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商品簡介

作者簡介

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目次

如果你不知道一個定理(或公式)是怎樣發現的,那麼你對它並沒有真正的了解,因為真正的了解必須從邏輯因果掌握到創造的心理因果。一個定理的誕生,基本上跟一粒種子在適當的土壤、風雨、陽光、氣候…之下,發芽長成一棵樹,再開花結果,並沒有兩樣。雖然莎士比亞說得妙:「如果你能洞穿時間的種子,知道哪一粒會發芽,哪一粒不會,那麼請你告訴我吧!」但是,本書仍然嘗試儘可能呈現這整個的生長過程。最後,請不要忘記欣賞和品味花果的美麗!

蔡聰明
一生在臺大數學系從事數學研究與數學教育,最喜愛數學、物理學、哲學與詩。目前已經退休。平時喜愛旅遊、登山健行、打網球以及從事普及數學的寫作。雖然寫作是快樂中有辛苦,甚至是甜蜜中有痛苦,但是仍然樂此不疲。衷心的願望是:幫助年輕學子也喜愛數學,體驗數學的妙趣,並且扭轉他 (她) 們普遍對數學是面目可憎的刻板印象。

我與Zeitung(讀做「蔡通」)師弟之間,極其相得;認識他,可說是我(到此為止的)後半生的一件好運!

我們討論過很多,大學或中學裡一些數學問題的思路,當然這些都歸結到數學教育的問題。我們同處一辦公室已逾廿年,這樣子經常的討論,使得我常忘掉我正在說的意見是否源自Zeitung。

單就寫數學的教科書來說,我們也有長久的合作經驗。最早的兩部書,是(五專)《工專數學》的一到四冊,以及《普通數學教程》,現在兩者都已經絕版了。不過,我還是會偶爾聽到不甚熟悉的朋友,稱讚其中之一,那給我很大的快慰!我確信:兩者都是佳作,因為那是Zeitung的手筆。

我認為Zeitung文章寫得很好,也許不如我的朋友林正弘(臺大哲學系教授),但是比我好是不成問題的。他的長處有兩點。其一,「脾氣好」、清楚、又很親切!(這是很有趣的:其實我的脾氣比他好!但是,在寫文章時,我就不耐煩了,他卻恰好顛倒。)其二,他是「知之者」、「好之者」、「樂之者」,寫文章時,自己陶醉其中,讀者必然體會,甚或感染得到。

長久以來,我經常把找我做的工作,推他去做,我覺得有些不好意思:因為這通常是錢極少(或竟是做義工),而工作又煩。我唯一的心安理得乃是:「我知道的人當中,他最適合。」就在這樣的精神下,他在《數學傳播》與《科學月刊》都大量參與,熱心於數學的普及工作。

今天晚上我要去基隆社區大學第一次授課。幾週前,在閒聊中,我提到這件事,我說很需要適當的教材,「差不多是中學生程度的,以數學方法論為主要著眼點。」他笑著說:「現在我正想把這些年來所寫的一些小文章集結成書,也許適合老師的意思呢!」那我就趕快催三民書局吧!

我不必用力推介書中文詞的清晰流暢,深入淺出;當讀者讀完本書,你一定和我一樣地要催促下一冊,再下一冊的問世。當然我們的理由不必一樣,你是純享受,我呢,是授課時,給學生的課本或最佳參考讀物!

楊維哲

編者序
本書收集我八年多以來所寫的,刊登於《數學傳播》與《科學月刊》的一些數學通識文章,稍經增刪,適合中學生閱讀。

數學家波利亞(G. Pólya)對於數學教育所寫的許多書與文章,皆精彩絕倫,是我最喜愛研讀的。他強調:先猜測再檢驗(guess and test)以及教學要教人思考(teach to think)。再加上科學哲學家波柏(K. Popper)的否證論(falsification theory)與知識的演化論等美妙的觀點。這些都是我寫文章與教學所奉行的指導原則。何謂好的文章?有人說,首先作者必須對自己所寫的東西要有感動,然後又有熱情與技巧將這分感動傳達給讀者。這恰是我的夢想,本書雖不能至,但心嚮往之。

