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魅麗。花火原創小說66折起
無窮分析引論(上)(平裝)(簡體書)
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商品簡介
目次

商品簡介

本書是作為微積分預備教程,為彌補初等代數對於微積分的不足,為學生從有窮概念向無窮概念過渡而寫,本書在數學史上地位顯赫,是對數學發展影響最大的七部名著之一。

接觸到的學生,他們學習無窮分析之所以遇到困難,往往是由於在必須使用無窮這一陌生概念時,初等代數剛學,尚未登堂入室,雖然無窮分析並不要求初等代數的全部知識和技能,問題是有些必備的東西,初等代數或者完全沒講,或者講得不夠詳細。本書力求把這類東西講得既充分又清楚,求得完全彌補初等代數對無窮分析的不足。書中還把相當多的難點化易,使得讀者逐步地、不知不覺地掌握到無窮這一思想,有很多通常歸無窮分析處理的問題,本書使用了代數方法。這清楚地表明了分析與代數兩種方法之間的關係,
本書分上、下兩冊,上冊講純分析,下冊講必要的幾何知識,這是因為無窮分析的講解常常伴以對幾何的應用,別的書中都講的一般知識本書上、下冊都不講,本書所講是別處不講的,或講得太粗的,或雖講但所用方法完全不同的。
整個無窮分析所討論的都是變量及其函數,因此上冊細講函數,講了函數的變換、分解和展開為無窮級數,對函數,包括屬於高等分析的一些函數進行了分類。首先分函數為代數函數和超越函數。變量經通常的代數運算形成的函數叫代數函數,經別的運算或無窮次代數運算形成的函數叫超越函數,代數函數又分為有理函數和無理函數。對有理函數講了分解它為因式和部分分式,分解為部分分式之和這種運算在積分學中有著重要應用,對無理函數給出了用適當的代換變它為有理函數的方法,無理函數和有理函數都可以展開成為無窮級數,但這種展開對超越函數用處最大,無窮級數的理論可用於高等分析,為此增加了幾章,用於考察很多無窮級數的性質與和。其中有些級數的和不用無窮分析是很難求出的,其和為對數和弧度的級數就是,對數和弧度是超越量,可通過求雙曲線下的和圓的面積確定,主要由無窮分析對它們進行研究,接下去從以底為變量的冪轉向了以指數為變量的冪,作為以指數為變量之冪的逆,自然而有成果地得到了對數概念。對數不僅本身有著大量應用,而且由它可得到一般量的無窮級數表示。還講了造對數表的簡單方法。類似地,我們考察了弧度,弧度與對數雖然是兩種完全不同的量,但它們卻有著如此密切的關係,當一種為虛數形式時,可化為另一種,重複了幾何中多倍角和等分角正弦和余弦的求法之後,從任意角的正弦餘弦導出了極小角的正弦和余弦,並導出了無窮級數。由此,從趨於消失的角其正弦等於角度,餘弦等於半徑,我們可以通過無窮級數使任何一個角度等於它的正弦或餘弦,這裡我們得到瞭如此之多的各種各樣的有限的和無窮的這種表達式,以至於無需再對其性質進行研究。對數有著它自己的特殊算法,這種算法應用於整個分析。我們推出了三角函數的算法,使得對三角函數的運算如同對數運算和代數運算一樣地容易,從書中有幾章的內容可以看出,三角函數算法在解決難題時,其應用範圍是何等的廣,事實上,這種例子從無窮分析中還可舉出很多,日常的數學學習和數學工作中也會遇到很多。
分解分數函數為實部分分式在積分學中有著重要應用,而三角函數算法對分解分式為實部分分式有極大幫助,我們對它進行詳細討論的原因正在於此。接下去的討論是分數函數展成的無窮級數——遞推級數。討論了它的和、通項和另外一些重要性質。遞推級數考慮的是因式乘積的倒數,我們也考慮了展多因式,甚至無窮個因式的乘積為級數,這不僅可導致對無窮多個級數的研究,而且利用級數可表示成無窮乘積,我們找到了一些方便的數值表達式,用這些表達式可以容易地計算出正弦、餘弦和正切的對數,利用展因式乘積為級數,我們推出了許多有關拆數為和這類問題的解,倘不利用這一點,看來分析對拆數為和是無能為力的。
本書涉及方面之廣,完全可以寫成幾冊書,因而我們力求簡單明了,把最基本的東西解釋得盡量清楚,而把進一步展開留給讀者,使讀者有機會馳騁自己的才能,自己來進一步發展分析,我坦率地告訴讀者,本書含有許多全新的東西,並且從本書的很多地方可以得到重要的進一步的發現。
下冊討論的問題,一般地說都屬於高等幾何,處理方法同於上冊。一般教科書講這一部分時都從圓錐曲線開始,本書先講曲線的一般理論,再講圓錐曲線,為的是能夠應用曲線理論去研究任何一種曲線。本書利用描述曲線的方程,而且只用這種方程來研究曲線。曲線的形狀和基本性質都從方程推出,我覺得這種處理方法的優越性,在圓錐曲線上表現得最突出,即或有人對它應用分析方法,那也是顯得生硬、不自然的,我們先從二階曲線的一般方程解釋了二階曲線的一般性質。接下去根據有無伸向無窮的分支,也即是否介於某個有限區域之中,對二階曲線進行了分類。對於無窮分支,我們進一步考慮分支的條數,並考慮各條分支有無漸近線。這樣我們得到了通常的三種圓錐曲線,第一種是橢圓,它介於一個有限區域之中;第二種是雙曲線,它有四條伸向無窮的分支,趨向兩條漸近線;第三種是拋物線,有兩條伸向無窮的分支,沒有漸近線。
接下去,對三階曲線用類似的方法,闡述了其一般性質,並將它分為12類,事實上是把牛頓的72種劃分成了12類,對這一方法我們的描述是充分的,不難用它對更高階曲線進行分類。書中用它對四階曲線進行了分類。
在分階進行考察之後,我們轉向了尋求曲線的共同性質,講了曲線的切線和法線的定義方法,也講了用密切圓半徑表示的曲率。雖然這些問題現在一般都用微積分來解決,但本書只在通常代數的基礎上對它進行討論,為的是使讀者能夠比較容易地從有窮分析過渡到無窮分析。我們也對曲線的拐點、尖點、二重點和多重點進行了研究。講瞭如何從方程求出這些點,求法都不難,但我不否認用微分學的方法來求更容易。我們也講到了關於二階尖點這有爭論的問題。二階尖點,即有同朝向的兩段弧收斂於它的尖點。我們討論的深度不越出看法一致的範圍。

目次

第一章函數
第二章函數變換
第三章函數的換元變換
第四章函數的無窮級數展開
第五章多元函數
第六章指數和對數
第七章指數函數和對數函數的級數表示
第八章來自圓的超越量
第九章三項式因式
第十章利用已知因式求無窮級數的和
第十一章弧和正弦的幾種無窮表示
第十二章分解分數函數為實部分分式
第十三章遞推級數
第十四章多倍角和等分角
第十五章源於乘積的級數
第十六章拆數為和
第十七章應用遞推級數求根
第十八章連分數

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