想像力實驗室：鍛鍊發想力的33個思考實驗

第2章 數字與直覺相反的思考實驗
 
【思考實驗No.11】馬鈴薯悖論
這裡放了一百公斤的馬鈴薯。假設這種馬鈴薯含有99％的水分，也就是其中只有一公斤是固體部分，而且兩者無論過了多久也不會相互融合在一起。
 將一百公斤的馬鈴薯放置一段時間後，馬鈴薯的水分減少了1％，變成了98％。請問現在馬鈴薯的總重量變成幾公斤了呢？
 
▲思考提示▲
為了避免混淆想像，這邊要向大家補充一件事。其實真正的馬鈴薯並沒有高達99％的水分。畢竟馬鈴薯吃起來本來就沒那麼水潤嘛。馬鈴薯實際的水分大概是79％左右。就連多汁的番茄，水分頂多也是94％左右。
在這個悖論當中，大家可能會忍不住以為「馬鈴薯有99％的水分就是矛盾」，但是這一點對於馬鈴薯來說並不是那麼重要，我們就把它們想成是由於品種改良而具有99％水分的馬鈴薯來繼續思考吧。
 
一百公斤中有99％是水分，就表示水分的重量是九十九公斤吧。接著再少掉1％，水分減少至98％，代表水分的重量變成了九十八公斤。因此，再加上固體部分的一公斤之後，馬鈴薯總共是九十九公斤。
看起來雖然可以這樣來計算，但是這項思考實驗叫做「馬鈴薯悖論」，既然已經冠上了「悖論」的名字，想必一定有什麼地方與我們直覺不同。找出這個計算方式哪裡有錯，就是這次要思考的問題了。
既然如此，這些馬鈴薯一定是變得更輕了吧。九十五公斤？九十公斤……？
大家就一邊整理思緒、一邊繼續看下去吧。為了方便思考，我現在要來換個設定。
 
●馬鈴薯社的員工
假設有一間名叫馬鈴薯社的公司有一百名員工，其中99％是女性，1％是男性，也就是全體員工中有九十九人是女性，一人是男性。到了隔年，女性比例減少了1％，所以就變成有98％的員工是女性。請問這樣是否能單純地想成少了一名女性，員工人數變成九十八名女性和一名男性呢？
在思考整間公司的男女比例時，要是女性比例減少，男性比例一定會隨之增加，因此男性比例就會提升到2％。
對照一下馬鈴薯悖論的設定，因為是「99％的水分蒸發掉了1％」，1％的固體部分並沒有任何變化。所以這就像是馬鈴薯社的男性員工人數，從頭到尾都還是一人的意思吧。既然如此，在女性員工占了98％，男性員工占了2％的馬鈴薯社，正確的員工人數就會變成四十九名女性及一名男性。公司裡竟然一口氣少了五十名員工，看來馬鈴薯社應該是發生了什麼大事吧。
 
我們就依照同樣的方式來計算馬鈴薯的水分吧，請大家參考上方的圖表。所以這個問題的答案，就是四十九公斤的水分加一公斤的固體部分，總共為五十公斤。
大家可能會直覺地想「僅僅只是少了1％的水分，整體重量怎麼可能會一口氣變輕到五十公斤」，但這裡就是被稱為悖論的原因所在啊。
 
