現代應用數學基礎(第二版)（簡體書）

在科學技術及數學自身飛速發展的今天，現代數學作為其他學科的基礎、語言、工具和手段，其地位日益提高。《現代應用數學基礎（第二版）》旨在打造一本適合高校理工類研究生學習現代數學基礎理論與方法的基《現代應用數學基礎（第二版）》，使研究生能在較短的時間內盡可能多地瞭解現代數學的基本概念、基本理論和基本方法，提升現代數學素養，增強運用現代數學知識分析問題和解決問題的能力。《現代應用數學基礎（第二版）》信息量大、深入淺出、循序漸進，具體內容包括集合與映射、代數結構與抽象空間、測度與積分、泛函分析、Sobolev空間、微分流形、小波分析與粗糙集簡介。另外，《現代應用數學基礎（第二版）》還配有電子課件供老師教學使用。

目錄
第二版前言
第一版前言
第1章 集合與映射 1
1.1 集合 1
1.1.1 集合的概念 1
1.1.2 集合的運算 2
1.1.3 集合序列的極限 4
1.2 映射 5
1.2.1 映射的概念 5
1.2.2 複合映射及性質 7
1.3 二元關係 7
1.3.1 二元關係的概念 7
1.3.2 等價關係 8
1.4 集合的勢 10
1.4.1 勢的概念 10
1.4.2 可數集與超窮數 10
1.5 序結構 11
1.5.1 序關係 11
1.5.2 確界與最大元 12
習題1 13
第2章 代數結構與抽象空間 15
2.1 代數結構 15
2.1.1 代數運算與同構 15
2.1.2 群 16
2.1.3 環與域 18
2.2 線性空間 19
2.2.1 線性空間的概念 19
2.2.2 線性空間的基與維數 21
2.2.3 線性空間中的一些基本概念 21
2.3 距離空間 23
2.3.1 距離空間的概念及舉例 23
2.3.2 距離空間的開集與閉集 25
2.3.3 極限與連續映射 27
2.3.4 距離空間的緻密集與緊集 29
2.3.5 壓縮映射與不動點原理 29
2.4 賦範空間 32
2.4.1 賦範空間的概念和性質 32
2.4.2 賦範空間的基 35
2.4.3 賦範空間的同構 35
2.5 內積空間 36
2.5.1 內積空間的基本概念 36
2.5.2 內積空間的正交與投影 38
2.5.3 內積空間的正交基 39
2.6 拓撲空間 41
2.6.1 拓撲空間的概念 41
2.6.2 連續映射與同胚 45
2.6.3 拓撲空間的連通性 47
2.6.4 拓撲空間的分離性與緊致性 49
2.7 拓撲線性空間 51
2.7.1 拓撲線性空間的概念 51
2.7.2 拓撲線性空間的局部基 52
2.7.3 局部凸空間 53
習題2 55
第3章 測度與積分 57
3.1 測度 57
3.1.1 測度空間 57
3.1.2 外測度及由它導出的測度 59
3.1.3 Rn上的Lebesgue測度 64
3.2 可測函數與可測函數的積分 65
3.2.1 可測函數的概念 65
3.2.2 可測函數的積分 66
3.2.3 積分號下的極限運算 71
習題3 72
第4章 泛函分析 74
4.1 算子與泛函 74
4.1.1 算子與泛函的概念 74
4.1.2 線性算子與線性泛函 75
4.1.3 幾種收斂概念 79
4.1.4 算子的微分 81
4.2 泛函的極值 86
4.2.1 泛函極值與變分的概念 86
4.2.2 Euler方程 90
4.2.3 泛函極值問題的近似解法 98
4.3 廣義函數 103
4.3.1 廣義函數的產生 103
4.3.2 基本函數空間與廣義函數 105
4.3.3 廣義函數的支集與廣義函數的導數 106
4.3.4 速降函數與緩增廣義函數 108
4.3.5 緩增廣義函數的Fourier變換 110
習題4 111
第5章 Sobolev空間 113
5.1 Sobolev空間中的基本概念 113
5.2 嵌入定理 115
5.3 Sobolev空間與廣義解 116
習題5 120
第6章 微分流形 121
6.1 多元映射的連續性與可微性 121
6.2 微分流形的定義 124
6.2.1 拓撲流形與微分流形 124
6.2.2 可微函數與可微映射 130
6.3 臨界點理論 132
6.3.1 臨界點與Sard定理 132
6.3.2 Morse理論 132
6.4 微分動力系統 135
6.4.1 微分方程組與向量場 135
6.4.2 相流、微分動力系統 139
6.5 微分流形理論在經濟學中的應用 141
6.5.1 經濟均衡的存在性 141
6.5.2 純交換經濟中的均衡 143
6.5.3 福利經濟基本定理 144
習題6 146
第7章 小波分析 147
7.1 窗口Fourier變換 147
7.1.1 Fourier變換 147
7.1.2 窗口Fourier變換 150
7.2 連續小波變換 151
7.3 二進小波、離散小波與框架 156
7.3.1 二進小波變換 156
7.3.2 離散小波變換 158
7.3.3 框架 158
7.4 正交小波基與多分辨分析 163
7.4.1 正交小波 163
7.4.2 多分辨分析 167
7.4.3 Mallat算法 171
7.4.4 小波與共軛濾波器 173
7.4.5 緊支集正交小波基 175
7.5 正交小波包 177
7.5.1 小波包的定義與性質 177
7.5.2 最優小波包基 180
7.6 多框架小波 182
7.6.1 雙正交小波 183
7.6.2 多框架小波 185
7.7 高維小波 187
7.8 小波分析應用簡介 190
7.8.1 信號的奇異性與小波變換 190
7.8.2 小波在信號消噪中的應用 192
7.8.3 小波在突變點檢測中的應用 194
7.8.4 二維小波變換在圖像處理中的應用 196
習題7 197
第8章 粗糙集簡介 198
8.1 知識與粗糙集 198
8.2 知識約簡 201
8.3 知識表達系統 203
8.3.1 信息系統 203
8.3.2 決策表 204
8.4 粗糙集模型的算法 207
8.4.1 單一屬性分類 208
8.4.2 支持子集與支持度 209
8.4.3 多個屬性等價類的交運算 212
8.4.4 屬性的獨立性 213
習題8 213
參考文獻 214
索引 216