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複變函數論(簡體書)
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商品簡介
目次

商品簡介

該書根據高等師範院校數學專業的教學要求和作者多年的教學實踐編寫而成,目的是為師範院校數學專業和相關專業的在校本科生學習這門課程提供必要的基礎知識,同時也充分考慮了學生繼續深造和研究的需要。書中內容安排由淺人深,全面、系統地介紹了解析函數的基本理論和方法。該書共8章,包括復數與復變函數、解析函數、解析函數的積分表示、解析函數的泰勒展開及其應用、解析函數的洛朗展開及其應用、留數理論及其應用、共形映射、解析延拓簡介。書中提供了豐富的習題,便於教師教學與學生自學。該書內容豐富,體系嚴謹,講解通俗易懂,具有很強的可讀性。
《復變函數論/高等學校數學基礎課教材》可作為綜合性大學和高等師範院校數學專業及相關專業的教材,也可作為相關數學教師、科技工作者和工程技術人員的參考書。

數域從實數域擴充到復數域後,產生了復變函數論,並且深入到代數學、微分方程、概率論、拓撲學等數學分支,復變函數理論的基礎是由三位杰出的數學家Cauchy,Weierstrass和Riemann奠定的,到現在已有一百多年的歷史,這是一門相當成熟的學科。它在數學的其他分支,如常微分方程、積分方程、概率論、解析數論、算子理論及多復變函數論等方面都有重要的應用。20世紀以來,復變函數理論被廣泛地應用到流體力學、空氣動力學、電學及理論物理學等方面,發展到今天已成為一個內容非常豐富、應用極為廣泛的數學分支。
復變函數論作為高等院校數學專業的一門重要基礎課,通常包含Cauchy積分理論、Weierstrass級數理論和Riemann幾何理論三部分內容,本書作為這樣一門課程的教材,就是以這三大塊內容為中心編寫的,但在材料的取舍上與傳統的教材略有不同。本書主要講述了以下內容:
1.復數與復變函數。這一部分是預備知識。由於近年來高中教材改革,復數部分的難度和所占比例有所減少,實際教學過程中發現學生對這部分基礎知識掌握得不夠全面、扎實,影響到了這門課程的學習,因此我們在第1章中對復數做了比較詳細的介紹。
2.解析函數。復變函數論的主要研究物件就是解析函數,因此復變函數論也稱為解析函數論。我們在介紹復變函數的導數與微分的基礎上,重點介紹了解析函數的基本理論、判定函數解析的方法、初等解析函數和初等多值函數。其中2.3節“初等多值函數”是復變函數理論的難點之一,我們對這一部分內容做了詳細的介紹。
3.復變函數的積分,復積分是研究解析函數的一個重要工具,其理論是復變函數理論的基礎和精華。書中介紹了非常重要的Cauchy積分定理和Cauchy積分公式,以及它們的性質和應用。
4.解析函數的級數理論,級數也是研究解析函數的一個重要工具,具有理論意義和實際應用,例如可用來計算函數的近似值、研究解析函數的零點性質等。書中主要介紹了解析函數的冪級數和洛朗級數,特別介紹了孤立奇點的相關知識,為留數理論做了鋪墊。
5.留數理論及其應用,留數理論是Cauchy積分理論的延續。留數在復變函數論本身及其實際應用中都是很重要的,是計算周線積分和實積分的強有力的數學工具。應用留數理論可以研究輻角原理與Rouche(儒歇)定理,考察解析函數的零點個數以及解析函數的零點分布狀況。
6.共形映射。前面的內容是用分析的方法(即微分、積分、級數等)來研究解析函數的,這一部分內容將從幾何的角度對解析函數的性質和應用進行討論,主要是研究解析函數的共形映射。
作者曾在曲阜師範大學講授這門課程近二十年,積累了一定的教學經驗,本書便是在講稿的基礎上寫成的。本書在體現作者對復變函數相關內容的體會與研究的同時,也注意借鑒國內外出版的同類教材的優點,主要表現在以下幾個方面:在引入新知識時,盡量利用數學分析中的知識和方法,深刻地體現出本門課程是數學分析的後續課程的特點,同時又強調本門課程方法的獨特性,特別強調了數學分析和復變函數論的異同點,為後續課程的學習與研究打下基礎,本教材內容豐富、詳細,可讀性強,但教師不必都講,可給學生留一些自學的餘地。例如,為了完整起見,在第1章中比較詳細地介紹了復數與平面點集的知識,對於大部分學生來說,這部分內容在數學分析中的多元函數的微積分中已經學過了,教師可不必再講,留給學生備查就可以了。又如,用留數理論計算定積分時,介紹了不少方法,教師只需選擇一部分講深講透,其他可留作學生自學的材料,例題也不必全講。總之,教師應該根據實際情況做出取舍。書中每章之後都附有不少習題,這是本書的重要組成部分。選擇習題時,注重了典型性,同時注意與近代數學知識的銜接,這樣讀者能夠及時理解和掌握所學的內容,同時也為其學習和掌握近代數學知識做了一定的準備。一些練習性的習題是為加深對教學內容的理解而設的,學生都應該完成;一部分有一定難度的習題是為鍛煉學生的綜合分析能力而設的,有些題目初學時做不出來也不必介意,待學完本課程後回過頭來還可以重新考慮。
本書帶“*”號的部分可略講或不講,
本書在編寫過程中得到了曲阜師範大學數學科學學院許多同事的大力支持,並得到了曲阜師範大學教材建設基金和國家特色專業建設點專項經費的資助。兄弟院校的一些優秀教材對本書的編寫有很大啟發和很多幫助,在此一並致謝。

目次

前言
第1章 複數與複變函數
1.1 複數
1.2 複平面上的點集
1.3 複變函數
1.4 複球面與無窮遠點
第2章 解析函數
2.1 解析函數的概念與Cauchy-Rjemann(柯西-黎曼)方程
2.2 初等解析函數
2.3 初等多值函數
第3章 解析函數的積分表示
3.1 複積分的基本概念和簡單性質
3.2 Cauchy(柯西)積分定理
3.3 Cauchy積分公式及其推論
3.4 解析函數與調和函數的關係
第4章 解析函數的Taylor(泰勒)展開及其應用
4.1 複級數的基本性質
4.2 一致收斂的復函數項級數
4.3 冪級數
4.4 解析函數的Taylor展開式
4.5 解析函數零點的孤立性和唯一性定理
第5章 解析函數的Laurent(洛朗)展開及其應用
5.1 圓環內的解析函數展成Laurent級數
5.2 解析函數的孤立奇點及其性質
5.3 Schwarz(施瓦茨)引理
5.4 解析函數在無窮遠點的性態
5.5 整函數與亞純函數的概念
第6章 留數理論及其應用
6.1 留數及其性質
6.2 用留數定理計算實積分
6.3 輻角原理和Rouche(儒歇)定理
第7章 共形映射
7.1 解析變換的特性
7.2 分式線性變換
*7.3 Riemann定理及邊界對應定理
*第8章 解析延拓簡介
8.1 解析延拓的概念與方法
8.2 透弧解析延拓與對稱原理
8.3 完全解析函數及單值性定理
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