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拓樸學超入門:從克萊茵瓶到宇宙的形狀
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拓樸學超入門:從克萊茵瓶到宇宙的形狀

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商品簡介
作者簡介
目次
書摘/試閱

商品簡介

解釋超導體、量子力學
2016年諾貝爾物理學獎,就是以拓樸概念解開物質的奧秘!
馬克杯和甜甜圈竟然是相同的形狀? 如何一筆畫完成柯尼斯堡七橋?
映射、流形與扭結,從曲面幾何猜想宇宙形狀
解開百年大謎――龐加萊猜想!
這些都可以用拓樸學一一解密!

作者簡介

名倉真紀
日本愛媛大學理學部數學系畢業,現為橫濱國立大學研究所工學研究院特聘研究教員。譯作有《変換群入門》、《数学を語ろう!1幾何篇》(Springer)、《オズの数学》(產業圖書)。
今野紀雄
日本東京大學理學部數學系畢業,現為橫濱國立大學研究所工學研究院教授。主要著作有《3小時讀通統計【漫畫版】》(世茂)、《マンガでわかる複雑ネットワーク》(Science Eye新書)、《図解雑学 複雑系》、《図解雑学 確率》、《図解雑学 確率モデル》(Natsumesha)等。

本書所討論的是數學幾何學中一個領域──拓樸學(Topology)概念。
在「拓樸學的世界」中,圖形伸縮扭曲後也會是相同的形狀、相同的圖形。三角形、四角形、五角形⋯⋯沒有區別,跟圓盤全都是相同的圖形,也都稱為圓盤。在這個世界上,我們平常不會稱為圓盤的形狀,竟變成是圓盤。球棒、球拍擊出的棒球與網球,一般會認為「球飛在空中的時候會改變形狀」,但在拓樸學的世界中,只要球沒有破掉,球在飛行過程中的形狀完全相同。
可能有些人會覺得,這樣來看,「世間萬物不就都是相同的形狀?」但其實不然。例如,將咖啡杯的把柄部分放大後,會跟甜甜圈是同樣的形狀,但跟球體卻是不一樣的。此處,數學的「球體」是指,中間為實心的球狀物體,如同實心彈力球般的東西。
以拓樸學的觀點,判斷兩圖形是否相同,通常是相當困難的事,但我們可用各種「工具」進行判斷。透過這些工具,我們能以拓樸學的觀點捕捉圖形的特徵。這些工具稱為拓樸不變量(topological invariant)。
我們生存於三維空間中,因此無法將超過三維的形狀重現為眼前的物體,就連想像也極為困難。我們能夠想像歪曲的平面──曲面,但對歪曲的空間卻摸不著頭緒。然而,即便是數學上無法實際想像的圖形,也可透過拓樸不變量,以拓樸學的觀點進行討論。
在討論可想像與不可想像的圖形時,閉曲面是饒有趣味的概念。閉曲面如同其名是指「封閉的曲面」,例如球面、游泳圈等曲面,詳細內容會在本書正文中說明。球面是球體表面的圖形,例如沙灘排球等物體表面。
以拓樸學的觀點來分類閉曲面,我們能用孔洞數進行區別。由此可知,沙灘排球的孔洞數為0個,游泳圈的孔洞數為1個,所以兩者為不同物體;單人游泳圈與雙人游泳圈的孔洞數分別為1個和2個,所以在拓樸學上是不同物體。
試著比較不同的閉曲面,會發現球和泳圈兩者的彎曲狀態不一樣。例如,就我們的三維觀點來看,會認為球面是彎曲的,平面是平坦沒有彎曲的,因此能夠理解平坦平面與彎曲球面的彎曲狀態不一樣。游泳圈各處的彎曲狀態不同,平均值也與球面的彎曲狀態不一樣。雖然在拓樸學上「即便彎曲也是相同形狀」,但球和泳圈卻是不同形狀,出現令人意外的結果。
幾何化猜想(Geometrization Conjecture)讓我們能用彎曲形態來分類三維流形(manifold),也就是空間扭曲。
幾何化猜想提出後,數學家們煩惱數百年之久的著名龐加萊猜想(Poincare Conjecture),也在幾何化猜想得到證明後,於2003年左右成功得證。這些會在第9章與第10章概略說明。
本書的目標讀者是對數學有興趣的高中生、社會人士等,即便沒有學過大學數學的人,也能理解本書內容。期望各位能因此對拓樸學的構想、思維稍微產生一點興趣。
最後,本書的付梓出版深受許多人照顧,感謝science•i編輯部石井顯一先生多次幫忙校正、製作插圖等,各位同仁處理細部的修正,同時由衷感謝給予我執筆機會的今野紀雄教授。
名倉真紀

