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微積分及其應用(原書修訂版)(簡體書)
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商品簡介
目次
書摘/試閱

商品簡介

《微積分及其應用(中譯本)》是美國著名數學家彼得·拉克斯與康奈爾大學數學教授瑪麗亞·特雷爾合著的單變量微積分教材,內容覆蓋了一元微積分的基礎,包括:數列的極限、函數的連續性、函數的微分、可微函數的基本理論、導數的應用、函數的積分、積分的方法、積分的近似計算,以及微分方程。另有兩章介紹復數與概率。《微積分及其應用(中譯本)》與拉克斯的另一著名教材《線性代數及其應用》簡明清晰、行云流水的風格一致,通過引入許多背景自然的應用實例,兩位作者致力於引導讀者對微積分這一重要的基礎課題獲得理解。《微積分及其應用(中譯本)》末尾還提供了部分習題的答案。

目次

目錄
序言
第1章 數和極限 1
1.1 不等式 1
1.1.1 不等式的法則 3
1.1.2 三角不等式 3
1.1.3 算術-幾何平均值不等式 4
問題 7
1.2 實數和最小上界定理 10
1.2.1 實數作為無限小數 10
1.2.2 最小上界定理 12
1.2.3 舍入 14
問題 16
1.3 數列及其極限 17
1.3.1 的近似 20
1.3.2 數列與級數 21
1.3.3 區間套 32
1.3.4 柯西數列 33
問題 35
1.4 數字e 39
問題 42
第2章 函數及其連續性 45
2.1 函數的概念 45
2.1.1 有界函數 48
2.1.2 函數的運算 49
問題 51
2.2 連續性 52
2.2.1 用極限定義函數在一點處的連續性 54
2.2.2 區間上的連續性 57
2.2.3 介值定理與最值定理 58
問題 61
2.3 函數的復合及逆 63
2.3.1 反函數 66
問題 70
2.4 正弦與餘弦 71
問題 74
2.5 指數函數 75
2.5.1 放射性衰變 76
2.5.2 細菌繁殖 76
2.5.3 代數定義 77
2.5.4 指數型增長 78
2.5.5 對數 80
問題 84
2.6 函數列及其極限 85
2.6.1 函數列 85
2.6.2 函數項級數 92
2.6.3 函數與 96
問題 101
第3章 導數和微分 105
3.1 導數的概念 105
3.1.1 幾何意義 107
3.1.2 可導與連續 110
3.1.3 導數的應用 112
問題 117
3.2 求導法則 119
3.2.1 和、積與商的導數 120
3.2.2 復合函數的導數 124
3.2.3 高階導數及記號 127
問題 128
3.3 函數ex和lnx的導數 132
3.3.1 函數ex的導數 132
3.3.2 函數lnx的導數 133
3.3.3 冪函數的導數 135
3.3.4 微分方程y'= ky 135
問題 136
3.4 三角函數的導數 138
3.4.1 正弦和餘弦函數的導數 138
3.4.2 微分方程y"+y=0 140
3.4.3 反三角函數的導數 142
3.4.4 微分方程y"-y=0 144
問題 146
3.4.5 冪級數的導數 148
問題 151
第4章 可導函數的理論 153
4.1 中值定理 153
4.1.1 一階導數用於最優化 156
4.1.2 利用微分證明不等式 160
4.1.3 推廣的中值定理 162
問題 163
4.2 高階導數 166
4.2.1 二階導數檢驗 170
4.2.2 凸函數 171
問題 173
4.3 泰勒定理 175
4.3.1 泰勒級數的例子 180
問題 185
4.4 逼近導數 186
問題 191
第5章 導數的應用 194
5.1 氣壓 194
問題 196
5.2 運動定律 196
問題 201
5.3 求函數零點的牛頓法 201
5.3.1 平方根的逼近 203
5.3.2 多項式根的逼近 204
5.3.3 牛頓法的收斂性 206
問題 209
5.4 光的反射和折射 210
問題 215
5.5 數學與經濟學 216
問題 219
第6章 積分 221
6.1 積分的例子 221
6.1.1 從速度表確定路程 221
6.1.2 細棒的質量 223
6.1.3 正函數下方圖的面積 225
6.1.4 負函數和凈總值 227
問題 228
6.2 積分 229
6.2.1 積分的近似 231
6.2.2 積分的存在性 235
6.2.3 積分的進一步的性質 238
問題 241
6.3 微積分基本定理 243
問題 251
6.4 積分的應用 253
6.4.1 體積 253
6.4.2 累積量 255
6.4.3 弧長 256
6.4.4 功 257
問題 259
第7章 積分方法 260
7.1 分部積分 260
7.1.1 帶積分形式餘項的泰勒公式 264
7.1.2 優化數值近似 266
7.1.3 微分方程的應用 267
7.1.4 π的Wallis乘積公式 267
問題 269
7.2 換元法 271
問題 276
7.3 廣義積分 277
問題 290
7.4 積分的其他性質 292
7.4.1 函數列的積分 292
7.4.2 含參變量的積分 295
問題 297
第8章 積分的近似數值計算 298
8.1 近似積分 298
8.1.1 中點法則 300
8.1.2 梯形法則 301
問題 302
8.2 辛普森法則 304
8.2.1 辛普森法則的替代方法 307
問題 309
第9章 復數 310
9.1 復數 310
9.1.1 復數的運算 311
9.1.2 復數的幾何 315
問題 320
9.2 復值函數 323
9.2.1 連續性 323
9.2.2 導數 324
9.2.3 復值函數的積分 325
9.2.4 復變量的函數 326
9.2.5 復指數函數 329
問題 332
第10章 微分方程 334
10.1 用微積分描述振動 334
10.1.1 力學系統的振動 334
10.1.2 耗散和能量守恒 338
10.1.3 沒有摩擦力時的振動 339
10.1.4 沒有摩擦力的線性振動 342
10.1.5 帶摩擦力的線性振動 344
10.1.6 外力驅動的線性系統 348
問題 352
10.2 種群動力學 355
10.2.1 微分方程 355
10.2.2 人口增長與漲落 361
10.2.3 兩個物種 365
問題 373
10.3 化學反應 374
問題 381
10.4 微分方程的數值求解 382
問題 386
第11章 概率 387
11.1 離散概率 387
問題 396
11.2 信息論:感興趣的事有多有趣? 397
問題 400
11.3 連續概率 401
問題 409
11.4 誤差律 411
問題 419
部分問題的答案 421
術語對照表 448
譯後記 454
《現代數學譯叢》已出版書目 456

