微積分學習指導(下)（簡體書）

《微積分學習指導（下冊）/大學數學基礎叢書》是與我們編寫的教材《微積分》配套的輔導用書。書中按教材章節順序編排，與教材保持一致。全書共4章，每章又分4個板塊，即大綱要求與重點內容、內容精要、題型總結與典型例題、課後習題解答，以起到同步輔導的作用，幫助學生克服學習中遇到的困難。

王金芝，博士學位，副教授，大連民族大學理學院教師。從事教學工作二十餘年，主要數學類從事公共基礎課教學工作。主持或參加過多項省部級科研項目和教改項目，發表過近20篇學術論文。

本學習指導是與我們編寫的教材《微積分》配套的輔導用書。 微積分是高等院校的重要基礎課之一，它不僅是後續課程學習及在各個學科領域中進行研究的必要基礎，而且對學生綜合能力的培養起著重要的作用，同時更是考研數學試題的重要組成部分。為更好地指導學生學好這門課程，加深學生對所學內容的理解和掌握，提高其綜合運用知識解決問題的能力，我們組織編寫此書。本書按教材章節順序編排，與教材保持一致。全書共5章，每章又分4個板塊，即大綱要求及重點內容、內容精要、題型總結與典型例題、課後習題解答，對現行教材逐章逐節同步輔導。各板塊具有以下特點： 1.大綱要求及重點內容部分列出了國家教學大綱對本章內容的基本要求，説明同學們明確本章應該掌握的數學概念及相關知識。 2.內容精要部分對每章的內容都給出了簡明的摘要，用以幫助讀者理解和記憶本書中的主要概念、結論和方法，對本章有一個全域性的認識和把握。 3.題型總結與典型例題部分，選取了近幾年的考研題和競賽題作為例題，並進行了詳細的解答。每種題型的解法都具有代表性。讀者可以通過典型例題既對這部分知識消化理解，掌握了常見的解題方法與技巧，又擴充了知識面，同時也做到舉一反三，觸類旁通。 4.課後習題解答部分，是對《微積分》一書的課後習題的詳細解答，用以幫助讀者在完成課後習題遇到困難時參考、查閱。對於課後習題，希望讀者在學習過程中，先獨立思考，自己動手解題，然後再對照檢查，不要依賴於解答。 本書既是大學本科學生學習微積分有益的參考用書，又是有志考研同學的良師益友，相信通過對本書的系統閱讀，會對學好微積分有很大幫助。 本書由大連民族大學理學院組織編寫，由齊淑華、王金芝主編，參加編寫的有劉強、張譽鐸、李嬌。理學院領導和同事們對本書的編寫提出了寶貴的意見和建議，在此表示感謝。 由於作者水準有限，難免有疏漏、不足或錯誤之處，敬請同行和廣大讀者指正。

