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目次
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《物理學中的數學方法》介紹了物理學科研工作所需的數學知識和相應的數學基礎，包括10章內容，分別是變分法、希爾伯特空間、二階線性常微分方程、貝塞爾函數、狄拉克δ函數、格林函數、範數、積分方程、數論在物理逆問題中的應用和任意維空間的基本方程。《物理學中的數學方法》內容與本科階段已經學過的數理方法銜接，並盡可能地反映最新的科研成果。《物理學中的數學方法》對概念的說明與公式的推導力求詳盡全面，內容敘述清楚，便於讀者學習.各章末尾大量的習題有助於讀者鞏固和擴展正文中學到的知識內容。
名人/編輯推薦
《現代物理基礎叢書55:物理學中的數學方法》可作為大學物理系和理工科各專業的本科高年級學生和研究生的教材或參考書，也可供高校教師和科研人員參考。
目次
前言
第1章 變分法
1.1 泛函和泛函的極值問題
1.1.1 泛函的概念
1.1.2 泛函的極值問題
1.2 泛函的變分和最簡單情形的歐拉方程
1.2.1 泛函的變分
1.2.2 最簡單情形的歐拉方程
1.3 多個函數和多個自變量的情形
1.3.1 多個函數
1.3.2 多個自變量
1.4 泛函的條件極值問題
1.4.1 等周問題
1.4.2 測地線問題
1.5 自然邊界條件
1.6 變分原理
1.6.1 經典力學的變分原理
1.6.2 量子力學的變分原理
1.7 變分法在物理學中的應用
1.7.1 在經典物理中的應用
1.7.2 在量子力學中的應用
習題
附錄1A函數的極值問題
參考文獻
第2章 希爾伯特空間
2.1 線性空間、內積空間和希爾伯特空間
2.1.1 線性空間
2.1.2 內積空間
2.1.3 希爾伯特空間
2.2 內積空間中的算子
2.2.1 算子與伴隨算子
2.2.2 自伴算子
2.2.3 非齊次線性代數方程組有解的擇一定理
2.3 完備的正交歸一函數集合
2.3.1 收斂的類別
2.3.2 函數集合的完備性
2.3.3 N維數域空間和希爾伯特函數空間
2.3.4 正交多項式
2.4 魏爾斯特拉斯定理與多項式逼近
2.4.1 魏爾斯特拉斯定理
2.4.2 多項式逼近
習題
附錄2A數e不是一個有理數的證明
參考文獻
第3章 二階線性常微分方程
3.1 二階線性常微分方程的一般理論
3.1.1 解的存在唯一性定理
3.1.2 齊次方程解的結構
3.1.3 非齊次方程的解
3.2 施圖姆一劉維爾型方程的特徵值問題
3.2.1 施圖姆一劉維爾型方程的形式
3.2.2 施圖姆一劉維爾方程的邊界條件
3.2.3 施圖姆一劉維爾特徵值問題
3.2.4 施圖姆一劉維爾特徵值問題舉例
3.3 施圖姆劉維爾型方程的多項式解集
3.3.1 核函數和權函數的可能的形式
3.3.2 多項式的級數表達式和微商表示
3.3.3 母函數關係
3.3.4 正交的施圖姆劉維爾多項式解集的完備性定理
3.3.5 正交多項式解集在數值積分中的應用
3.4 與多項式的施圖姆一劉維爾系統有關的方程和函數
3.4.1 拉蓋爾函數
3.4.2 勒讓德函數
3.4.3 切比雪夫函數
……
第4章 貝塞爾函數
第5章 狄拉克□函數
第6章 格林函數
第7章 範數
第8章 積分方程
第9章 數論在物理逆問題中的應用
第10章 任意維空間的基礎分析
外國人名英漢對照表
索引
第1章 變分法
1.1 泛函和泛函的極值問題
1.1.1 泛函的概念
1.1.2 泛函的極值問題
1.2 泛函的變分和最簡單情形的歐拉方程
1.2.1 泛函的變分
1.2.2 最簡單情形的歐拉方程
1.3 多個函數和多個自變量的情形
1.3.1 多個函數
1.3.2 多個自變量
1.4 泛函的條件極值問題
1.4.1 等周問題
1.4.2 測地線問題
1.5 自然邊界條件
1.6 變分原理
1.6.1 經典力學的變分原理
1.6.2 量子力學的變分原理
1.7 變分法在物理學中的應用
1.7.1 在經典物理中的應用
1.7.2 在量子力學中的應用
習題
附錄1A函數的極值問題
參考文獻
第2章 希爾伯特空間
2.1 線性空間、內積空間和希爾伯特空間
2.1.1 線性空間
