高考數學壓軸題破題36計(第二版)（簡體書）

特級教師李錦旭從2012年至今7年來一直在北京十一學校開設自主招生課程，每屆有百餘人過北大清華線，錄取80人左右；每年所教學生高考數學均分136-142分，本書正是源于筆者輔導高考和自招的實踐探索。

古有36計，言簡意賅，深得三昧；今借鑒其形式，尋芳探幽，出奇制勝，非欲標新立異、故弄玄虛！以“計”名篇，意在提醒讀者：發揮聰明才智，挖掘內在潛力，訓練數學的理性思維品質。

本書嘗試突出如下3個特色：
1．提倡用數學理性思維解題，突出用哲學觀點（結構特徵分析法）指導解題；
2．力圖站在社會發展與新課改前沿，從高考壓軸題命制與競賽、自招互受啟發的視角來探究壓軸題的特點、來源，同時探索快速、高效破解方法；
3．解讀部分試題的數學文化內涵，意在引導讀者不止于會解題，還要知道這些試題的科學背景及其應用價值. 因為智慧積澱久之成為文化，文化可為有效解題形成能力提供源源不斷的內動力，並真正提升素養.

《高考數學壓軸題破題36計》第二版序言

本書於2016年4月初版上市，不久告罄。讀者反響巨大，選摘片言：

A. 書中題題經典，法法精妙，實戰性極強，性價比超高；

B. 仔細研究36計一書，會發現許多其它同類書沒有的好解法，有些題解法多達十幾種，但是作者並不是為羅列解法，而是在“結構特徵分析”思維策略指導下自然而然的邏輯展開，令我們豁然開朗！

C. 36計是一本極具魔力的書，有時洋洋灑灑琳琅滿目，令人欲罷不能；有時又會惜墨如金點到為止，讓人急於將所省略寫出補全而後快！

D. 本書很有特色：將高考壓軸題的分析解答與數學思維、數學文化有機結合，品味高、思維密度大；

E. 36計從哲學視角分析整合壓軸題，抽象程度高，數學水平一般的孩子理解起來會有一定困難；

F. 36計攤子鋪得過大，面面俱到，不容易寫得深入細緻；

……

這些評論很中肯：既肯定了本書的優點，又客觀地指出不足之處。第二版即根據以上建議修訂，突出如下三點：

1. 進一步充實完善第4計作為全書的總綱：即較為詳細地介紹了結構特徵分析法，使之能有效指導讀者分析問題和解決問題，並給出唐以榮教授《中學數學綜合題解題規律講義》關於綜合題的分類及其解法表（附表1），以便於讀者有所遵循。

2. 根據最新高考要求，刪換調補有關計策，使之更好地應對新高考的變化；

同時，本書不僅僅局限於高考：與高考壓軸題有關的競賽題、自主招生試題，也會適當採擇於講解和練習之中，因此本書還可作為優生應對自主招生的參考書。

3.第二版突出“專題精講”，每計獨立成篇，讀者既可系統研究，又可根據實際需要而重點選讀；原第一版每計後的“跟蹤練習”進行擴充，單獨成書：《高考數學壓軸題破解36計（強化訓練篇 ）》。

筆者從2012年至今7年來一直在學校開設自主招生課程，每屆有百餘人過北大清華線，錄取80人左右；每年所教學生高考數學均分136-142分，本書正是源于筆者輔導高考和自招的實踐探索。

相信讀者能開卷有益。同時，熱誠歡迎讀者對本書提出寶貴意見與建議，以便再版修訂。衷心感謝！

聯繫方式：郵箱：lijinxu686@sohu.com

李錦旭（北京十一學校 特級教師）


第一版序

高考宗旨無疑是突出選拔性，雖已轉到能力立意，以考查數學的理性思維兼以文化素養為目的，但是所考查的各種能力無疑最終要落實在解題能力；從1977年恢復高考至今已有37個年頭，僅2014年的高考文理合計就有39套試卷，作者學研高考題30餘年，深知這些試題凝聚著命題者的心血和智慧，是一個巨大的資源庫，可有效指導教學. 尤其是對試卷中分值占20%左右的能力型試題（本書姑且稱之為壓軸題），更是廣大師生格外關注的焦點.