書摘/試閱

第1章數和極限
摘要本章將介紹實數的基本概念和性質,它們對定義極限、導數和積分等微積分概念是必須的。
1.1不等式
實數之間的不等式在微積分中非常重要。不等式是收斂這個基本概念的核心,收斂則是微積分的一個中心思想。不等式可以用來證明兩個數a;b相等,只要證明a既不小於b也不大於b。例如,阿基米德用這種方法證明了一個圓的面積等於一個以其周長為底、半徑為高的三角形的面積。
不等式的另一個用處是描述數集。用不等式描述的數集可以在數軸上畫出來。
如果,則我們稱a小於b,記作a 圖1.1數軸
如果,則我們稱a小於或等於b,記作a6b。滿足a6x6b的數x是介於a和b之間的數,端點a;b包含在內。這是閉區間的一個例子,用方括弧[a;b]表示。僅包含一個端點的區間稱為半開區間或半閉區間。例如,區間a 圖1.2 (a)開區間(a;b);(b)半開半閉區間(a;b];(c)閉區間[a;b]
一個數a的絕對值是a到0的距離:若a為正數,則;若a為負數,則。差的絕對值,可解釋為a;b兩點在數軸上的距離,也可解釋為a;b間的區間的長度(圖1.3) 。
不等式可以解釋為a;b兩點在數軸上的距離小於"。這相當於說,a;b之間的差ab大於。且小於:在問題1.9中,我們將要求你用1.1.1節中的不等式來證明上述不等式。
圖1.3用絕對值來度量距離
例1.1不等式描述的是那些與5的距離小於這就是開區間。而不等式描述的則是閉區間。見圖1.4。
圖1.4 (a )由不等式所指定的數介於之間
不等式可以解釋為將近似為的一個陳述。它告訴我們,與的誤差在千分之一以內,或者說,在以3:141為中心、半徑為的區間內。
在圖1.5中我們可以設想,在大區間中有更小的區間,將包得更緊。在本章稍後我們將看到,用來確定一個數的方法就是用越來越緊的區間套住它。這個過程在1.3。3節被描述為閉區間套定理。
圖1.5的近似
我們用表示所有大於a的數的集合,用表示所有大於或等於a的數的集合。類似地,表示所有小於a的數的集合,用表示所有小於或等於a的數的集合(圖1.6)。
圖1.6從左到右,依次是區間1
例1.2不等式描述的是那些與5的距離大於或等於的。這就是或中的數。見圖1.7。
圖1.7由例1.2中的不等式所指定的數
1.1.1不等式的法則
接下來我們複習一些處理不等式的法則:
(a)三分律:對任意的兩個實數a和b,或有a>b,或有a (b)傳遞性:若a (c)加法的法則:若a (d)乘法的法則:若a0,有;若a (e)取倒數的法則:若a;b是正數,且a 這些關於不等式的法則可以用來化簡不等式或從已知的不等式推導出新的不等式。除了三分律(a),其餘四條法則中的<換成6,結論仍然成立。在問題1.8中,要求你利用三分律推導這樣的結果:如果a6b且b6a,則a=b。
……

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