數學物理方程學習指導與習題解答（簡體書）

本書是與《數學物理方程》(陳才生等編，科學出版社, 2008)配套的學習輔導書. 除了最后兩章外，每章分為基本內容提要、《數學物理方程》中相應章節的習題解答和補充習題解答三部分. 基本內容提要是相關內容的精講，供學生復習參考之用；本書提供了主教材中絕大部分習題的解答，供使用本教材的學生和老師參考。補充習題解答是為了使部分優秀的學生靈活使用數學物理方程有關方法和拓寬視野之用。最后兩章只包括內容提要和習題解答兩部分，因為進一步的補充內容已經超出本課程要求。 閱讀本書, 可以幫助學生學習數學物理方程中各類定解問題的解題方法和技巧，以及豐富多彩的各種題型，從而加深對這門課程的理解和掌握。 本書可作為普通高等院校工科專業本科生與研究生學習數學物理方程課程的學習輔導書, 也可作為相關教師和科研人員的參考用書。

陳才生，1956.03出生，河海大學理學院教授、博導，1982年畢業於河海大學應用數學專業,1988年東南大學應用數學碩士研究生畢業,1997年9月至1998年10月在日本九州大學做訪問學者,現為河海大學理學院院長,江蘇省"333"跨世紀學術帶頭人培養對象,江蘇省數學會常務理事,江蘇省工業與應用數學學會常務理事.主要從事非線性退化拋物型方程和非線性橢圓方程理論與應用的研究工作.在退化拋物型方程整體解的存在性,解的漸近性態和各種估計,以及非線性橢圓型方程解的存在性的漸近性態等方面得到一系列較好的結果.近年來發表論文20多篇,先後參加完成任務國家自然科學基金項目2項,曾獲江蘇省教學優秀成果二等獎和河海大學科技進步獎三項。

數學物理方程是大學教育中的一門重要數學課程，它不僅僅是數學類本科生重要的專業基礎課，而且也是許多工科專業本科生和研究生不可缺少的專業基礎課。在學習該課程的過程中，學生普遍感覺做習題是一件困難事情。做偏微分方程的習題，一方面計算量大，容易出錯；另一方面涉及面廣，難度大，技巧性強。因此編寫一本該課程的學習指導和習題解答參考書，供同學們學習時參考，是非常必要的。但是需要指出的是，我們不主張學生在自己動手做題之前先看答案或解答。為了學好數學物理方程這門課，學生應該獨立地完成教師佈置的作業，不能抄襲本書的解答，本書僅供學習時參考。一個偏微分方程問題的求解方法通常是多種的，千萬不要受本書解答的束縛。
本書共分11章。第1-9章，每章分為基本內容提要、習題解答和補充習題解答三部分。基本內容提要是相關內容的精講，供學生復習參考之用；本書提供了陳才生等編的《數學物理方程》中絕大部分習題的解答，供使用該教材的學生和老師參考：補充習題解答是為了使部分優秀學生靈活使用《數學物理方程》有關方法和拓寬視野之用。第10章和第11章只提供基本內容提要和習題解答，因為進一步的補充內容已經超出本課程要求。
本書的部分內容參考了國內外出版的一些教材，請參考所附的參考文獻。在本書即將出版之際，感謝我在河海大學教過的歷屆研究生和本科生同學們，是他們不斷地提出問題，激勵我不斷努力，對許多問題進行進一步思考。特別要感謝我的2008級幾位研究生，他們對部分習題的解答提出了寶貴的修改意見。
本書的初衷是幫助學習“數學物理方程”課程的同學們學好這門比較難學的課程，同時也給講授該課程的老師們提供一些有益的參考。但由於編者水平有限，書中難免有不足之處，敬請各位讀者批評指正。

目錄
前言
第1章緒論1
1.1基本內容提要1
1.2習題解答3
1.3補充習題解答4
第2章二階線性偏微分方程的分類與標準型14
2.1基本內容提要14
2.2習題解答17
2.3補充習題解答28
第3章波動方程的初值（柯西）問題與行波法31
3.1基本內容提要31
3.2習題解答33
3.3補充習題解答45
第4章分離變量法53
4.1基本內容提要53
4.2習題解答57
4.3補充習題解答92
第5章Fourier變換方法102
5.1基本內容提要102
5.2習題解答105
5.3補充習題解答116
第6章Laplace變換方法128
6.1基本內容提要128
6.2習題解答131
6.3補充習題解答143
第7章Green函數方法和基本解方法146
7.1基本內容提要146
7.2習題解答152
7.3補充習題解答165
第8章極值原理和應用169
8.1基本內容提要169
8.2習題解答174
8.3補充習題解答180
第9章能量積分方法和應用186
9.1基本內容提要186
9.2習題解答186
9.3補充習題解答194
第10章Bessel函數和Legendre函數及應用196
10.1基本內容提要196
10.2習題解答200
第11章一階擬線性偏微分方程214
11.1基本內容提要214
11.2習題解答219
參考文獻225

{緒\qquad論}

{基本內容提要}

{用數學物理方程研究物理問題的步驟}

(1)導出或者寫出定解問題,包括方程和定解條件兩部分;

(2)求解已經導出或者寫出的定解問題;

(3)對求得的解討論其適定性並且作適當的物理解釋.

