吳軍數學通識講義：原來數學可以這樣用！文津圖書獎得主吳軍全新力作，一本寫給所有人的數學通識講義（簡體書）

如何一眼識破龐氏騙局、做好理財、投資？

如何在購房貸款時做出很好選擇？

如何增加簡歷通過初篩的幾率？

如何規劃公司的發展曲線？

更重要的是，

如何提升自己的認知水平？

如何改變自己的思維方式？

……

如果你也關注這些問題，希望借助數學思維來更好地提升自己、認知世界，這本書希望你一定要看。

這是一本寫給所有人的數學通識講義，書中通過關鍵知識點串聯起整個數學體系，幫助你逐步建立起屬￿自己的數學知識結構。而貫穿全書的數學發展史，其實就是人類認知的發展史，你可以借此逐步訓練自己的認知：從直觀到抽象，從靜態到動態，從宏觀到微觀，從隨意到確定再到隨機。

對於理工專業的讀者，這本書能夠幫助你更好地梳理以往的數學知識，站在更高的地方更全面地看待數學以及人類知識體系；對於非理工專業的讀者，則能更好地訓練自己的數學思維，讓你直擊本質、化繁為簡，做出正確的決策。

為什麼我要寫一系列通識讀本

通識教育，在當下是一個熱門話題。今天，中國人經過幾代人的努力，已經解決了溫飽問題，很多人也都步入了中產階層。他們接下來就希望自己能更上一層樓，或者自己的下一代能夠超越自己。但是他們普遍遇到了困境，就是在職業發展上有所謂的天花板，在社會地位提升上有所謂的階層壁壘。通常人們在35~40歲就會遇到這樣的困境，然後在接下來的大半輩子裡能做的，除了享受生活、教育孩子超越自己，就是在工作中維持現狀，即便這個人很努力。

為什麼簡單的努力破不了局呢？這就和教育、培養有關了。我們大部分人所接受的教育，只是讓我們掌握了單一的或者過於專業化的技能。社會需要這種技能，我們在物質和榮譽方面獲得的酬勞，就是這種技能的市場價格。有人可能會想，我多掌握一種技能，就比別人本事大了，機會就多了。這種思維方式，依然是簡單工匠式的，因為一個人即便掌握了五種技能，謀生時使用的通常也只有一種。

比如在硅谷，很多工程師覺得單靠在公司的工作很難買得起最好學區的房子，於是考了房地產經紀人和保險中介人的執照，從擁有一種技能變成了三種，下班和周末加班加點地做本職工作之外的事情。雖然這樣收入看似多了一些，但最後他們是否能比一心在公司工作的人走得更遠呢？真的難說。這樣的技能教育，接受得再多，也不過是從一種工匠變成幾種工匠。

我在得到App“硅谷來信”等專欄裡講過，即使是做同一件事情，精英水準和普通執行層面水準的差距也可能是幾個數量級的。要達到精英水準，就需要提高綜合素質，而非獲得一個個單一的技能。而提高綜合素質這件事，雖然可以通過自己長期的摸索取得一些進步，但畢竟效率太低，進步的速度太慢。更有效的提高綜合素質的方法，是接受通識教育。

不僅中國人，世界上不少國家的人都有名校情結。但是，世界上的頂級名校，相比於二流大學，專業課講得並沒有太多的亮點，那為什麼大家要上名校呢？除了學生群體素質高、教育資源多，還有很重要的一點是學生能夠在那裡接受到更好的通識教育。

並非只有哈佛、普林斯頓這些以文理科見長的大學才有通識教育，即便是大家心目中以理工科見長的麻省理工學院，在大學本科教育階段也非常強調通識教育。麻省理工學院人文學科的水平其實很高，其絕大部分人文學科都能在美國排進前十名，更不用說它還有很好的商學院了。這讓它的畢業生成為工業界領袖的比例非常高——占到了校友人數的40%左右。至於那些以文理科見長的名校，更是注重通識教育。普林斯頓大學著名計算機科學家、美國工程院院士李凱教授，總是要求他指導的本科生多選人文類的課程。因為在他看來，對從業者來講，有一輩子的時間可以學習計算機技能，但是如果一開始通識教育的基礎沒有打好，人在職業道路上就走不遠。

上述道理很多人都懂，但是苦於沒有機會補足通識教育的欠缺。因為我們的大學還是嚴格分專業的，而高中教育則是非常強調分數的。這些做法都和通識教育的理念相違背。因此，即使在中國上了最好的大學，也未必就能受到很好的通識教育。那怎麼辦呢？只有在課堂以外想辦法補救了。