但是正因為多，難以把握，需要跳出題海，理出頭緒；執簡馭繁，提綱挈領，這就需要講究智慧，而數學恰好是講究理性思維的. 古有36計，言簡意賅，深得三昧；今借鑒其形式，尋芳探幽，出奇制勝，非欲標新立異、故弄玄虛！以“計”名篇，意在提醒讀者：發揮聰明才智，挖掘內在潛力，訓練數學的理性思維品質。

本書嘗試突出如下3個特色：

1．提倡用數學理性思維解題，突出用哲學觀點（結構特徵分析法）指導解題；

2．力圖站在社會發展與新課改前沿，從高考壓軸題命制與競賽、自招互受啟發的視角來探究壓軸題的特點、來源，同時探索快速、高效破解方法；

3．解讀部分試題的數學文化內涵，意在引導讀者不止于會解題，還要知道這些試題的科學背景及其應用價值. 因為智慧積澱久之成為文化，文化可為有效解題形成能力提供源源不斷的內動力，並真正提升素養.

一．本書的結構

（一）對於本書謀篇佈局的說明：

1．做任何事情，都需要首先瞭解對方的特點、實力，以便研究針對性措施，高效做事，謂之“知己知彼 百戰百勝”，名曰“第一套 勝戰計”. 其中所分的6個計策分別為：首先應明確壓軸題的特點與來源，為第1計；按傳統題型可將高考題分為三種題型，即選擇題、填空題、解答題，按其題型特點容易破解；但解答題尤為重要，故設括為3計.

2．數學思想是數學活動的靈魂，須站得高才能望得遠，謂之“居高臨下勢如破竹”，名曰“第二套 敵戰計”. 讀者應作為一種觀念，自覺運用於數學的學習與解題活動之中，久之自然見高識妙、創意迭出而不可遏制.

3．壓軸題要突出能力考查，經常需要我們能開拓視野、跳出圈外看問題，謂之“見多識廣處變不驚”，名曰“第三套 攻戰計”. 內設用競賽數學方法、高等數學知識和方法解決高考題等，不但解決這些試題顯得簡捷明快，凸顯問題的本質，更希望引導讀者能放開眼光，不囿於《考試說明》所框定的範圍，多學點有用的有趣的數學，其實，就現實來講，許多壓軸題有競賽和高等數學背景，況且自主招生早已進入中學！望讀者悉心體會，幸勿以之為累.

4．思想、觀念、方法之奇之妙，完全源於知識的沃土，壓軸題多在知識交匯處命制，故以知識模塊分題型解讀，本自天然，謂之“立根模塊，枝繁葉茂”，名曰“第四套混戰計”. 意在提醒讀者牢固掌握此套計策乃亂中取勝之本.

5．各省市區命題探索出成型的經驗，已然呈現出不同的風格和特色，且均有相互借鑒之處，這給我們許多啟發：可兼蓄並收，謂之“百花爭豔信步攬勝”，名曰“第五套 並戰計”.

6．打鐵終須自身硬. 回歸學習與研究的根本，要求我們要以整體觀系統觀來構建高中數學的知識結構進而形成認知結構即分析問題解決問題的數學學科思維力，從而提升形成以數學知識結構和數學學科思維力為雙基基樁的能力控制系統. 這裡僅以6個數學學習模型來示範，謂之“以點帶面 縱橫捭闔”，名曰“第六套敗戰計”. 這是培養後勁的，所謂萬變不離其宗！各知識點內部都有著深層的聯繫，對於這些聯繫的顯化，需要我們做有心人，不斷思考、勤於積累、總結、提煉、昇華，並在用中檢驗、完善.

（二）每“計”體例主要分為例題和跟蹤練習兩個部分.