科學哲學家萊茵巴赫(H. Reichenbach)將科學的求知活動分成前後兩個階段:發現的過程(the context of discovery)與驗證的過程(the context of justification)。應用到數學來,數學的求知活動是由問題出發,先有探索的發現過程,然後才有邏輯證明與整理成嚴謹的知識系統,兩個階段兼備才算完美。然而,一般數學教科書、教學、或文章,往往只展示冰冷且抽象的後半段,而忽略掉最精彩且最能啟迪思想的前半段。因此,阿倍爾(Abel)批評高斯(Gauss)說,他就像一頭狡猾的狐狸,在沙漠上,一面走一面用尾巴抹掉足跡。這是造成許多學生不喜歡數學,甚至討厭數學的主因。

為了彌補這個不足,我從中學數學選取一些有趣的論題,寫成本書,但是在處理上,我特別著重在前半段的思路過程,強調數學方法論,並且注重歷史發展與人文背景,期望能夠提供給中學生另類的選擇。

數學是人類不斷地叩問自然,跟自然對話而產生出來的。數學家追求邏輯上可能的模式(pattern),尋找數與形可能的規律,這是一種驚心動魄的觀念探險之旅(the exciting adventures of ideas)。數學家樂在其中,流連忘返。

從古到今,人類的文明經歷過三波的發展:第一波是農業革命,第二波是工業革命,以及第三波是目前正在進行的資訊革命與分子生物學革命。對於後兩波,數學扮演了很重要的角色,例如牛頓與萊布尼茲創立微積分,幫忙促動了十七世紀的科學革命,接著是十八世紀的啟蒙運動,以及十九世紀的工業革命。誠如伽利略所說的「自然之書(the Book of Nature)是用數學語言寫成的,不懂數學就讀不懂這本偉大的書」。懷海德(A. N. Whitehead)也說得好:「數學是了解模式與分析模式之間的關係最有力的技術。……如果人類的文明繼續進展,今後兩千年人類思想的新奇事物都將盡是數學理解的天下。」因此,期盼中學生都把數學學好!

未來第三波的資訊文明,需要會思考,會提問題,具有創意,敢於作出開創性的決策,並且具有地球村宏觀視野的公民。如何培育這樣的公民?在社會文化和思想上,也許必須經歷一次「新的文藝復興運動」的洗禮;在教育上,必須讓知識重新注入「創造性」的活水,而不再以大量的死知識作「填鴨式」的傳承;這樣才能達到脫胎換骨的境地,進一步開創出21世紀更燦爛的新文明。

三民書局一向都只出版大學與專科學校的數學教科書,不曾出版過如本書的數學通識文集,本書是第一次的嘗試。因此,我衷心感謝且欣賞劉振強先生的魄力,還有他的風趣!

其次,本書在寫作的過程中,接到許多讀者與朋友的鼓勵和幫忙,讓我內心溫暖。特別地,我要感謝:臺大的陳榮銳教授,彰師大的張靜嚳教授,科學月刊的主編吳松春先生與張孟媛小姐,數學傳播編輯呂素齡小姐,一女中的阮貞德與蘇麗敏兩位老師、楊謹榕同學,臺南市聖功女中的蕭健忠老師,師大附中的莫迪達同學,新竹女中的蔡卓凌、何宜軒、王雨荷三位同學,以及臺大數學營的可畏後生們,還有吾師楊維哲教授與吾兒弘霖的長期討論,三民書局編輯部的細心、高效率和頂真的精神。這些都直接或間接地促成了本書的形成。在這個世界上,沒有人是孤島!正如沒有知識是孤立的!然而,我深知本書的缺失與疏漏在所難免,尚祈讀者不吝批評指正。

最後,我要感謝吾妻陳月華,在漫長的歲月中,她所給予的容忍與支持。此中有真意,但我言有盡而意無窮,本書就獻給她。

蔡聰明

楊序
自序
1.數學解惑四則
2.魔方陣問題
3.對國中生解題的觀察
4.無言的證明
5.一線定乾坤
6.一題多解的妙趣
7.從畢氏定理到餘弦定律
8.餘弦定律的追尋
9.畢氏定理的故事
10.溫布頓網球賽共比賽幾局?
11.談Heron公式
12.古埃及的四邊形面積公式
13.四邊形的面積公式
14.談Pick公式
15.輾轉相除法、黃金分割與費氏數列
16.零多項式的次數
17.1是不是質數?
18.圓的分割
19.談分析與綜合法
20.蜜蜂與數學
21.光與影的對話
22.好玩的獨人棋
23.向阿基米德致敬
參考資料與索引
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