當然，在補上通識教育這一環之前，我們要先了解什麼是通識教育。

通識教育在中國還有一個更好聽的詞，叫作博雅教育。其實它們都是從拉丁文裡的Liberal Arts一詞翻譯過來的，“通識教育”這種翻譯強調其內容，“博雅教育”則強調其目的。

liberal是“自由”的意思，arts則通常翻譯成“藝術”，讓人聯想到音樂、繪畫、攝影、手工等，但它的含義其實更廣泛一些，是指那些未必能直接用於謀生技能，包括數學、自然哲學（也就是今天的自然科學）、哲學、歷史、藝術、音樂和很多其他的人文學科。那麼，為什麼把liberal和arts這兩個詞聯系在一起呢？這就要從古希臘的自由民說起了。

liberal最初是指古希臘自由民的屬性，自由民是希臘半島上各個城邦的主人，有政治權利、自由意志，能夠自己決定自己的生活。同時古希臘也有很多奴隸，但並非所有奴隸都像小說《斯巴達克斯》裡描寫的那樣完全沒有人身自由，天天戴著腳鐐幹繁重的體力活。用我們今天的話來說，古希臘很多奴隸其實屬於白領，甚至是合伙人。他們可能是管家、家庭教師、樂師、畫匠，甚至是店長——他們經營店鋪，和主人分利。但不管奴隸的物質生活水平怎麼樣，是否有經濟收入，他們都不是自由民，即便不少奴隸是有相當的人身自由的。

古希臘的很多奴隸都不是文盲，他們也接受教育，能識文斷字，但是他們所學的都是謀生的技能。因為不是自由民，他們就不具有社會主人的心態，不會去操心那些自由民要操心的事情，當然也不用學習自由民才要學的知識，以及行使社會主人權力所需要的素養。因此，在古希臘，是否接受過通識教育，是區別自由民和奴隸的依據。

那麼，接受了通識教育的希臘自由民做什麼呢？大家看看蘇格拉底的生活就知道了。他每天吃完早飯，和自己的潑婦老婆打個招呼，然後就到廣場上去和別人辯論了。當然，遇到戰爭他也要去打仗，因為那是自由民的義務。

在過去物質不豐富的年代，人雖然是法律上的自由人，但是時間都用來獲取謀生的基本物質了，想像蘇格拉底那樣生活和思考完全是奢望。因此，通識教育便無從談起，甚至也沒有必要。但是今天，中國人已經從法律上的自由人變成了經濟上的自由人，接下來應該變成精神上的自由人，此時通識教育就顯得特別有必要了。

當然，有人會問，你剛才提到的自由人應有的知識，能幫我多掙錢嗎？能讓我在單位提升兩級嗎？或許不能，或者說不能直接實現你的需求，因為它們和掙錢的技能無關。但是，如果你把自己當作這個世界的主人，要享受這個世界，就如同當年古希臘的自由民享受自由一樣，就需要有主人的學識。人要想成為社會的精英，首先要在精神上成為精英，這樣才能以精英的方式思考，以主人的態度做事，才能超出常人。

今天，中國的大學依然缺乏通識教育這個環節。雖然很多大學老師在為改變這種狀態而努力，但是大家不可能等到大環境完全塑造好了才開始對自己進行通識教育。另外，很多教育工作者依然體會不到通識教育對一個人長遠發展的重要性，片面地認為教育的目的是培養有知識的勞動者，而不是培養社會的主人。比如說，很多高中為了高考，把原本該有的通識教育省略了。相比之下，那些世界頂級名校在通識教育方面做得要好得多。哈佛大學一直很自豪地講，它為學生開設了6000多門課程，其中絕大部分課程和謀生沒有直接關係，相當多的課程都屬於通識課。這樣學生可以以自己為中心，把自己當作學校的主人，不管想學習什麼知識都能學得到。在美國，開這麼多門課的大學並不少。

中國通識教育的另一大問題是知識的結構化缺失。很多人說，我在中學也努力學習過語文、歷史，或者數學和科學，但不知道平時有什麼用。多年前，我寫了《數學之美》一書，很多讀者看了之後說：“哦，原來數學可以這麼用。”硅谷一些中學生見到馬斯克時問他，在大學裡學什麼才能成為企業家。馬斯克總是不假思索地說，像我一樣學物理，因為你會因此有一種最適合這個世界的思維方式。可見，在馬斯克心裡，物理學的那些知識並不重要，重要的是物理學的思維方式，然後做到一通百通。這也道出了通識教育的本質，即能夠將這些知識用於許多地方，而不僅僅是直接用來做具體的事情。為此，通過通識教育，理解知識的結構化和關聯性很重要。

