分數微積分：理論基礎與應用導論（簡體書）

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Igor Podlubny為斯洛伐克科希策理工大學教授，應用數學博士，專注於研究數學在其他領域的應用，特別是對任意階微分方程的應用。

袁曉，1964年生，四川中江人，工學博士，四川大學電子信息學院副教授。目前主要從事現代電路系統理論與技術、現代信號分析與處理等方面的研究與教學。近年來，致力於探索並建立表征與分析、理解與構造分數階（電路）元件、分抗逼近電路、分數階電路與系統等的一般數學原理與方法。提出標度拓展理論，探索與建立非正則標度方程相關理論與求解方法。

前言

本書致力於論述任意實數階積分和導數概念、任意階微分方程的解法，以及它們在不同領域的應用。

非整數階導數理論可追溯到1695年9月30日，萊布尼茨(Leibniz)給洛必達(L’Hospital)\[123\]回信的一個列表注記，信中討論了半階導數的意義。

萊布尼茨的這一注記導致了任意階導數和積分理論的出現，但直到十九世紀末，才由劉維爾、格林瓦爾、萊特尼科夫和黎曼等逐步地建立起粗略的理論框架。分數導數理論歷史綜述可在文獻\[44，153，179，226，232\]中找到。

三個多世紀以來，分數導數理論的發展和研究主要局限於純數學理論領域。然而，最近二十幾年來許多研究者指出，非整數階導數和積分非常適合描述眾多現實材料特征，比如聚合物材料。業已證明，新的分數階模型比先前的經典整數模型更有效。文獻\[30，254\]中給出了基於非整數階模型的基本物理解釋。

分數導數對於不同材料和過程的記憶與遺傳特性提供了精妙的描述手段和研究方法。分數導數的主要優點在於，比起經典的整數階模型，它能更準確地表征現實材料和復雜物理過程的上述性質，而在經典的整數階模型中卻忽略了這些效應。分數導數的優勢還表現在，它不但能夠很好地對現實材料的力學與電學特性進行數學建模，而且對於物質的流變性能，以及許多其他領域中的問題建模也有良好表現。

非整數階導數另一大應用領域是近年來興起的復雜且精細的分形理論。分形理論的發展更進一步推動了分數導數問題的深入研究，特別在自相似與多孔結構的動力學過程建模方面尤顯突出。

分數積分和導數也出現在動力學系統的控制理論中。使用分數微分方程來描述被控系統或／和控制器的動力學特征更切實際。

在系統和過程的數學建模與仿真中，應用分數導數表征其性質時，就會自然地引入具有分數導數的微分方程，接著必須求解這樣的方程。然而至今還沒有找到求解這些方程的有效通用方法，甚至對於分數導數與積分最成功的應用情形亦是如此。

從物理、化學和工程應用的角度來看，Oldham和Spanier的著作《分數微積分：任意階微分積分理論與應用》無疑是這一方面的杰作，並且在這一深奧理論的應用發展過程中，起著重要作用而被認為是“應用分數微積分（Applied Fractional Calculus）”書籍。該書是第一部全面致力於系統論述分數微積分概念、方法和應用的著作。

後來出現的有關論述(在不同領域中的)分數微積分問題的著作有：

Samko，Kilbas和Maritchev］編輯的俄文版專論《分數階積分和導數及它們的一些應用》（Nauka I Tekhnika，Minsk，1987）

Gorenflo和Vessella所著的《阿貝爾積分方程：分析與應用》（Lecture Notes in Mathematics，vol1461，Springer-Verlag，Berlin，1991）

Kiryakova所著的《廣義分數微積分與應用》（Pitman Research Notes in Math，no301，Longman，Harlow，1994）

McBride所著的《分數微積分與廣義函數的積分變換》（Res Notes in Math，vol31，Pitman Press，San Francisco，1979）

Miller和Ross所著的《分數微積分和分數微分方程引論》（John Wiley ＆ Sons Inc，New York，1993）

Nishimoto所著的《Nishimoto分數微積分的本質》（Descartes Press，Koriyama，1991）

Rubin所著的《分數積分與勢》（Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics，vol82，Longman，Harlow，1996）