□□章 多元函數微分學
1．1 大綱要求及重點內容
1．2 內容精要
1．3 題型總結與典型例題
1．4 課後習題解答

第2章 重積分
2．1 大綱要求及重點內容
2．2 內容精要
2．3 題型總結與典型例題
2．4 課後習題解答

第3章 無窮級數
3．1 大綱要求及重點內容
3．2 內容精要
3．3 題型總結與典型例題
3．4 課後習題解答

第4章 微分方程
4．1 大綱要求及重點內容
4．2 內容精要
4．3 題型總結與典型例題
4．4 課後習題解答

□□章 多元函數微分學 1.1大綱要求及重點內容 1. 大綱要求 （1) 理解二元函數的概念,瞭解多元函數的概念,會求二元函數的定義域。 （2) 瞭解二元函數的極限與連續性的概念,瞭解有界閉區域上連續函數的性質。 （3) 理解二元函數偏導數與全微分的概念,瞭解全微分存在的必要條件和充分條件。 （4) 掌握複合函數一階偏導數的求法,會求複合函數的二階偏導數。 （5) 會求隱函數（包括由兩個方程構成的方程組確定的隱函數）的一階和二階偏導數。 （6) 理解二元函數極值與條件極值的概念,會求二元函數的極值,瞭解求條件極值的拉格朗日乘數法,會求一些比較簡單的□大值與□小值的應用問題。 2. 重點內容 （1) 偏導數和全微分的概念。 （2) 求多元複合函數的一階、二階偏導數。 （3) 求隱函數的一階、二階偏導數。 （4) 多元函數的極值，包括無條件極值和條件極值。 （5) 利用多元函數解決實際應用中的□大值、□小值問題以及在一定條件下的□大值、□小值問題。 1.2內容精要 1. 基本概念 （1) 二元函數的定義設D是平面上的一個非空點集，如果對於D內的任一點(x,y)，按照某種法則f，都有□□確定的實數z與之對應，則稱f是D上的二元函數，它在(x,y)處的函數值記為f(x,y)，即z=f(x,y)，其中x，y稱為引數，z稱為因變數。點集D稱為該函數的定義域，數集{z|z=f(x,y),(x,y)∈D}稱為該函數的值域。 類似地，可定義三元及三元以上函數。當n≥2時,n元函數統稱為多元函數。 （2) 二元函數的幾何意義設函數z=f(x,y)的定義域為D，對於任意取定的P(x,y)∈D，對應的函數值為z=f(x,y)，這樣，以x為橫坐標、y為縱坐標、z為豎座標在空間就確定一點M(x,y,z)，當P(x,y)取遍D上一切點時，得一個空間點集{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)∈D}，這個點集稱為二元函數的圖形。二元函數z=f(x,y)的圖形就是空間中區域D上的一張曲面，定義域D是該曲面在xOy面上的投影。 （3) 二元函數的極限設函數z=f(x,y)在點P0(x0,y0)的某一去心鄰域內有定義，如果當點P(x,y)無限趨於點P0(x0,y0)時，函數f(x,y)無限趨於一個常數A，則稱A為函數z=f(x,y)當(x,y) →(x0,y0)時的極限，記為 limx→x0 y→y0f(x,y)=A， 或 f(x,y)→A（(x,y)→(x0,y0)）， 也記作 limP→P0f(P)=A或f(P)→A(P→P0)。 二元函數的極限與一元函數的極限具有相同的性質和運算法則，在此不再詳述。為了區別於一元函數的極限，我們稱二元函數的極限為二重極限。 □□章多元函數微分學 1.2內容精要 說明： ① 定義中P→P0的方式是任意的； ② 二元函數的極限運算法則與一元函數類似。 (4) 二元函數的連續性設二元函數z=f(x,y)在點(x0,y0)的某一鄰域內有定義，如果 limx→x0 y→y0f(x,y)=f(x0,y0), 則稱z=f(x,y)在點(x0,y0)處連續。如果函數z=f(x,y)在點(x0,y0)處不連續，則稱函數z=f(x,y)在(x0,y0)處間斷。 如果z=f(x,y)在區域D內每一點都連續,則稱該函數在區域D內連續。在區域D上連續的二元函數的圖形是區域D上的一張連續曲面,曲面上沒有洞,也沒有撕裂的地方。 （5) 偏導數的定義設函數z=f(x,y)在點(x0,y0)的某一鄰域內有定義,當y固定在y0而x在x0處有增量Δx時,相應地函數有增量f(x0+Δx,y0)－f(x0,y0)。如果 limΔx→0f(x0+Δx,y0)－f(x0,y0)Δx 存在,則稱此極限為函數z=f(x,y)在點(x0,y0)處對x的偏導數,記為 zxx=x0 y=y0， fxx=x0 y=y0， zxx=x0 y=y0或fx(x0,y0)。 例如，有 fx(x0,y0)=limΔx→0f(x0+Δx,y0)－f(x0,y0)Δx=limx→x0f(x,y0)－f(x0,y0)x－x0。 類似地，函數z=f(x,y)在點(x0,y0)處對y的偏導數為 fy(x0,y0)=limΔy→0f(x0,y0+Δy)－f(x0,y0)Δy=limy→y0f(x0,y)－f(x0,y0)y－y0, 記為 zyx=x0 y=y0， fyx=x0 y=y0， zyx=x0 y=y0或fy(x0,y0)。 實際上,偏導數本質上是一元函數的導數，f′x(x0,y0)就是一元函數φ(x)=f(x,y0)在x=x0處的導數，即 fx(x0,y0)=φ′(x0)=df(x,y0)dxx=x0=(f(x,y0))′x|x=x0; 而偏導數fy(x0,y0)是一元函數ψ(y)=f(x0,y)在y=y0處的導數，即 fy(x0,y0)=ψ′(y0)=df(x0,y)dyy=y0=(f(x0,y))′y|y=y0。 如果函數z=f(x,y)在區域D內任一點(x,y)處對x的偏導數都存在，那麼這個偏導數就是x,y的函數，它就稱為函數z=f(x,y)對引數x的偏導數，記作zx，fx，zx或fx(x,y)。同理可以定義函數z=f(x,y)對引數y的偏導數，記作zy，fy，zy或fy(x,y)。 偏導數的概念可以推廣到二元以上函數。