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微分幾何與拓撲學簡明教程(簡體書)
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微分幾何與拓撲學簡明教程(簡體書)
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商品簡介
目次

商品簡介

本書是俄羅斯莫斯科大學經典數學教材之一,是微分幾何教程的簡明闡述,在大學數學系兩個學期中講授。內容包含:一般拓撲,非線性坐標系,光滑流形的理論,曲線論和曲面論,變換群,張量分析和黎曼幾何,積分法和同調論,曲面的基本群,黎曼幾何中的變分原理。敘述中用大量的例子說明并附有習題。常有補充的材料。
本書適合數學、物理及相關專業的高年級本科生、研究生、高校教師和研究人員參考使用。

從上世紀50年代初起,在當時全面學習蘇聯的大背景下,國內的高等學校大量採用了翻譯過來的蘇聯數學教材。這些教材體系嚴密,論證嚴謹,有效地幫助了青年學子打好紮實的數學基礎,培養了一大批優秀的數學人才。到了60年代,國內開始編纂出版的大學數學教材逐步代替了原先採用的蘇聯教材,但還在很大程度上保留著蘇聯教材的影響,同時,一些蘇聯教材仍被廣大教師和學生作為主要參考書或課外讀物繼續發揮著作用。客觀地說,從解放初一直到文化大革命前夕,蘇聯數學教材在培養我國高級專門人才中發揮了重要的作用,起了不可忽略的影響,是功不可沒的。
改革開放以來,通過接觸並引進在體系及風格上各有特色的歐美數學教材,大家眼界為之一新,並得到了很大的啟發和教益。但在很長一段時間中,儘管蘇聯的數學教學也在進行積極的探索與改革,引進卻基本中斷,更沒有及時地進行跟踪,能看懂俄文數學教材原著的人也越來越少,事實上已造成了很大的隔膜,不能不說是一個很大的缺憾。
事情終於出現了一個轉折的契機。今年初,在由中國數學會、中國工業與應用數學學會及國家自然科學基金委員會數學天元基金聯合組織的迎春茶話會上,有數學家提出,莫斯科大學為慶祝成立250週年計劃推出一批優秀教材,建議將其中的一些數學教材組織翻譯出版。這一建議在會上得到廣泛支持,並得到高等教育出版社的高度重視。會後高等教育出版社和數學天元基金一起邀請熟悉俄羅斯數學教材情況的專家座談討論,大家一致認為:在當前著力引進俄羅斯的數學教材,有助於擴大視野,開拓思路,對提高數學教學質量、促進數學教材改革均十分必要。《俄羅斯數學教材選譯》系列正是在這樣的情況下,經數學天元基金資助,由高等教育出版社組織出版的。
經過認真選題並精心翻譯校訂,本系列中所列入的教材,以莫斯科大學的教材為主,也包括俄羅斯其他一些著名大學的教材。有大學基礎課程的教材,也有適合大學高年級學生及研究生使用的教學用書。有些教材雖曾翻譯出版,但經多次修訂重版,面目已有較大變化,至今仍廣泛採用、深受歡迎,反射出俄羅斯在出版經典教材方面所作的不懈努力,對我們也是一個有益的借鑒。這一教材系列的出版,將中俄數學教學之間中斷多年的鏈條重新連接起來,對推動我國數學課程設置和教學內容的改革,對提高數學素養、培養更多優秀的數學人才,可望發揮積極的作用,並起著深遠的影響,無疑值得慶賀,特為之序。

目次

第一章 微分幾何導引
 1.1 曲線坐標系最簡單的例子
1.1.1 引論
1.1.2 笛卡兒坐標和曲線坐標
1.1.3 曲線坐標系的最簡單例子
 1.2 在曲線坐標系中曲線的長
1.2.1 在歐氏坐標系中曲線的長
1.2.2 在曲線坐標系中曲線的長
1.2.3 在歐氏空間區域中黎曼度量的概念
1.2.4 不定度量
 1.3 球面和平面上的幾何
 1.4 偽球面和幾何
第二章 一般拓撲
 2.1 度量空間和拓撲空間的定義及最簡單性質
2.1.1 度量空間
2.1.2 拓撲空間
2.1.3 連續映射
2.1.4 商拓撲
 2.2 連通性分離公理
2.2.1 連通性
2.2.2 分離公理
 2.3 緊致空間
2.3.1 緊致空間
2.3.2 緊致空間的性質
2.3.3 緊致的度量空間
2.3.4 在緊致空間上的運算
 2.4 函數的可分離性1的分解
2.4.1 函數的可分離性
2.4.2 1的分解
第三章 光滑流形(一般理論)
 3.1 流形的概念
3.1.1 基本的定義
3.1.2 坐標變換函數光滑流形的定義
3.1.3 光滑流形微分同胚
3.2 用方程給出流形
 3.3 切向量切空間
3.3.1 簡單的例子
3.3.2 切向量的一般定義
3.3.3 切空間(M)
3.3.4 函數的方向導數
3.3.5 切叢
 3.4 子流形
3.4.1 廠光滑映射的微分
3.4.2 映射的局部性質和微分
3.4.3 流形在歐氏空間的嵌入
3.4.4 流形上的黎曼度量
3.4.5 Sard定理
第四章 光滑流形(例)
 4.1 平面曲線論和三維空間中的曲線論
4.1.1 平面曲線論Frenet公式
4.1.2 空間曲線論Frenet公式
 4.2 曲面第一和第二基本形式
4.2.1 第一基本形式
4.2.2 第二基本形式
4.2.3 超曲面上光滑曲線的初等理論
4.2.4 二維曲面的Gauss曲率和平均曲率
 4.3 變換群
4.3.1 變換群的簡單例子
4.3.2 矩陣的變換群
4.3.3 完全線性群
4.3.4 特殊線性群
4.3.5 正交群
4.3.6 酉群和特殊酉群
4.3.7 非緊致辛群和緊致辛群
 4.4 動力系統
4.5 二維曲面的分類
4.5.1 帶邊流形
4.5.2 可定向流形
4.5.3 二維流形的分類
4.6 作為二維流形的代數函數的黎曼曲面
第五章 張量分析與黎曼幾何
 5.1 流形上張量場的一般概念
 5.2 張量場的簡單例子
5.2.1 例
5.2.2 張量的代數運算
5.2.3 反對稱張量
 5.3 聯絡和共變微分
5.3.1 仿射聯絡的定義和性質
5.3.2 黎曼聯絡
 5.4 平行移動測地線
5.4.1 預先的觀察
5.4.2 平行移動的方程
5.4.3 測地線
 5.5 曲率張量
5.5.1 預先的觀察
5.5.2 曲率張量的坐標定義
5.5.3 曲率張量的不變的定義
5.5.4 黎曼曲率張量的代數性質
5.5.5 黎曼曲率張量的某些應用
第六章 同調論
 6.1 外微分形式的演算上同調
6.1.1 外微分形式的微分
6.1.2 光滑流形的上同調(DeRam上同調)
6.1.3 上同調群的拓撲性質
 6.2 外形式的積分
6.2.1 微分形式在流形上的積分
6.2.2 Stokes公式
 6.3 映射度及其應用
6.3.1 映射度
6.3.2 代數基本定理
6.3.3 形式的積分
6.3.4 超曲面的Causs映射
第七章 黎曼幾何的簡單變分問題
 7.1 泛函的概念極值函數Euler方程
 7.2 測地線的極值性
 7.3 極小曲面
 7.4 變分法和辛幾何
譯者後記

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