Carpinteri 和Mainardi編輯的《連續介質力學中的分形與分數微積分》（Springer Verlag，Vienna-New York，1997）

Yu Rossikhin和 Shitikova編輯的《分數微積分在固體線性和非線性遺傳力學問題中的應用》（Appl Mech Rev，vol50，no1，1997）

卡普途［24］在1969年的意大利語著作中，系統地使用他所原創定義的分數微分去表示和求解黏彈力學問題，並將他的《地震學與流變構造地質學講座》（Univ degli studi di Roma“La Sapienza”，1992~1993）也加入到分數微積分這一科學長廊之中。

Oustaloup將分數導數在控制理論方面的應用編輯成叢書：

《分數階線性系統》（Masson，Paris，1983）［183］

《CRONE控制器》CRONE是法語“Commande Robuste d’Ordre Non Entier”的首字母縮略詞，是“穩健分數階控制（robust fractional-order control）”之意。相關內容讀者可參見本書第9章引言部分。（Hermes，Paris，1991）

《穩定性》（Hermes，Paris，1994）

《非整數階導數：理論、綜合與應用》（Hermes，Paris，1995）

Oldham和Spanier所著的《分數微積分：任意階微分積分理論與應用》（1974），米勒（Miller）和羅斯（Ross）所著的《分數微積分和分數微分方程引論》（1993）是應用科學家學習分數導數和分數微分方程的首選入門書。這兩本書中的大量文獻可幫助讀者掌握分數微積分的初步研究方法。

本書的主要目的是為讀者展示分數微分的基本理論、分數階微分方程及其求解方法與應用。考慮到讀者——所有科技分支領域中工作者的應用研究需要，特別注意提供了易於理解與領會的應用實例來闡述概念和理論。基於同樣的理由，書中針對分數微分的方式方法，都緊密結合現實應用而論述。作者在寫作的語言敘述方式和文體風格上，力求適合廣泛的潛在讀者群，閱讀後能夠從中有效地學習和理解分數微積分的概念與理論。

本書共10章。

第1章引入特殊函數理論，主要論述伽馬函數（Γ函數）、貝塔函數（B函數）、米塔-列夫勒（Mittag-Leffler）函數和賴特（Wright）函數。這些特殊函數在分數導數與分數微分方程理論中起著至關重要的作用。

第2章陳述微分與積分概念廣義化的一些方法。對於每一種情況，均從整數階導數和積分入手，然後介紹怎樣使用所選擇的方法，廣義化整數階微分與積分到分數階情形。在此重點考察格林瓦爾-萊特尼科夫、黎曼-劉維爾和卡普途分數導數，以及所謂的序貫分數導數(sequential fractional derivatives)。另外還討論分數導數的廣義函數方法、左和右分數導數概念。最後介紹這些不同定義的性質，包括復合運算規則、它們之間的相互聯系，以及積分變換（拉普拉斯變換、傅裡葉變換、梅林變換）的應用。

第3~8章專注於論述分數微分方程的處理方法。

第3章給出一些對於處理分數微分方程初始問題有用的存在性和唯一性定理，並用求解實例證明它們的有效性。該章也研究解結果與初始條件的依賴關係。

第4章論述求解線性分數微分方程的拉普拉斯變換法，並舉例說明該方法的可行性。在此需要特別注意的是，包含“標準（standard）”與“序貫（sequential）”分數導數的分數微分方程之間的差別。該章同時也給出一些用拉普拉斯變換法求解偏微分方程的例子。

第5章首先給出分數格林函數的定義和性質，獲得一般常線性分數微分方程解的格林函數顯式表達式。緊接著研究特殊的單項、雙項、三項和四項分數微分方程的求解。結合第4章和第5章的求解方法，對於常線性分數微分方程來說，就可能容易獲得其初值問題的閉式解。

第6章講述求解分數微分方程的一些其他解析方法，也即梅林變換法、冪級數法和Babenko符號法。這一章也包含求解分數階積分方程的正交多項式法，並給出不同核類函數的譜關係概貌。該章所描述的所有方法都有實例說明。

第7章和第8章研究分數微分方程的數值求解算法。

第7章引入分數導數數值計算的分數差分法原文為“the difference approach”，譯為分數階差分法，簡稱分數差分法。，討論其逼近。本章也論述“短時記憶”短時記憶——short-memory，也可譯為短暫記憶。原理，它允許我們快速估算分數導數。緊接著用高爐墻內熱負載強度變化估算實例，闡明分數差分法和“短時記憶”原理的具體應用。最後采用分數導數的分數差分逼近，解決發散積分有限部分的數值估算問題。該問題通常出現在許多領域，特別在斷裂力學（fracture mechanics）中，經常需要對有關發散積分的有限部分進行數值估算。

