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商品簡介
目次

商品簡介

《數學名著譯叢:數學物理方法II》系統地提供了為解決各種重要物理問題所需的基本數學方法。全書分三卷出版,卷II的內容基本上與卷I無關,是從數學物理的觀點來處理偏微分方程理論的,其中包括:一階偏微分方程的一般理論、高階偏微分方程、勢論及橢圓型微分方程、兩個自變量的雙曲型微分方程和多于兩個自變量的雙曲型微分方程。
《數學名著譯叢:數學物理方法II》內容十分豐富,可供數學、物理、力學等方面的研究工作者、教師和學生參考。

目次

目錄
英文版原序摘譯
第1章引論1
1.1 關於各種解的一般知識2
1.1.1 例2
1.1.2 已給函數族的微分方程6
1.2 微分方程組9
1.2.1 微分方程組和單個的微分方程等價的問題9
1.2.2 常係數線性方程組的消去法11
1.2.3 適定的、超定的、欠定的方程組12
1.3 特殊微分方程的求積法14
1.3.1 分離變量法14
1.3.2 用疊加法構造更多的解傳熱方程的基本解.Poisson 積分16
1.4 兩個自變量的一階偏微分方程的幾何解釋完全積分17
1.4.1 一階偏微分方程的幾何解釋17
1.4.2 完全積分18
1.4.3 奇異積分20
1.4.4 例21
1.5 一階線性和擬線性微分方程的理論22
1.5.1 線性微分方程22
1.5.2 擬線性微分方程24
1.6 Legendre變換25
1.6.1 對於二元畫數的Legendre變換25
1.6.2 對於n元函數的Legendre變換27
1.6.3 Legendre變換在偏微分方程上的應用28
1.7 Cauchy和Kowalewsky存在定理31
1.7.1 引言和例31
1.7.2 化為擬線性微分方程組34
1.7.3 初始流形上的導數的確定法37
1.7.4 解析微分方程的解的存在性的證明38
1.7.5 關於線性微分方程的一件往意事項42
1.7.6 關於非解析微分方程的一個附註42
1.7.7 關於臨界初始數據的幾點註記特徵43
第1章附錄I關於極小曲面的支持函數的Laplace微分方程45
第1章附錄11-階微分方程組和高階微分方程組46
1".1 啟發性的話46
1".2 兩個一階偏微分方程所成的組和一個二階微分方程等價的條件46
第2章一階偏微分方程的一般理論49
2.1 兩個自變量的擬線性微分方程的幾何理論49
2.1.1 特徵曲線49
2.1.2 韌值問題50
2.1.3 例52
2.2 n個自變量的擬線性微分方程54
2.3 兩個自變量的一般微分方程59
2.3.1 特徵曲線和焦錢.Monge錐59
2.3.2 初值問題的解62
2.3.3 特徵作為分支元素.補充說明積分劈錐面焦散流形64
2.4 完全積分65
2.5 焦線和Monge方程66
2.6 例68
2.6.1 直光線的微分方程.(grad u)2=1 68
2.6.2 方程F(ux,uy)=0 70
2.6.3 Clairaut微分方程72
2.6.4 管狀曲面的微分方程73
2.6.5 齊性關係式74
2.7 n個自變量的一般微分方程75
2.8 完全積分及Hamilton-Jacobi理論80
2.8.1 包絡和特徵曲線的造法80
2.8.2 特徵微分方程的典範形式82
2.8.3 Haamilton-Jacobi理論83
2.8.4 例.二體問題85
2.8.5 例.橢球面上的短程錢87
2.9 Hamilton-Jacobi理論及變分法88
2.9.1 典範形式的Euler微分方程89
2.9.2 短程距離或短時距及其導數.Hamilton-Jacobi偏微分方程90
2.9.3 齊次被積函數93
2.9.4 極值曲線場.Hamilton-Jacobi微分方程95
2.9.5 射線錐面.Huygens構造法98
2.9.6 短時距的表示式的Hilbert不變積分98
2.9.7 Hamilton-Jacobi定理99
2.10 典範變換和應用100
2.10.1 典範變換100
2.10.2 Hamilton-Jacobi定理的新證明101
2.10.3 常數的變易(典範擾動理論) 102
第2章附錄I 103