2.1.2 內積空間
2.1.3 希爾伯特空間
2.2 內積空間中的算子
2.2.1 算子與伴隨算子
2.2.2 自伴算子
2.2.3 非齊次線性代數方程組有解的擇一定理
2.3 完備的正交歸一函數集合
2.3.1 收斂的類別
2.3.2 函數集合的完備性
2.3.3 N維數域空間和希爾伯特函數空間
2.3.4 正交多項式
2.4 魏爾斯特拉斯定理與多項式逼近
2.4.1 魏爾斯特拉斯定理
2.4.2 多項式逼近
習題
附錄2A數e不是一個有理數的證明
參考文獻
第3章 二階線性常微分方程
3.1 二階線性常微分方程的一般理論
3.1.1 解的存在唯一性定理
3.1.2 齊次方程解的結構
3.1.3 非齊次方程的解
3.2 施圖姆一劉維爾型方程的特徵值問題
3.2.1 施圖姆一劉維爾型方程的形式
3.2.2 施圖姆一劉維爾方程的邊界條件
3.2.3 施圖姆一劉維爾特徵值問題
3.2.4 施圖姆一劉維爾特徵值問題舉例
3.3 施圖姆劉維爾型方程的多項式解集
3.3.1 核函數和權函數的可能的形式
3.3.2 多項式的級數表達式和微商表示
3.3.3 母函數關係
3.3.4 正交的施圖姆劉維爾多項式解集的完備性定理
3.3.5 正交多項式解集在數值積分中的應用
3.4 與多項式的施圖姆一劉維爾系統有關的方程和函數
3.4.1 拉蓋爾函數
3.4.2 勒讓德函數
3.4.3 切比雪夫函數
……
第4章 貝塞爾函數
第5章 狄拉克□函數
第6章 格林函數
第7章 範數
第8章 積分方程
第9章 數論在物理逆問題中的應用
第10章 任意維空間的基礎分析
外國人名英漢對照表
索引
書摘/試閱
第9章 數論在物理逆問題中的應用
9.1.1 引言
1.物理逆問題的表述
物理學的基本定律總是以方程的形式在數學上表達出來。例如，經典力學中的牛頓運動方程，量子力學中的薛定諤方程，等等。這樣的方程給出了系統的物理量組之間的關系，支配著物理系統的運動。原則上，從已知的一組物理量可以求出另一組未知的物理量。例如，已知質點的受力情況，就應該可以求出質點的運動軌跡，即質點運動路徑及其與時間的關系。后者是可以從實驗上測量的，又例如，在量子力學中，勢場已知的話，原則上可以由方程求出一個粒子受到這個勢場作用后的散射振幅，后者也是實驗上可測量的物理量。
在考慮問題時，一般根據基本的物理規律，從系統的內稟物理量出發，導出一些實驗上可測的量，并由此來驗證理論是否正確。一個典型的例子是計算品格比熱，在品格振動理論中，由聲子態密度可求得晶格比熱。反過來從比熱求態密度的工作卻很難做，可是比熱能夠從實驗上測得。這樣，很需要有一個從比熱到態密度的逆變換，或者稱為反演，以求得態密度。這個例子表明，實際需要解決的問題經常是反方向進行的。
如果根據物理規律，從一組物理量A可以求出物理量B，那么從物理量B反過來求物理量A的問題就稱為反問題，或者稱為逆問題。這是逆問題的一般表述，在各個領域內，逆問題有著各自具體的表述。
在動力學系統中，就是要根據質點的運動規律求出它所受到的作用力一個最著名的例子是，開普勒總結出了太陽系中行星圍繞太陽運動的三大規律，牛頓據此推導出了行星受到的應該是一個平方反比的吸引力。也就是說，力學中解決的第一個問題就是一個逆問題。在量子力學系統中，需要從實驗上測量的粒子的散射振幅，來反推它的勢場的分布。逆問題在實際工程中有很多應用。
可見，逆問題的出現源于實際的需要。物理量A經常是內稟物理量，不容易從實驗上測量，而物理量月則是實驗上可測量的量。
從數學形式上，兩組物理量A和B之間表現為變換與反變換的形式，其數學形式有簡有繁。例如，最簡單的就是傅里葉變換，通過數學上已知的變換和反變換公式，可較容易地實現由一組量求出另一組量。
逆問題就是要探求逆過程所需要的數學關系，對于品格比熱逆問題來說，就是要找出用比熱表達聲子態密度的顯式。人們已經對各種具體的逆問題，提出了很多解決的方法。解決反演問題的一個重要手段就是依賴數學中的變換和反變換，如傅里葉變換、拉普拉斯變換、漢克爾變換、梅林變換等。第8章介紹的求解積分方程就是逆問題的求解方法之一，但物理公式并不總是恰好能符合或能湊成這些變換形式的，所以需要尋找新的變換。
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