第8章應用分數差分法數值求解常分數微分方程初值問題。同時再一次用幾個求解實例來驗證分數差分法和“短時記憶”原理的實用價值和有效性。

第9、10兩章，致力於分數微積分的應用，並用實例來展示前幾章所給方法的具體應用步驟和求解過程。

第9章考察分數階動力學系統和控制器問題。事實上，本章是前幾章中所給方法的擴展應用。

第1章分數微積分中使用的特殊函數
1．1伽馬函數
1．1．1伽馬函數的定義
1．1．2伽馬函數的一些性質
1．1．3伽馬函數的極限表示
1．1．4貝塔函數
1．1．5圍線積分表示
1．1．61/Γ(z)的圍線積分表示
1．2米塔-列夫勒函數
1．2．1定義及其一些函數關係
1．2．2雙參量米塔-列夫勒函數的拉普拉斯變換
1．2．3米塔-列夫勒函數的導數
1．2．4有關米塔-列夫勒函數的微分方程
1．2．5求和公式
1．2．6米塔-列夫勒函數的積分
1．2．7漸近展開
1．3賴特函數
1．3．1賴特函數的定義
1．3．2賴特函數的積分表達式
1．3．3賴特函數與其他函數的關係
第2章分數導數與分數積分
2．1基本概念與名稱
2．2格林瓦爾-萊特尼科夫分數導數
2．2．1整數階導數與積分的統一定義
2．2．2任意階積分
2．2．3任意階導數
2．2．4(t－a)β的分數導數
2．2．5具有整數階導數的復合運算
2．2．6分數導數的復合運算
2．3黎曼-劉維爾分數導數
2．3．1整數階導數與積分的統一定義
2．3．2任意階積分
2．3．3任意階導數
2．3．4(t－a)β的分數導數
2．3．5黎曼-劉維爾分數導數與整數階導數的復合運算
2．3．6分數導數的復合運算
2．3．7黎曼-劉維爾定義與格林瓦爾-萊特尼科夫定義之間的關係
2．4其他一些定義
2．4．1卡普途分數導數
2．4．2廣義函數法
2．5序貫分數導數
2．6左和右分數導數
2．7分數導數的性質
2．7．1線性性質
2．7．2分數導數的萊布尼茨法則
2．7．3復合函數的分數導數
2．7．4單參量積分的黎曼-劉維爾分數導數
2．7．5下端點附近的行為
2．7．6遠離下端點的行為
2．8分數導數的拉普拉斯變換
2．8．1拉普拉斯變換的基本知識
2．8．2黎曼-劉維爾分數導數的拉普拉斯變換
2．8．3卡普途分數導數的拉普拉斯變換
2．8．4格林瓦爾-萊特尼科夫分數導數的拉普拉斯變換
2．8．5米勒-羅斯序貫分數導數的拉普拉斯變換
2．9分數導數的傅裡葉變換
2．9．1傅裡葉變換的基本知識
2．9．2分數積分的傅裡葉變換
2．9．3分數導數的傅裡葉變換
2．10分數導數的梅林變換
2．10．1梅林變換的基本知識
2．10．2黎曼-劉維爾分數積分的梅林變換
2．10．3黎曼-劉維爾分數導數的梅林變換
2．10．4卡普途分數導數的梅林變換
2．10．5米勒-羅斯分數導數的梅林變換
第3章分數微分方程：解的存在性與唯一性定理
3．1線性分數微分方程
3．2一般形式的分數微分方程
3．3作為解法的存在性與唯一性定理
3．4解與初始條件的依賴關係
第4章分數微分方程：拉普拉斯變換法
4．1標準分數微分方程
4．1．1常線性分數微分方程
4．1．2偏線性分數微分方程
4．2序貫分數微分方程
4．2．1常線性分數微分方程
4．2．2偏線性分數微分方程
第5章分數格林函數
5．1定義與性質
5．1．1定義
5．1．2性質
5．2單項方程
5．3雙項方程
5．4三項方程
5．5四項方程
5．6一般情況：n項方程
第6章分數階方程的其他求解方法
6．1梅林變換法
6．2冪級數法
6．2．1單項方程
6．2．2非定常系數方程
6．2．3雙項非線性方程