2'.1 特徵流形的進一步討論103
2'.1.1 關於在n維空間中求導的一些註釋103
2'.1.2 初值問題.特徵流形105
2'.2 具有相同主要部分的擬線性微分方程組理論的新推演109
2'.3 Haar的唯一性的證明114
第2章附景H守恆定理的理論116
第3章高階微分方程121
3.1 兩個自變量的二階線性和擬線性微分算子的標準形式121
3.1.1 橢圓型、雙曲型和拋物型的標準形式.混合型121
3.1.2 例126
3.1.3 兩個自變量的二階擬錢性微分方程的標準形式128
3.1.4 例.極小曲面131
3.1.5 兩個一階微分方程的方程組133
3.2 一般的分類和特徵133
3.2.1 記號134
3.2.2 兩個自變量的一階方程組.特徵134
3.2.3 n個自變量的一階方程組136
3.2.4 高階微分方程.雙曲性137
3.2.5 補注138
3.2.6 例.Maxwell方程和Dirac方程139
3.3 常係數線性微分方程142
3.3.1 二階方程的分類和標準形143
3.3.2 二階方程的基本解145
3.3.3 平面被148
3.3.4 平面披(續).前進披.彌散149
3.3.5 例.電報方程.電纜中的無畸變被152
3.3.6 柱面波和球面被153
3.4 初值問題.波動方程的輻射問題155
3.4.1 熱傳導的初值問題函數的變換156
3.4.2 波動方程的初值問題158
3.4.3 Duhamel原理非齊次方程.推遲勢159
3.4 礦一階方程組的Duhamel原理161
3.4.4 三維空間裡的波動方程的初值問題.陣維法162
3.4.5 輻射問題163
3.4.6 傳播現象和Huygens原理164
3.5 用Fourier積分解初值問題166
3.5.1 Fourier積分的Cauchy方法166
3.5.2 例167
3.5.3 Cauchy方法的證明169
3.6 數學物理微分方程的曲型問題175
3.6.1 引言175
3.6.2 基本原理178
3.6.3 關於"不適定的"問題的註記181
3.6.4 關於線性問題的一般註記181
第3章附錄I 183
3'.1 Sobolev引理183
3'.2 伴隨算子184
3'.2.1 矩陣算子184
3'.2.2 伴隨微分算子186
第3章附錄Ⅱ Holmgren的唯一性定理188
第4章勢論及橢圓型微分方程190
4.1 基本概念190
4.1.1 Laplace方程Poisson方程及有關方程190
4.1.2 質量分佈的勢194
4.1.3 Green公式和應用199
4.1.4 質量分佈的勢的導數204
4.2 Poisson積分及其應用205
4.2.1 邊值問題及Green函數205
4.2.2 對於圃和球的Green函數對於球和半空間的Poisson積分208
4.2.3 Pousson公式的一些推論211
4.3 平均值定理及其應用216
4.3.1 齊快的及非齊次的平均值方程216
4.3.2 平均值定理的逆定理218
4.3.3 對於壁間分佈的勢的PoìBBon方程224
4.3.4 其他橢圓型微分方程的平均值定理225
4.4 邊值問題228
4.4.1 準備知識.對邊界值和區域的連續依賴性228
4.4.2 用Schwarz交替法求邊值問題的解230
4.4.3 對於具有充分光滑邊界的平面域的積分方程法234
4.4.4 關於邊界值的註記237
4.4 礦容量和邊界值的取得239
4.4.5 Perron的下調和函數法240
4.5 約化的波動方程.散射244
4.5.1 背景244
4.5.2 Sommerfeld的輻射條件246
4.5.3 散射249
4.6 更一般的橢圓型微分方程的邊值問題.解的唯一性250
4.6.1 線性微分方程251
4.6.2 非線性方程252
4.6.3 關於Monge-Ampère微分方程的Rellich定理254
4.6.4 極大值原理及應用255
4.7 Schaud凹的先驗估計及其應用259
4.7.1 Schauder的估計260
4.7.2 邊值問題的解263
4.7.3 強閘函數及其應用267
4.7.4 L[u]=f的解的某些性質269