如果你已經認可了通識教育的重要性，恭喜你，也歡迎你閱讀得到圖書出品的這一系列通識讀本。得到的創始人、管理層和為大家提供知識服務的員工，都有幫助中國所有上進的人補上通識教育的缺失這樣一種遠大的理想。因此，我在和他們談出版一系列通識教育讀本的時候，他們都非常支持。事實上，得到App已經開設了上百門高水平的通識課。當然，出版通識教育讀本是一個大工程，哈佛大學的那6000門課也不是一天開出來的，更沒有人能夠全部學完。因此，在第一階段，這個系列的通識讀本只集中在最基礎、每個人都需要了解的知識體系上。在此基礎上， 我們會繼續推出各個專業的通識讀本。最後，還會有與個人興趣、工作性質相關的專題類的通識讀本。

在大的通識教育體系中，我就相當於早上了兩年課的大師兄。我根據自己在職業生涯中的體會，總結出了師弟師妹們必須學的知識。通過學習這些知識，你的思維方法和做事水平會得到明顯的提升。

這套基礎通識讀本會包括九類核心學科，分別是：

數學；

邏輯學；

語文、文學和寫作；

文明史；

自然科學；

經濟、金融、管理和投資；

信息科學；

人文地理；

音樂和藝術；

政治學、哲學和軍事。

上述每一個通識讀本的單本，都會包括精選出的每個人都應該了解的知識點，它們的來龍去脈和用途，它們在學科體系中的地位，它們對人類的思維和認知起到過什麼作用，以及我們對我們認知升級有什麼幫助。

總序
前言
基礎篇
第1章 理解數學的線索：從畢達哥拉斯講起
1.1 勾股定理：為什麼在西方叫畢達哥拉斯定理
1.2 數學的預見性：無理數是畢達哥拉斯定理的推論
1.3 數學思維：如何從邏輯出發想問題
1.4 黃金分割：數學和美學的橋梁
1.5 優選法：華羅庚化繁為簡的神來之筆
第2章 數列與級數：承上啟下的關鍵內容
2.1 數學的關聯性：斐波那契數列和黃金分割
2.2 數列變化：趨勢比當下重要
2.3 級數：傳銷騙局裡的數學原理
2.4 等比級數：少付一半利息，多獲得一倍回報
第3章 數學邊界：數學是萬能的嗎
3.1 數學的局限性：從勾定理到費馬大定理
3.2 探尋數學的邊界：從希爾伯特第十問題講起

數字篇
第4章 方程：新方法和新思維
4.1 雞兔同籠問題：方程這個工具有什麼用
4.2 一元三次方程的解法：數學史上著名的發明權之爭
4.3 虛數：虛構的工具有什麼用
第5章 無窮大和無窮小：從數值到趨勢
5.1 無窮大：為什麼我們難以理解無限大的世界
5.2 無窮小：芝諾悖論和它的破解
5.3 第二次數學危機：牛頓和貝克萊的爭論
5.4 極限：重新審視無窮小的世界
5.5 動態趨勢：無窮大和無窮小能比較大小嗎

幾何篇
第6章 基礎幾何學：公理化體系的建立
6.1 幾何學的起源：為什麼幾何學是數學中最古老的分支
6.2 公理化體系：幾何學的系統理論從何而來
第7章 幾何學的發展：開創不同數學分支融合的先河
7.1 非歐幾何：換一條公理，幾何學會崩塌嗎
7.2 圓周率：數學工具的意義
7.3 解析幾何：如何用代數的方法解決幾何問題
7.4 體系的意義：為什麼幾何能為法律提供理論基礎

代數篇
第8章 函數：重要的數學工具
8.1 定義和本質：從靜態到動態，從數量到趨勢
8.2 因果關係：決定性和相關性的差別
第9章 線性代數：超乎想象的實用工具
9.1 向量：數量的方向與合力的形成
9.2 餘弦定理：文本分類與簡歷篩選
9.3 矩陣：多元思維的應用

微積分篇
第10章 微分：如何理解宏觀和微觀的關係
10.1 導數：揭示事物變化的新規律
10.2 微分：描述微觀世界的工具
10.3 奇點：變化連續和光滑是穩定性的基礎
第11章 積分：從微觀變化了解宏觀趨勢
11.1 積分：微分的逆運算
11.2 積分的意義：從細節了解全局
11.3 最優化問題：用變化的眼光看最大值和最小值
11.4 發明權之爭：牛頓和萊布尼茨各自的貢獻
*11.5 體系的完善：微積分公理化的過程