6．3Babenko符號算法
6．3．1符號法的思想
6．3．2在熱傳導和物質輸運中的應用
6．3．3Babenko符號法與拉普拉斯變換法的聯系
6．4正交多項式法
6．4．1正交多項式法的核心思想
6．4．2正交多項式法的一般技巧
6．4．3裡斯分數字勢
6．4．4左黎曼-劉維爾分數積分和導數
6．4．5有關左黎曼-劉維爾分數積分的其他譜系關係
6．4．6右黎曼-劉維爾分數積分的譜系關係
6．4．7蠕變理論中的Arutyunyan方程求解
6．4．8阿貝爾積分方程的求解
6．4．9有限部分積分
6．4．10與非可積權函數正交的雅可比多項式
第7章分數導數的數值計算
7．1分數階導數的黎曼-劉維爾定義與格林瓦爾-萊特尼科夫定義
7．2分數導數的逼近
7．2．1分數差分法
7．2．2求積公式的應用
7．3“短時記憶”原理
7．4逼近階
7．5系數的計算
7．6高階逼近
7．7高爐墻體內熱負荷強度變化的計算
7．7．1問題的引入
7．7．2分數階微分和積分
7．7．3熱流量的分數階導數計算法――方法A
7．7．4基於爐墻熱場模擬仿真的熱流量計算法――方法B
7．7．5解法的比較
7．8有限部分積分與分數導數
7．8．1用分數導數進行有限部分積分計算
7．8．2用有限部分積分進行分數導數計算
第8章分數微分方程的數值求解
8．1初始條件：什麼問題需要求解？
8．2數值求解
8．3數值求解舉例
8．3．1弛豫-振蕩方程
8．3．2定常系數方程：浸入平板的運動
8．3．3不定系數方程：流體中氣體溶解問題
8．3．4非線性問題：半無限體的輻射冷卻
8．4“短時記憶”原理在分數微分方程初值問題中的應用
第9章分數階系統與控制器
9．1分數階系統與分數階控制器
9．1．1分數階控制系統
9．1．2分數階傳輸函數
9．1．3米塔-列夫勒型新函數
9．1．4一般公式
9．1．5單位衝激響應與單位階躍響應
9．1．6一些特殊情形
9．1．7PIλDμ控制器
9．1．8開環系統響應
9．1．9閉環系統響應
9．2舉例
9．2．1分數階被控系統
9．2．2整數階逼近
9．2．3整數階PD控制器
9．2．4分數階控制器
9．3分數階系統辨識
9．4小結
第10章分數微積分的應用綜述
10．1阿貝爾積分方程
10．1．1一般要點備注
10．1．2一些方程可簡化為阿貝爾方程
10．2黏彈性力學
10．2．1整數階模型
10．2．2分數階模型
10．2．3分數微積分相關方法
10．3反饋放大器的伯德分析
10．4分數階電容器理論
10．5電路
10．5．1樹分抗
10．5．2鏈分抗與串分抗
10．5．3多孔堤壩的電路模擬模型
10．5．4Westerlund廣義分壓器
10．5．5分數階Chua-Hartley系統
10．6電分析化學
10．7電極-電解液界面
10．8分數多極點
10．9生物學
10．9．1生物系統的電導性
10．9．2神經元的分數階模型
10．10分數擴散方程
10．11控制理論
10．12實驗數據擬合
10．12．1經典回歸模型的缺點
10．12．2分數導數法
10．12．3舉例：Nizna Slana礦山鋼纜
10．13“分數階”物理學
附錄A分數導數表
注譯附錄A 分數微積算子、分抗與分抗逼近電路及其運算特征
注譯附錄B Oldham分形鏈分抗逼近電路的輸入阻抗函數序列的求解方法
注譯附錄C 粗糙界面電極的電路建模與標度拓展――非正則標度方程
注譯附錄D 任意階分數算子的有理逼近――標度拓展與非正則標度方程
注譯附錄E 分數微積分的應用實現問題
中英文詞匯對照表
參考文獻
注譯參考文獻
注譯後記