目次


第 1 章 拓樸學是什麼?
「相同形狀」是什麼情況?
1-1 「相同形狀」是什麼?
1-2 位相的「相」是什麼?
 1-3 「同胚」是什麼圖形?
1-4 位相的「位」是什麼?
1-5 百年無人能解的龐加萊猜想終得證明!
Column 1 簡圖、路線圖是我們身邊常見的拓樸學

第 2 章 簡圖是什麼?
是否能「一筆畫」完成?
2-1 「柯尼斯堡七橋」問題
2-2 「歐拉圖形」是什麼?
2-3 歐拉圖形的條件
2-4 「漢密頓圖形」是什麼?
2-5 拓樸學的語源與發展
Column 2 「博羅梅安環」能否一筆畫完不重覆?

第 3 章 認識拓樸不變量
圖形區別的工具
3-1 「歐幾里得空間」是什麼?
3-2 「圖形」是什麼?
3-3 「拓樸不變量」是什麼?
3-4 「成分數」與「維度」是拓樸不變量
3-5 計算歐拉示性數的「三角形分割」是什麼?
3-6 「單元分割」求歐拉示性數
3-7 「正多面體」的歐拉示性數
3-8 「T1、T2」的歐拉示性數
Column 3 「三菱形」能否一筆畫完不重覆?

第 4 章 映射是什麼?
理解拓樸學,不可不知「連續映射」
4-1 「映射」是集合到集合的對應
4-2 「連續映射」是什麼?
4-3 「同胚映射」是什麼?
4-4 舉例說明「同胚映射」
4-5 合痕形變與同倫形變
4-6 稱為「德恩扭轉」的同胚映射
Column 4 「定點定理」是什麼?

第 5 章 流形是什麼?
二維流形是指曲面
5-1 「流形」是什麼圖形?
5-2 在流形上畫「座標」
5-3 「有邊界的流形」是有盡頭的圖形
5-4 「開流形」與「閉流形」的區別
5-5 「有邊界流形」的例子
5-6 閉曲面的「展開圖」是什麼?
5-7 眼睛看不見,但可用展開圖表示的「射影平面」
5-8 曲面內側跑到外側的「克萊因瓶」
5-9 流形的「方向」
5-10 以「莫比烏斯帶」數量分類的「不可定向閉曲面」
5-11 「不可定向閉曲面」的「歐拉示性數」
Column 5 DNA、基因重組酶具有拓樸性質嗎?

第 6 章 嵌入圖形與浸入圖形
探討空間中的圖形
6-1 「正則射影圖」是什麼?
6-2 交叉交換轉為平凡扭結
6-3 四維空間中的扭結
6-4 「嵌入」是什麼?
6-5 扭結為邊界的「塞弗特曲面」
6-6 「扭結的虧格」是「扭結的不變量」
6-7 「浸入」是什麼?
6-8 「以扭結為邊界的曲面」浸入圖形
6-9 「射影平面」浸入圖形
6-10 四維空間中的「克萊因瓶」會是什麼模樣?
Column 6 三維空間的射影平面是什麼形狀?

第 7 章 認識基本群
探討「封閉繩子=環路」
7-1 從繩子能否收回,認識曲面的形狀
7-2 能夠縮成一點就是「單連通」
7-3 「同倫環路」是什麼?①
7-4 「同倫環路」是什麼?②
7-5 「基本群」是什麼?
7-6 「生成元」是什麼?
7-7 「圓周」的基本群
7-8 「環面」的基本群
Column 7 架橋遊戲
第 8 章 扭結的不變量
不變動也知道是否等價
8-1 判斷兩扭結是否等價的「扭結不變量」
8-2 三種變形「萊德邁斯特移動」
8-3 「三色性」是扭結不變量
8-4 「聯立方程式」判斷是否具有三色性
8-5 「消除扭結的最小操作數」是扭結不變量
Column 8 什麼是「複雜網路」?