\subsection{求解數學物理方程的方法}

常見方法有行波法(又稱D'Alembert解法)、
分離變量法、積分變換法、Green函數法、能量積分方法、變分方法等.
本書主要使用前面五種方法.

\subsection{數學物理方程的導出}

\subsubsection{建立(導出)方程的步驟}

(1)
從所研究的系統中劃出一部分,分析鄰近部分與這一小部分的相互作用；

(2)
根據物理學的規律,比如Newton第二定律、能量守恆定律等,以數學式子表達
這個作用；

(3)化簡整理即得所研究問題的偏微分方程.

\subsubsection{建立(導出)方程時常用到的物理學定律}

(1) Newton第二定律(F=ma) .

(2 ) Fourier實驗定律(即熱傳導定律).

當物體內存在溫差時,會產生熱量的流動.熱流強度\bm q
(即單位時間內流過單位橫截面的熱量)與溫度的下降率成正比,即
\vspace{-1mm} {\bm q}=-k\nabla u, \vspace{-1mm}其中k
為熱傳導係數,負號表示熱量的流向和溫度梯度方向相反.寫成分量的形式
\vspace{- 1mm} q_x=-ku_x,\quad q_y=-ku_y,\quad q_z=-ku_z.
\vspace{-1mm}

(3) Newton冷卻定律.

物體冷卻時放出的熱量-k\nabla u
與物體和外界的溫度差~ u\big|_{\mbox{\zihao{6}邊}}-u_0成正比,
其中u_0為周圍介質的溫度.

(4)熱量(質量)守恆定律.

物體內部溫度升高所需要的熱量(濃度增加所需要的質量)等於流入物體內部的淨流熱量(質量)與物體內部的源所產生的熱量(質量)
之和.

(5)費克(Fick)定律(即擴散定律) .

一般地說,
由於濃度的不均勻,物質從濃度高的地方向濃度低的地方轉移.這種現象叫{\bf
擴散}.在氣體、液體、固體中都有擴散現象.

粒子流強度\ bm q
(即單位時間內流過單位面積的粒子數)與濃度的下降率成正比,即
\vspace{-2mm}\begin{eqnarray*} {\bm q}=-K\nabla u,
\vspace {-1mm}\end{eqnarray*}其中K
為擴散係數,負號表示濃度減少的方向.寫成分量的形式為
\vspace{-1mm}\begin{eqnarray*} q_x=-Ku_x,\quad q_y=-Ku_y,\quad
q_z=-Ku_z. \vspace{-1mm}\end{eqnarray*}

(6) Gauss定律.

通過一個任意閉合曲面的電通量,等於這個閉曲面所包圍的自由電荷的電量的
\varepsilon^{-1}倍,即\vspace{-2mm}\begin{eqnarray*}
\int_{\partial {\ it\Omega}}{\bm E}\cdot {\rm d}{\bm
S}=\frac{1}{\varepsilon}\int_{{\it\Omega}}\rho {\rm d}{ \it\Omega},
\vspace{-1mm}\end{eqnarray*}其中\varepsilon為介電常數,
\rho為電荷密度.

(7)胡克(Hooke)定律.

在彈性限度內,彈性體的彈力和彈性體的形變量成正比,即f=-kx ,其中
k為彈性體的勁度(倔強)係數,
倔強係數在數值上等於彈性體伸長(或縮短)單位長度時的彈力,
負號表示彈力的方向和形變量的方向相反.

另外,有\vspace{-1mm}\begin{eqnarray*} \mbox{應力}=
\mbox{楊氏模量} \times \mbox{相對伸長} .
\vspace{-1mm}\end{eqnarray*}

\subsubsection{定解條件和定解問題的寫出(導出)}

要想將一個具體的物理過程完整地翻譯成數學語言,
必須寫出它的定解問題：包括泛定方程和定解條件(初始條件、邊界條件、相容
性條件).泛定方程只能反映和描繪同一類現象的共同規律.
對於一個具體的物理問題,還必須通過定解條件來反映.而要正確
寫出定解條件,必須注意以下幾方面的問題：

(1)正確理解題意,正確區分外源條件、初始條件、邊界條件；

(2)正確理解並且應用物理定律和定理；

(3)注意初始條件和邊界條件的個數,以保證解的適定性.

\subsection{定解問題的適定性}

如果一個定解問題的解存在、唯一,
且連續依賴於定解條件中的初始數據和邊\linebreak\vspace *{-7mm}\newpage\noindent
界數據,則稱該定解問題是適定的,否則稱它是不適定的.