1. 提煉核心知識和核心思維方法，以綱目形式呈現；

2．圍繞核心思維方法，可能設置幾個應用的變式；

3．核心思維方法及其變式，多凝聚在所選典型例題中；

4．例題分為解析和評注兩個部分，解析不僅是解題步驟的呈現，多數時候是分析解題思路的探索過程；其中隨時滲透著第4—6計所強調的審題、找思路、用哲學觀點從結構特徵分析的思維策略. 另有對問題進行可能的一題多解、一題多變、多題歸一及引申、推廣，意在引導讀者充分利用典型材料挖掘其思維訓練價值；

 評注部分則重在突出點撥關鍵思維點及受阻處、問題可能的本質屬性、可能的科學背景與文化內涵.

5．跟蹤練習選題標準是少而精，且對應性強，意在學以致用、趁熱打鐵，形成技能技巧，但注意：有些跟蹤練習的試題是例題的核心方法及其變式的對比題，意在提醒、引導讀者入“模”還須出“模”，最終無“模”：因為題目不會貼上標簽說用啥法. 最好能定時訓練這些精緻小題.

二．本書的用法

這36計，每一計均可獨立成篇. 故既可系統閱讀，也可部分選讀.

1．第一套是總論，內含“結構特徵分析法”及其從哲學觀點分設的四種解題策略，最好細看，因為下述分論及每道例題，均依此解析、評注，系統性強；

2．第二、三、六套是從高觀點探討高考壓軸題的求解策略，並可體會高考壓軸題與自招題、競賽題互受啟發的命題與解答淵源；第六套是示例數學學習模型的，類似於超集成電路系統中的模塊，構建起這些模塊，快速高效破解壓軸題這台機器便可高效運轉；讀者須真下功夫去做，做了才知其中滋味和收穫的豐盈；

3．第四套按模塊分題型，須在第二、三、六套的指導下，精研細讀，真正形成技能技巧，運用純熟；

4．對於第五套，因受篇幅限制，很難做到全面而深刻，只能選取幾例以作示範，希能見諒；並誠望多交流研習心得！

由於時間倉促，加之作者水平有限，疏漏、不足甚至錯誤，在所難免；希望讀者不吝賜教，多提意見，聯繫方式：郵箱：lijinxu686@sohu.com .

李錦旭（北京市十一學校 特級教師）

第一套 勝戰計 知己知彼，百戰百勝

——高考數學壓軸題的特點及其破解策略

第1計 高考數學壓軸題的特點與來源

第2計 速解選擇題三法

第3計 準確求解填空題的基本方法

第4計 如何審題找解題思路

第5計 壓軸題破解策略之一

第6計 壓軸題破解策略之二

第二套 敵戰計 居高臨下，勢如破竹

——高考常用數學思想擷英

第7計 函數與方程思想

第8計 數形結合思想

第9計 分類討論思想

第10計 等價轉化與化歸思想

第11計 符號化思想

第12計 構造思想

第三套 攻戰計 見多識廣，處變不驚

——幾種典型的數學方法拾趣

第13計 數學歸納法

第14計 反證法

第15計 三角與向量方法

第16計 用平面幾何方法解題

第17計 用競賽方法解題

第18計 用高等數學的知識和方法解題

第四套 混戰計 立根模塊，枝繁葉茂

——分模塊解密壓軸題

第19計 集合與函數

第20計 導數

第21計解析幾何

第22計數列

第23計不等式

第24計概率統計與立體幾何

第五套 並戰計 百花爭豔，信步攬勝

——分省市區解讀壓軸題秘蘊

第25計 新課改的方向標——全國課標卷壓軸題解析

第26計 平中見奇浙江潮——浙江卷壓軸題回眸

第27計 聚智江蘇——江蘇試題掠影

第28計 大氣北京——例析北京卷壓軸題的風格

第29計 新潮上海——上海卷特色試題解析

第30計 常變常新——解密天津卷壓軸題

第六套 敗戰計 以點帶面，縱橫捭闔

——從幾個典型的數學學習模型說開去

第31計 視角最大問題

第32計 一個三角不等式模型及其應用

第33計 一個絕對值之和函數最值問題探究

第34計 三次函數圖像、性質及其應用

第35計 抽象函數模型及其應用

第36計 指數對數型函數性質及其應用舉隅