概率和數理統計篇
第12章 隨機性和概率論：如何看待不確定性
12.1 概率論：一門來自賭徒的學問
12.2 古典概率：拉普拉斯對概率的系統性論述
12.3 伯努利試驗：隨機性到底意味著什麼
12.4 均值與方差：理想與現實的差距
第13章 小概率和大概率：如何資源共享和消除不確定性
13.1 泊松分布：為什麼保險公司必須有很大的客戶群
13.2 高斯分布：大概率事件意味著什麼
*13.3 概率公理化：理論和現實的統一
第14章 前提條件：度量隨機性的新方法
14.1 前提條件：條件對隨機性的影響
14.2 差異：概率、聯合概率和條件概率
14.3 相關性：條件概率在信息處理中的應用
14.4 貝葉斯公式：機器翻譯是怎樣工作的
第15章 統計學和數據方法：準確估算概率的前提
15.1 定義：什麼是統計學
15.2 實踐：怎樣做好統計
15.3 古德-圖靈折扣估計：如何防範黑天鵝事件
15.4 換個眼光看世界：概率是一種世界觀，統計是一種
方法論

終篇
第16章 數學在人類知識體系中的位置
16.1 數學和哲學：一頭一尾的兩門學科
16.2 數學和自然科學：數學如何改造自然科學
16.3 數學和邏輯學：為什麼邏輯是一切的基礎
16.4 數學和其他學科：為什麼數學是更底層的工具
16.5 未來展望：希爾伯特的講演

附錄
附錄1 黃金分割等於多少
附錄2 為什麼斐波那契數列相鄰兩項的比值收斂於黃金分割
附錄3 等比級數求和算法
附錄4 一元N次方程x*=1的解
附錄5 積分的其他兩種計算方法
附錄6 大數定律
附錄7 希爾伯特退休講演的英文譯文

非數學思維 VS. 數學思維

在講什麼是數學思維之前，先要說說什麼不是數學思維。

首先，聽眾人的意見不是數學思維。數學不是民主決策，贊同的聲音越大越正確。事實上很多人湊在一起，智商常常不是增加而是下降，這就是所謂的群體效應。

其次，聽專家的意見不是數學思維。很多人在做判斷時會相信專家，絕大多數時候，這是一個好的習慣，但是專家也會有漏判和誤判的時候。這裡我想以一個例子來說明。2008—2009年的金融危機是歷史上危害僅次於 1929—1933 年全球大蕭條的經濟危機，它讓很多家庭傾家蕩產，包括很多極為富有、受教育程度很高的人。在金融危機之後，英國女王問全世界的經濟學家們，這麼大的危機，這麼明顯的問題，你們這麼多人怎麼沒有一個人預測到呢？這讓經濟學家們很沒面子。

其實女王多少有點錯怪經濟學家這個群體了。整體來看，他們當時確實是過於樂觀了，但是也有一些經濟學家之前確實做過很多預警。而那些被預警的問題，一旦引起注意後，大多會被防範，之後就不再是問題。因此換一個角度講，經濟學家們已經幫助我們避免了很多次的經濟危機了。當然，經濟學家們也不是神，總會有誤判的時候，當大部分人都出現誤判時，真正的危機就來了。但是，在那次金融危機中，還是有一些人利用數學思維避開了風險，而且

賺得盆滿缽滿，這一點我們在後面會講到。

最後，數學思維不是通過以往的經驗或者多次試驗得到結論。這種方法更像是自然科學的思維方式，而不是數學的。事實上，很多時候，通過大量試驗所得到的結果依然可能是錯誤的。比如我們要比較 10 000x 和 x2哪一個大，如果從 x=1 開始試驗，一直試到 100，都是 10 000x 大。但是如果我們因此而得到結論 10 000x> x2， 那就錯了。那麼可能有人會問，為什麼不直接試試 x=20 000 呢？因為人們能夠想象到的例子常常受限於自身的認知。如果一個人平時接觸的數量通常都是個位數的，他就很難想到10 000、20 000 這些大很多的數。

還是在 2008—2009 年的金融危機中，有一次摩根士丹利私人財富管理部門召集客戶們（都是非常有錢的人）開會分析當時的金融狀況。主講人說，根據歷次經濟危機股市的表現，只要實體經濟

沒有受到重創，股市通常會下跌 1/4～1/3。一位參會者馬上就說：“先生，你太樂觀了，我們現在正在創造歷史”。這位發言者的話很快被證實了，因為股市很快就跌了一半。這說明人的經驗通常是有

局限性的。

那麼什麼是數學思維？它是從不可能變的事實出發，利用邏輯找出矛盾，發現問題，然後再設法解決問題。什麼是不變的事實呢？比如說宇宙中基本粒子的數量是有限的，任何經濟增長都不可能是長期翻番的，這些就是不變的事實。具體到金融中，一個不變的事實就是，任何建立在空中樓閣之上的復利增長都難以持續，比如龐氏騙局。