第 9 章 曲面幾何
三種曲率
9-1 彎曲狀態相同的「齊性流形」
9-2 「曲率」表示「曲線」的彎曲狀態
9-3 「高斯曲率」表示「曲面」彎曲狀態
9-4 圓柱、圓錐的高斯曲率為0?
9-5 平坦環面的曲率為0
9-6 「球面」與「射影平面」具有橢圓幾何結構
9-7 「雙人游泳圈」具有雙曲幾何結構 .
9-8 「球面三角形」內角和大於180°
9-9 高斯-博內公式①──橢圓幾何結構
9-10 高斯-博內公式②──歐幾里得幾何結構
9-11 高斯-博內公式③──雙曲幾何結構
9-12 閉曲面曲率與歐拉示性數的關係
Column 9 簡圖的「複雜度」是什麼?

第 1 0 章 宇宙是什麼形狀?
可能的形狀有哪些?
10-1 宇宙的形狀是「三維流形」嗎?
10-2 一維球面與二維球面
10-3 三維球面──橢圓幾何結構
10-4 三環面──歐幾里得幾何結構
10-5 K 2 ×S 1 ──歐幾里得幾何結構
10-6 透鏡空間──橢圓幾何結構
10-7 龐加萊十二面體空間──橢圓幾何結構
10-8 塞弗特-韋伯空間──雙曲幾何結構
10-9 積與束
10-10 幾何化猜想

英日文參考文獻
索引

書摘/試閱

本書所討論的是數學幾何學中一個領域──拓樸學(Topology)概念。
在「拓樸學的世界」中,圖形伸縮扭曲後也會是相同的形狀、相同的圖形。三角形、四角形、五角形⋯⋯沒有區別,跟圓盤全都是相同的圖形,也都稱為圓盤。在這個世界上,我們平常不會稱為圓盤的形狀,竟變成是圓盤。球棒、球拍擊出的棒球與網球,一般會認為「球飛在空中的時候會改變形狀」,但在拓樸學的世界中,只要球沒有破掉,球在飛行過程中的形狀完全相同。
可能有些人會覺得,這樣來看,「世間萬物不就都是相同的形狀?」但其實不然。例如,將咖啡杯的把柄部分放大後,會跟甜甜圈是同樣的形狀,但跟球體卻是不一樣的。此處,數學的「球體」是指,中間為實心的球狀物體,如同實心彈力球般的東西。
以拓樸學的觀點,判斷兩圖形是否相同,通常是相當困難的事,但我們可用各種「工具」進行判斷。透過這些工具,我們能以拓樸學的觀點捕捉圖形的特徵。這些工具稱為拓樸不變量(topological invariant)。
我們生存於三維空間中,因此無法將超過三維的形狀重現為眼前的物體,就連想像也極為困難。我們能夠想像歪曲的平面──曲面,但對歪曲的空間卻摸不著頭緒。然而,即便是數學上無法實際想像的圖形,也可透過拓樸不變量,以拓樸學的觀點進行討論。
在討論可想像與不可想像的圖形時,閉曲面是饒有趣味的概念。閉曲面如同其名是指「封閉的曲面」,例如球面、游泳圈等曲面,詳細內容會在本書正文中說明。球面是球體表面的圖形,例如沙灘排球等物體表面。
以拓樸學的觀點來分類閉曲面,我們能用孔洞數進行區別。由此可知,沙灘排球的孔洞數為0個,游泳圈的孔洞數為1個,所以兩者為不同物體;單人游泳圈與雙人游泳圈的孔洞數分別為1個和2個,所以在拓樸學上是不同物體。
試著比較不同的閉曲面,會發現球和泳圈兩者的彎曲狀態不一樣。例如,就我們的三維觀點來看,會認為球面是彎曲的,平面是平坦沒有彎曲的,因此能夠理解平坦平面與彎曲球面的彎曲狀態不一樣。游泳圈各處的彎曲狀態不同,平均值也與球面的彎曲狀態不一樣。雖然在拓樸學上「即便彎曲也是相同形狀」,但球和泳圈卻是不同形狀,出現令人意外的結果。
幾何化猜想(Geometrization Conjecture)讓我們能用彎曲形態來分類三維流形(manifold),也就是空間扭曲。
幾何化猜想提出後,數學家們煩惱數百年之久的著名龐加萊猜想(Poincare Conjecture),也在幾何化猜想得到證明後,於2003年左右成功得證。這些會在第9章與第10章概略說明。
本書的目標讀者是對數學有興趣的高中生、社會人士等,即便沒有學過大學數學的人,也能理解本書內容。期望各位能因此對拓樸學的構想、思維稍微產生一點興趣。
最後,本書的付梓出版深受許多人照顧,感謝science•i編輯部石井顯一先生多次幫忙校正、製作插圖等,各位同仁處理細部的修正,同時由衷感謝給予我執筆機會的今野紀雄教授。
名倉真紀

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