-4章為基礎內容，第5-6章為高階內容。具體來看，第1章從思想史角度講述哲學之於邏輯的動機催發，第2章講述命題邏輯的早期簡史、語法語義、完全性、緊緻性等，第3章講述一階邏輯的早期簡史、語法語義、完全性、緊緻性及應用、哲學的應用等，第4章講述一階理論的基本性質、幾種形式等，第5章講述哥德爾兩個不完全性定理的數學哲學動機、詳細證明過程、一些相關推論、數學哲學影響等，第6章以模態邏輯為例說明邏輯之於哲學的實際應用。

余俊偉，中國人民大學哲學院教授，主要研究方向為邏輯和形而上學。
趙曉玉，中國人民大學哲學院講師，主要研究方向為數理邏輯、數學基礎和數學哲學。
裘江傑，中國人民大學哲學院副教授，主要研究方向為集合論、分析哲學和科學哲學。
張立英，中央財經大學文化與傳媒學院教授，主要研究方向為哲學邏輯。

數理邏輯的教學和學習在國際國內的哲學院系一直是個比較突出的難題，而這主要有兩方面的原因。一方面，學習數理邏輯需要一定的數學素養。從數理邏輯本身來講，它採用特殊的數學符號語言，因而學習數理邏輯首先要過符號語言關。同時，對於這套符號語言的解釋也需要結合抽象的數學結構，而這需要對其他數學分支有一定程度的了解。而且，數理邏輯涉及的大多數內容也都採用數學化的表述方式，即定理、證明等體例。以上這些都決定了，學習數理邏輯本身就不是一件容易的事情。這些特點與數理邏輯產生的背景直接相關，它採用數學符號語言並用數學的方法進行研究，不僅是為了克服自然語言有一定歧義性的缺陷，而且是為了確保討論問題時足夠的嚴謹性。另一方面，中國的基礎教育過早地分文理科，而哲學院系通常從文科招生，這就從客觀上導致了哲學院系的學生學習數理邏輯的難度進一步加大。
雖然學習數理邏輯有一定的難度，但是它的難度係數並不大，而且也並非不能克服，更不足以壓倒學習數理邏輯的必要性。學習數理邏輯至少有三個方面的必要性。首先，數理邏輯從一開始就有著為哲學下轄之數學哲學服務的目的，身處哲學院系自然要儘可能多地了解哲學的各個領域。儘管數理邏輯最初的目的是分析、表達數學命題，但是分析、表達數學命題又是與探究數學命題的性質相關的——它是分析的還是綜合的？這當然也是一個哲學命題。其次，數理邏輯作為哲學的一個二級學科，其解析思維結構的觀念和方法不僅僅局限於數學哲學，也可以運用到其他哲學二級學科。20世紀哲學史上的語言轉向及邏輯實證主義流派的興起就是很好的說明，雖然該流派後來式微。流派有興衰，分析性的風格與方法卻是恆久與穩定的，而學習數理邏輯便是熟悉、領悟這種風格與方法的一種極佳途徑。最後，數理邏輯還是邏輯學最為重要的課程，是學好邏輯學下轄各個方向的必要基礎，因為數理邏輯的思維訓練、概念支持和技術輔助對邏輯學下轄各個方向的學習基本都是有益的。
既然學習數理邏輯有必要性，那麼接下來就要考慮如何減少學習它的阻力。在寫作教材上，我們嘗試從以下三個方面努力。一是考察古代與現代邏輯的發生、發展與哲學的內在緊密關聯，撩開邏輯本身原初的素樸風貌，呈現邏輯和哲學之間的天然淵源，從而讓讀者切身感受到數理邏輯的自然而然。二是在講授知識點的同時努力呈現其背後的理性直觀。對於關鍵概念，我們在做到嚴格性的同時，通過精細的評註和具體的示例儘可能講清楚。對於重要定理，尤其是難度較大的定理，我們先講整體證明思路及其與其他知識點的關聯，再輔助以儘可能形象的圖表，最後再用儘可能清楚的結構和儘可能簡潔的語言呈現整個證明過程。三是幾乎在每一章都結合具體的案例來展示邏輯與哲學的互動：哲學之於邏輯的動機催發和邏輯之於哲學的實際應用。
本書前四章是基本內容，後兩章屬於高階與擴展部分。全書每一章的內容都是比較豐富的，授課教師可以根據自己的實際需要選擇性地講授，廣大學生也可以根據自己的興趣選擇性地閱讀。本書的內容撰寫及相關工作的分工情況大致如下：余俊偉撰寫第1章和第6章，張立英撰寫第2章，趙曉玉撰寫第3章和第5章，裘江傑撰寫第4章；余俊偉與趙曉玉負責全書最後的統稿工作；趙曉玉提供本書排版所用LATEX軟件的相關技術支持。在寫作本書時，我們儘可能做到最大程度的嚴謹，但還是難免有所疏漏。因此，我們懇請各位讀者在閱讀本書過程中，不論發現任何問題，均可來信告知，從而便於我們後續的修訂再版：zhaoxy00@126.com。
本書受到了中國人民大學「十三五」本科教材建設發展規劃項目的資助，特此表示感謝！另外，在出版過程中，中國人民大學出版社的楊宗元、王鑫，吳冰華、張傑等編輯做了大量細緻的校審工作，在此一併致謝！

第1章 哲學緣起
1.1 哲學之求真
1.2 從哲學到邏輯
1.2.1 亞裡士多德的邏輯與哲學
1.2.2 弗雷格的邏輯與哲學
第2章 命題邏輯
2.1 導言
2.1.1 什麼是命題邏輯
2.1.2 命題邏輯發展簡史
2.1.3 本章的基本脈絡
2.2 語言
2.3 語義
2.3.1 真與真值
2.3.2 組合性
2.3.3 聯詞與真值表
2.3.4 形式語義
2.3.5 常見重言式
2.4 公理系統
2.4.1 命題演算
2.4.2 證明和內定理
2.4.3 演繹規則
2.4.4 演繹定理
2.4.5 公理的獨立性
2.5 可靠性和完全性
2.5.1 可靠性證明
2.5.2 完全性證明
2.5.3 廣義完全性定理
2.5.4 公理的獨立性
2.5.5 緊緻性和可判定性
第3章 一階邏輯
3.1 導言
3.1.1 問題引入
3.1.2 早期簡史
3.2 語法
3.2.1 基本語法
3.2.2 無歧義性
3.2.3 遞歸定義
3.2.4 歸納證明
3.2.5 自由變元
3.3 語義
3.3.1 結構與賦值
3.3.2 塔斯基語義
3.3.3 合同與代入
3.3.4 重要有效式
3.3.5 公式的範式
3.4 公理系統
3.4.1 公理系統
3.4.2 證明與演繹
3.4.3 重要元定理
3.4.4 演繹規則
3.4.5 邏輯與理論
3.5 完全性定理
3.5.1 可靠性定理
3.5.2 可滿足定理
3.5.3 可擴張定理
3.5.4 完全性定理
第4章 一階理論
第5章 不完全性
第6章 模態邏輯
參考文獻
符號索引
名稱索引
術語索引