變分法與臨界非線性（簡體書）

《變分法與臨界非線性》內容簡介：臨界非線性問題，又稱極限非線性問題，是數學物理中的一類現象，刻畫這類現象的偏微分方程所對應的變分泛函不滿足全局緊性條件，或者說處在緊性條件的邊緣，這樣，經典的變分法便不能用于解決這些問題，而幾何、物理中許多著名問題正處于這種境況。

I 預備知識
第一章 變分原理及基本BANACH空間
第一節 變分原理
一、Banach空間的若干概念
二、非線性映射的微分
三、極值問題
四、山路引理
第二節 HOLDER空間與Lp空間
一、Holder連續函數空間
二、Lp空間
三、Brezis－Lieb引理
第三節 SoBOLEV空間
一、整數階Sobolev空間
二、Sobolev嵌入定理
三、齊次Sobolev空間Dm,p
四、分數階Sobolev空間
五、有界變差函數
第四節 對稱重排LORENTZ空間
一、函數的對稱重排
二、Lorentz空間
第五節 BMO空間與HARDY空間
一、BMO與VMO空間
二、Hardy空間H1

II 有界區域上的非線性橢圓方程
第二章 BREZIS－NIRENBERG模型
第一節 BR：EZIS－NIRENBERG模型
一、幾何背景
二、緊性的喪失Pohozaev障礙
三、變分方法
第二節 試驗函數及其估計
一、情形n≥4
二、情形n=3
第三節 若干相關問題
一、帶余項的最佳Sobolev不等式
二、對稱函數的Sobolev嵌入
三、區域拓撲的影響

第三章 一般臨界非線性橢圓方程
第一節 變分方法
一、存在性的Brezis－Nirenberg判據
二、基本估計
第二節 各種存在性結論
一、情形n≥5
二、情形n=4
三、情形n=3
第三節 多解性結論
一、極小解及其性質
二、非線性特徵值問題
三、Ambrosetti－Prodi問題

III平均曲率型問題
第四章 古典PLATEAU問題
第一節 平均曲率及相關問題
一、平均曲率
二、共形參數表示及H－系統
第二節 古典PLATEAU問題
一、解析表達
二、Douglas－Rad6方法

第五章 H－方程及PLATEAU問題
第一節 概述
一、背景
二、解決途徑概述
第二節 劣解的存在性
一、Dirichlet問題的劣解
二、Plateau問題的劣解
第三節 DIRICHLET問題的優解
一、變分結構
二、試驗函數及其估計
第四節 PLATEAU問題的優解
一、極小化能量
二、變分區域
第五節 正則化及其它技術支持
一、正則化
二、恆等式與不等式
三、各種收斂性

IV數量曲率型問題
第六章 RIEMANN幾何簡述
第一節 RIEMANN流形
一、微分流形
二、Riemann流形
第二節 聯絡
一、仿射聯絡
二、Riemann聯絡
第三節 曲率
一、曲率張量
二、數量曲率
第四節 測地線
一、平移
二、測地線
三、指數映射
四、測地法坐標系
五、1acobi場
第五節 流形上的微積分
一、流形上的微分算子
二、流形上的積分
三、共形變換
第六節 流形上的Sobolev空間
一、Sobolev嵌入定理
一、Trudinger不等式
三、加權函數空間

第七章 YAMABE問題
第一節 變分方法
一、Yamabe不變量入(M)
二、Aubin的判據
……
第九章 凝聚緊必原理I
第十章 凝聚緊必原理II
附錄A 線性二階橢圓方程
附錄B RADON測度
附錄C 算子插值及其他