從√2談起：張景中院士獻給中學生的禮物(典藏版)（簡體書）

張景中

1936年12月生，男，中國科學院院士，研究員，博士生指導教師。在計算機科學、數學和教育學等三方面的研究和實踐工作中做出了國際認的創新成果，為我國科技、教育事業的發展做出了重大貢獻。 張景中院士在數學研究工作中取得了國內外同行公認的成就，特別是在動力系統的周期軌、迭代根、同胚嵌入流、Smale馬蹄構造、Feigenbaum方程求解等該領域前沿問題的研究中，提出了新的思想方法，在距離幾何的研究中，提出了度量方程，解決了偽歐空間等距嵌入、Sale猜想等一些屬于該領域長期未解決的難題，他和楊路同志合作完成的這些工作和發表和論文，實際上已經開辟了一個很活躍的研究領域，僅距離幾何文章的引用，至今每年約在數十次。美國代數幾何領域專家D.Pedoe在一個專欄評論中說：楊路、張景中，堪稱中國幾何領域的alpha和omega。 張景中院士在數學研究中的貢獻，不限于以上所敘述的內容，他在眾多徊然不同的領域中，提出了獨到的見解和解決問題的方法，例如求方程數值解劈因子法、證明幾何不等式的一種有限化分割方法。

第七章天衣無縫的數直線
數學史上最讓人驚奇的事情之一，是實數系的邏輯基礎竟遲至19世紀後葉才建立起來。
正整數是容易理解的，簡單的計數就要用到它。3歲的孩子，也會數他手中的水果糖。
分數也是容易理解的。因為它可以歸結為整數之比。
但是，無理數的本質是什麼？直到18世紀，無理數對數學家們來說仍然是一個謎，但人們又不能不和無理數打交道。
隨著農業生產的發展，人們為了掌握季節變化的規律，需要天文知識，要測算日月星辰的位置。這樣三角學發展起來了。√2被發現400多年後，人們已會計算許多角度的三角函數值，這些值絕大多數是無理數。
到了1500年前後，人們不但會解二次方程式，而且開始會解一些特殊的三次方程式了。這些方程式的根，很多是無理數。
又過了不到100年，納皮爾（1550年-1617年）發現了對數。我們知道，有理數的對數差不多都是無理數。
無理數的廣泛使用，促使越來越多的數學家開始探討無理數的實質。
對無理數，有的數學家堅持不承認主義。他們認為，儘管為了研究幾何問題不能不用到無理數，但我們想把它數出來的時候（用小數表示出來），它們就無止境地往遠跑，使我們無法準確地掌握它！既然缺乏準確性，又怎麼能叫做數？所以，無理數不是數，它是隱藏在無窮迷霧後面的某種東西。
也有不少數學家認為，無理數是地地道道的數，因為無理數可以表示實實在在的幾何量，可以用有理數來逼近；但他們也沒有提出無理數的系統理論。
還有很多數學家，像中國、印度等東方國家的數學家，他們大膽地應用無理數，並不關心無理數的本身是什麼。他們不覺得這裡面有多大邏輯上的缺陷。
順便提一下，當時，由於解二次以上的代數方程式，負數和虛數也開始在運算中使用。16世紀的歐洲數學家們，被負數、無理數、虛數弄得暈頭轉向，就像剛上中學的中學生，覺得這是一些難以理解的“怪物”。
隨著科學的發展，負數被大家理解了，虛數也得到了合情合理的說明；但無理數之謎的謎底，直到19世紀中葉，才被真正揭開！
這是因為，由於19世紀的工業技術革命，機器被大量使用，人們在生產實踐中提出了許多新問題，促使微積分迅速發展。微積分要研究變量，變量被人們理解為“連續變化”的量。什麼叫連續變化呢？比如，x連續地從0變到1，這是什麼意思？你可以回答說，x要取到0和1之間的一切實數。這“一切實數”又是哪些？除了有理數，算不算無理數？如果要算，無理數是什麼？
這是迫切需要回答的問題。不回答這個問題，微積分的很多基本定理就證不出來。比方說：圓到底有沒有面積？圓內一點和圓外一點，用一條連續曲線連起來，這曲線和圓為什麼一定會相交？這些一看就對的事，偏偏證不出來！這說明關於實數的理論太不完整？
讓人驚奇的是，這個2000多年沒有解開的無理數之謎，只要採用一個新的觀點，便迎刃而解！
這個新觀點，其實並不新，它是從歐幾里得以來人們就有了的一種看法，只是大家都沒把它說清楚罷了。
什麼看法呢？
這就是直線的連續性。在直線上取定一個原點，一個單位長，一個正方向，直線就變成了數軸。直線是連續的，直線上面每個點可以表示一個實數，所以實數也是可連續變化的。
但是，究竟什麼叫做“連續”，又不容易說清楚了。
形像地說，連續，就是沒有縫隙，就是天衣無縫。如果再問什麼叫天衣無縫，那該怎麼回答呢？
讓我們動腦又動手吧。給你一把最最鋒利的刀，你甩盡全身力氣，在這根天衣無縫的數直線上砍一刀，把它斬成兩截，會發生什麼呢？
因為直線是天衣無縫的，這一刀一定砍在某個點上，或者說，砍中了一個實數。否則，豈不是有縫隙了？
如圖7—1，假定從點A的位置把直線砍斷，這個點A到什麼地方了呢？在左半截上，還是右半截上？
不在左邊，就在右邊！反正不會兩邊都有，也不會兩邊都沒有；因為點不可分割，也不會消失掉！
這是想像，從想像中悟出一個道理來。所謂直線的連續性，就是這麼一回事：不管把直線從什麼地方砍斷成兩段，總有一段是帶有端點的，也只有一段是帶有端點的！
……