4.7.5 關於橢圓型方程的進一步的結果在邊界上的性態272
4.8 Beltrami方程的解274
4.9 關於一個特殊擬線性方程的邊值問題.Leray和Schauder的不動點法280
4.10 用積分方程法解橢圓型微分方程284
4.10.1 特解的構造.基本解.參助函數285
4.10.2 附註288
第4章附錄I 非線性方程289
4'.1 擾動理論289
4'.2 方程u=f(x,u) 290
第4章附錄Ⅱ 橢圄型偏微分方程理論的函數論現296
4".1 準解析函數的定義296
4".2 一個積分方程298
4".3 相似性原理299
4".4 相似性原理的應用302
4".5 形式幕303
4".6 準解析函數的微分與積分305
4".7 混合型方程307
4".8 準解析函數的一般定義309
4".9 擬共形性和一個一般表示定理310
4".10一個非線性邊值問題312
4".11 Riemann映射定理的一個推廣315
4".12 關於極小曲面的兩個定理316
4".13 具有解析係數的方程317
4".14 Privaloff的定理的證明317
4".15 Schauder不動點定理的證明318
第5章兩個自變量的雙曲型微分方程322
5.0 引言322
5.1 關於主要是二階的微分方程的特徵323
5.1.1 基本概念擬線性方程323
5.1.2 積分曲面上的特徵327
5.1.3 特徵線是間斷性的曲線.被前.間斷性的傳播328
5.1.4 一般的二階微分方程330
5.1.5 高階微分方程332
5.1.6 特徵在點變換下的不變性333
5.1.7 化為一階擬線性方程組334
5.2 一階雙曲型方程組的特徵標準形式334
5.2.1 線性、半線性及擬線性方程組334
5.2.2 k=2的情形.用速矢端結變換法達到線性化337
5.3 在可壓縮流體動力學上的應用338
5.3.1 一維等情流338
5.3.2 球面對稱流340
5.3.3 定常無旋流341
5.3.4 關於非等捕流的三個方程的組342
5.3.5 線性化的方程344
5.4 唯一性依賴區域345
5.4.1 依賴區域、影響區域及決定區域345
5.4.2 對於二階線性微分方程解的唯一性的證明347
5.4.3 對於一階線性組的一般唯一性定理350
5.4.4 關於擬線性組的唯一性353
5.4.5 能量不等式354
5.5 解的Riemann表示354
5.5.1 韌值問題354
5.5.2 Riemann函數355
5.5.3 Riemann函數的對稱性358
5.5.4 Riemann函數及由一點發出的輻射.向高階問題的推廣359
5.5.5 例360
5.6 用法代法解線性和半線性雙曲型的初值問題364
5.6.1 二階方程的解的構造364
5.6.2 對於一階線性及半線性組的記號和結果366
5.6.3 解的構造368
5.6.4 附註.解對參數的依賴性371
5.6.5 混合初值及邊值問題371
5.7 關於擬線性組的Cauchy 問題375
5.8 對於單個的高階雙曲型微分方程的Cauchy問題377
5.8.1 化為一階特徵組378
5.8.2 L間的特徵表示379
5.8.3 Gauchy問題的解381
5.8.4 其他解法.P.Ungar給出的一個定理382
5.8.5 附註383
5.9 解的間斷性.激波384
5.9.1 廣義解.弱解384
5.9.2 表現守恆定律的擬線性組的間斷性.撒波386
第5章附錄I 特徵作為坐標的應用388
5'.1 關於一般二階非線性方程的附註388
5'.1.1 擬線性微分方程388
5'.1.2 一般的非線性方程391
5'.2 Monge-Ampere方程的特殊性質392
5'.3 利用複數域由橢圓型轉變為雙曲型的情形395
5'.4 在橢圓型情形中解的解析性396
5'.4.1 函數論的註記96
5'.4.2 u=f(x,y,u,p,q)的解的解析性397
5'.4.3 關於一般微分方程F(x,y,u,p,q,r,s,t) =0的註記400
5'.5 對於解的延拓使用複數量400
第5章附錄Ⅱ 瞬態問題與Heaviside運算微積402
5".1 用積分錶示解瞬態問題402
5".1 顯例.被動方程402
