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數論:概念和問題(簡體書)
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數論:概念和問題(簡體書)

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商品簡介

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本書是美國著名數學競賽專家Titu Andreescu教授及其團隊編寫的數學競賽 數論知識教材.

書中涵蓋了整除、公約數、算術基本定理、數論函數、同餘方程、模p多項 式、二次剩餘、p進賦值等主題.通過精彩的例題重點展現了帶餘除法、裴蜀定理、 高斯弓I理、同餘計算、積性函數、費馬小定理、強三角不等式、二次互反律、素數估 計、局部一整體原則的應用.課後共有二百多道習題供練習.

本書適合熱愛數學的廣大教師和學生使用,特別是從事數學競賽相關事業的 人員參考使用.


譯者序

數學競賽中包含了大量的初等題目,它們需要很強的技巧才能解決。這些技 巧顯著高於普通的中小學數學知識,又和大學數學有明顯區別。初步看去這些技 巧像是一些解題定式,深入則發現其更注重敏銳地觀察和巧妙地思考。大多數學 生和家長以為通過大量刷題可以獲得這些解題經驗和技巧,但實際上經驗和技巧 都來源於個人的思考和總結。思維就像一張網,從海量的知識和論述中發現巧妙 的思路和有力的方法。

從本人的學習過程來看,刷題時經常自問自答的一個問題就是“這種解法 的關鍵步驟是什麼從一開始的無意識問到後來的習慣性問,這樣做的結果是 每道題目最終只記住了一點點的東西。相當於對解答的過程做了高度的概括和 標記,也有助於對一類題目的普遍解題方法做歸納總結。因為刷題時主要目的 還是學到新的技巧和思路,題目的選擇也要考慮。個人認為,做自己可以完成 50% - 90%的題目比較合適,這樣有大概的思路,可以過濾掉題目中比較簡單平 凡的步驟,進而發現題目的難點。如果最終未解決題目,對比題目難點的處理辦 法,可以找到自己未掌握的部分,經常就是解答的關鍵步驟或者包含新的技巧。

對於某些非常巧妙的題目解答,僅僅發現關鍵步驟還不能滿足學習目的。這 時經常問“是怎麼想到用這樣的方法”。代入解題情境,體會方法使用時題目的 狀態和特性,將合適的特點與解題方法關聯思考,就容易獲得正確的經驗,熟練 了就成為可變化處理問題的技巧。

一本好的競賽知識書主要在於將有類似技巧的題目循序漸進地安排在一起 (相對來說,競賽題目書只要題目列表、解答正確即可)。蒂圖(Titu)曾是美 國IMO代表隊主教練,有豐富的訓練經驗和資料,又編寫過多本數學競賽的書 籍。他的這本《數論:概念和問題》就是一本精品競賽知識書,有許多獨特之 處。首先,章節的設計和其他數論圖書大有不同,例如將模素數的同餘式和模合 數的同餘式作為標題形成兩章來講解。這本書所提倡的是從同餘方程角度思考數 學競賽中的數論問題。一般首先考慮模素數的問題,然後是模素數幕的問題,最 後是(經常用中國剩餘定理)解決模合數的問題。

這本書的深度相當於大學本科的初等數論教材,習題普遍是非平凡的需要思 考和解題技巧的競賽題目。書中所提到的定理都是在解決競賽題目中真正有用 的,覆蓋面很廣泛。這本書的知識和技巧足夠解決IMO和預選題難度的題目。因 為這本書的題目非常精彩,有些題目解答譯者按作者主要思路,給出了自己的論 述。

在書寫排版方面,這本書基本沒有公式編號,也從不引用另外題目的公式。 如果需要,則引用定理或命題的結論,偶爾才會引用某定理證明中的方法(一般 這種方法就是難於命名的一種處理技巧)。每節的內容安排基本上是理論結果在 前面,跟著一些具體題目上的應用。主要定理在邏輯關聯性的方面安排較好,嚴 謹性方面相當於大學教材。有趣的是,作者在上下文穿插語言中,基本上都說下 一個定理或結果很“重要、有用、關鍵",等等。本著中文表達的謙虛性質,沒 有將這些詞完全翻譯。可能是由於英文數學論述的特點,或者作者有意為之,很 多時候一句斷言,作者會把結果寫在前半句,原因寫在後半句,請讀者碰到時注 意。這也許是一個好的做法,讀者看到結果會不自覺地產生疑問,然後看到原因 時恍然大悟,一定程度刺激了讀者的思考。每道題目的解答作者經常使用分析 法,從結論倒推,得到需要證明的步驟,然後再證明之。還有的時候,作者先聲 明某個結果,然後給出聲明蘊含題目結果的論述,最後證明所聲明的部分。

數論解題的三板斧(為部分競賽選手認同)是:取模、不等式和因式分解。 舊類型的不定方程基本可以這樣搞定。讀過這本書,又可以看到兩種新的方法: 考察素因子類型和考察素因子矗次。希望讀者可以從解法的字裡行間或者題目之 間的聯系中總結出更多的方法和技巧。

學無止境,吾輩皆需努力。


羅煒

2019年10月寫於杭州


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