5".1.2 問題的一般性提法404
5".1.3 Duhamel積分405
5".1.4 實驗解疊加法408
5".2 Heaviside算子法409
5".2.1 最筒單的算子410
5".2.2 算於實例及應用412
5".2.3 應用於傳熱問題416
5".2.4 波動方程418
5".2.5 運算微積的理論根據其他一些算子的解釋419
5".3 瞬態問題的一般理論424
5".3.1 Laplace變換424
5".3.2 用Laplace變換解瞬態問題426
5".3.3 舉例.波動方程與電報方程431
第6章多於兩個自變量的雙曲型微分方程436
6.0 引言436
第一部分解的唯一性、構造、幾何性質437
6.1 二階微分方程.特徵的幾何性質437
6.1.1 二階擬錢性微分方程437
6.1.2 線性微分方程440
6.1.3 射線或雙特徵441
6.1.4 特徵曲面作為波前443
6.1.5 特徵的不變性444
6.1.6 射線錐面.法錐面.射線劈錐面445
6.1.7 與Riemann尺度的聯繫446
6.1.8 對射變換448
6.1.9 Huygens的波前構圖法449
6.1.10 類空間曲面.類時間方向450
6.2 二階方程特徵的作用450
6.2.1 二階間斷性451
6.2.2 沿特徵曲面的微分方程452
6.2.3 間斷性沿射線的傳播453
6.2.4 例證.三維空間里波動方程Cauchy問題的解454
6.3 高階算子的特徵流形的幾何性質456
6.3.1 記號456
6.3.2 特徵曲面.特徵形.特徵矩陣458
6.3.3 特徵條件在時空中的解釋.法錐面與法曲面.特徵零化矢量與本徵值459
6.3.4 特徵曲面——波前的構造射線、射線錐面、射線劈錐面461
6.3.5 波前與Huygens的構圈法.射線幽面與法曲面463
6.3.6 不變性465
6.3.7 雙曲性.類空間流形、類時間方向466
6.3.8 對稱雙曲型算子468
6.3.9 高階對稱雙曲型方程469
6.3.10 多重特徵曲面葉和可約化性470
6.3.11 關於雙特徵方向的引理471
6.3 例.流體動力學、晶體光學、磁流體動力學473
6.3'.1 引言473
6.3'.2 流體動力學微分方程組473
6.3'.3 晶體光學476
6.3'.4法曲面和射線曲面的形狀478
6.3'.5 晶體光學的Cauchy問題481
6.3'.6 磁流體動力學483
6.4 間斷性的傳播和Cauchy問題487
6.4.1 引言487
6.4.2 一階方程組的一階導數的間斷性輸動方程487
6.4.3 初始值的間斷性.理想函數的引入.前進波489
6.4.4 一階方程組的間斷性的傳播492
6.4.5 重數不變的特徵494
6.4.5' 間斷性沿高於一維的流形而傳播的例子.錐形折射495
6.4.6 初始間斷的分解和Cauchy問題的解496
6.4.6' 特徵曲面作為被前498
6.4.7 用收斂的波展開式解Cauchy問題498
6.4.8 二階和高階的方程組499
6.4.9 補注.弱解.激波501
6.5 振蕩的初始值.解的漸近展開式.向幾何光學的過渡501
6.5.1 前註.高階前進披501
6.5.2 漸近解的掏造502
6.5.3 幾何光學505
6.6 初值問題的唯一性定理和依賴區域的例子507
6.6.1 波動方程507
6.6.2 微分方程509
6.6.3 真空中的Maxwell方程510
6.7 雙曲型問題的依賴區域512
6.7.1 引言512
6.7.2 依賴區域的描述513
6.8 能量積分和一階線性對稱雙曲型方程組的唯一性定理514
6.8.1 能量積分和Cauchy問題的唯一性514
6.8.2 一階的和高階的能量積分516
6.8.3 混合初邊值問題的能量不等式517
6.8.4 對於單個二階方程的能量積分520
6.9 高階方程的能量估計522
6.9.1 引言522
6.9.2 關於高階雙曲型算子的解的能量恆等式和不等式.Leray與Garding的方法522
6.9.3 其他方法525
6.10 存在定理527
6.10.1 引言527
6.10.2 存在定理528
6.10.3 關於初始值性質的持久性和關於相應的半群的一些在記.Huygens小原理530
6.10.4 聚焦.可微性非持久的例子532
6.10.5 關於擬線性方程組的註記533
6.10.6 關於高階方程或非對稱方程組的註記533
第二部分解的表示534
6.11 引言534
6.11.1 概述.記號534
6.11.2 一些積分公式.畫數的平面被分解式535
6.12 常係數工階方程539
6.12.1 Cauchy問題539
6.12.2 波動方程的解的構造540
6.12.3 降維法543
6.12.4解的進一步的討論Huygens原理544
6.12.5 非齊次方程Duhamel積分547
6.12.6 一般二階線性方程的Cauchy問題548
6.12.7 輻射問題550
6.13 球面平均法.波動方程與Darboux方程553
6.13.1 關於平均值的Darboux微分方程553
6.13.2 與波動方程的聯繫555
6.13.3 波動方程的輻射問題557
6.13.4 廣義前進球面被558
6.13' 用球面平均法解彈性波的初值問題560
6.14 平面平均值法.對於一般常係數雙曲型方程的應用564
6.14.1 一般方法564
6.14.2 在解波動方程上的應用567
6.14' 在晶體光學方程和其他四階方程上的應用569
6.14'.1 Cauchy問題的解569
6.14'.2 解的進一步的討論.依賴區域.隙窩573
6.15 Cauchy問題的解作為數據的錢性泛函基本解576
6.15.1 說明.記號576
6.15.2 借助於6函數的分解來構造輻射函數579
6.15.3 輻射矩陣的正則性581
6.15 礦廣義Huygen.s原理582
6.15.4 例於.特殊的常係數線性方程組晾窩定理583
6.15.5 例子.波動方程584
6.15.6 例子關於單個二階方程的Hadamard的理論587
6.15.7 進一步的例子.兩個自變量.註記590
6.16 超雙曲型微分方程和一般常係數二階方程.590
6.16.1 Asgeirsson的一般平均值定理590
6.16.2 平均值定理的別證593
6.16.3 在波動方程上的應用594
6.16.4 波動方程的特徵初值問題的解594
6.16.5 其他應用.關於共焦橢球族的平均值定理596
6.17 對於非類空間初始流形的初值問題597
6.17.1 由中心在一個平面上的球上的平均值確定的函數598
6.17.2 在初值問題上的應用599
6.18 關於前進波的註記,信號的傳播和Huygens原理603
6.18.1 無畸割地波603
6.18.2 球面波605
6.18.3 輻射與Huygens原理606
第6章附錄廣義函數——分佈608
6'.1 基本定義和概念608
6'.1.1 引言608
6'.1.2 理想元608
6'.1.3 記號和定義609
6'.1.4 疊積分610
6'.1.5 線性泛畫與算子雙一次型610
6'.1.6 泛畫的連續性.試探函數的支集611
6'.1.7 關於T連續性的引理612
6'.1.8 幾個輔助函數613
6'.1.9 例614
6'.2 廣義函數614
6'.2.1 引言614
6'.2.2 用錢性微分算子去定義615
6'.2.3 用弱極限去定義617
6'.2.4 用錢性泛函去定義618
6'.2.5 等價性.泛函的表示618
6'.2.6 幾個結論620
6'.2.7 例子.ó函數620
6'.2.8 廣義函數與通常函數的等同622
6'.2.9 定積分.有限部分623
6'.3 廣義函數的演算625
6'.3.1 線性運算626
6'.3.2 自變量的代換626
6'.3.3 例子.ó函數的變換627
6'.3.4 廣義函數的相乘與槽積628
6'.4 補注.理論的修飾629
6'.4.1 引言629
6'.4.2 試探畫數的它種空間空間S.Fourier變換629
6'.4.3 週期函數631
6'.4.4 廣義函數與H詛bert空間.負範數.強定義632
6'.4.5 關於其他種類的廣義函數的註記633
參考文獻634
英漢名詞對照表656

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