 【思考實驗No.13】紐康難題
阿翼來到一座位於東京都內、充滿近未來風格的建築物，他是為了參加一場在這裡舉辦的實驗而來。這場實驗好像是要測試預知未來的能力，對這股神祕力量很有興趣的阿翼難掩興奮之情。
「敝姓松田，是負責這場實驗的人員，旁邊這位是我的助手村上。然後放在這裡的機器，就是幾乎可以準確預知未來的裝置，它的名字叫做『RIGHT』。」
「這就是預知未來的裝置啊……」
阿翼興致勃勃地緊盯著裝置。
「那麼接下來，我們要請你進入這個房間。房間裡有A和B兩個箱子，要請你拿走A箱，或者是同時拿走A箱及B箱。我們會把箱子裡的東西送給你。請你先在心裡決定好是要只拿A箱、還是兩個箱子都拿走。接著再請你進入房間，實際把箱子帶走。現在我就來說明關於箱子內容物的規則。」
【A箱的規則】
．若RIGHT 預測「阿翼拿走兩個箱子」，助手村上就會淨空A箱。
．若RIGHT 預測「阿翼拿走一個箱子」，助手村上就會在A箱放一億日圓。
【B箱的規則】
．B箱裡隨時都放著一百萬日圓。
「助手村上會依照這些規則來準備箱子裡的東西。等箱子準備完畢後會再叫你，到時候就請你進入房間裡面囉。」
「換句話說， 要是RIGHT 認為我『是個貪心鬼』，A箱的一億日圓就會消失吧。可是，RIGHT 的預測也不是百分之百準確啊。畢竟只是『幾乎準確』而已……，好，我決定好了。」
「好了， 看來你已經決定好是要只拿A箱，還是兩個箱子都拿走了吧。現在箱子已經準備好了。來，請你進到房間裡吧。」
請問阿翼只要拿A箱就好嗎？還是A箱和B箱都拿走比較好呢？
 
▲思考提示▲
RIGHT 幾乎能正確預測阿翼只會拿走A箱，或是兩個箱子都拿走。所以由此可知，如果阿翼先想好只拿走A箱之後再走進房間，A箱裡面就會放著一億日圓，他「幾乎可以」如願地獲得一億日圓。
我們需要在這裡思考什麼嗎？我們要思考就是為什麼這個問題會被稱為悖論。既然「只拿走A箱」是無庸置疑的正確解答，這就不會被稱為悖論了吧。可是若同時拿走A箱和B箱，A箱有很高的機率會是空的，到頭來只能得到一百萬日圓，實在不能算是一個明智的選擇。
 
●難道沒有得到一億零一百萬日圓的方法嗎？
為了改變一下思考，我們特意以得到最高總額的「一億零一百萬日圓」來作為目標吧，要達到這個目標必須有兩個條件。
(1)A箱裡放有一億日圓。
(2)同時拿走Ａ箱和Ｂ箱
乍看之下，好像只有在RIGHT 預測錯誤的時候才能碰巧同時拿走兩個箱子。話雖如此，我們就換個想法來看看吧。這邊先來整理一下剛才阿翼的行動。

◆阿翼在心裡決定好只拿A箱→阿翼走進房間→阿翼拿走A箱→阿翼得到了１億日圓
請大家注意一下這個流程，我們在這邊加入「助手村上在A箱裡放入一億日圓」的步驟來看看。
◆阿翼在心裡決定好只拿A箱→助手村上依照RIGHT的預測，在A箱裡放入１億日圓→阿翼走進房間→阿翼拿走A箱→阿翼得到了１億日圓
 
在阿翼進入房間的時候，A箱裡已經放好了一億日圓。換言之，因為箱子裡的內容物已經準備好了，無論此時的阿翼只拿走A箱或是同時拿走A箱和B箱，箱子裡面都不會有任何變化。如果阿翼先在心裡想著「只拿走A箱」，走進房間後卻同時拿走A箱和B箱的話，他應該就能得到一億零一百萬日圓才對。

◆阿翼在心裡決定好只拿A箱→助手村上依照RIGHT的預測，在A箱裡放入１億日圓→阿翼走進房間→阿翼臨時改變想法，把兩個箱子都拿走了→阿翼得到了1億100萬日圓
 
不過，這個想法也存在著一個問題，假設阿翼先想好「只拿走A箱」再走進房間，並在進入房間的同時改變心意，改成「還是兩個都拿走好了」，請問RIGHT 有沒有可能事先看穿阿翼會改變心意的行動呢？
假設RIGHT 預測「阿翼中途會改變心意，同時拿走A箱和B箱」，無論阿翼走進房間時再怎麼用力想著「只拿走A箱」，A箱裡面一樣會是空的吧。在這個情況下，阿翼就只能得到一百萬日圓，而不是一億零一百萬日圓。

◆阿翼在心裡決定好只拿A箱→RIGHT 看穿阿翼會同時拿走兩個箱子，助手村上讓A箱成為空箱→阿翼走進房間→阿翼臨時改變想法，把兩個箱子都拿走了→阿翼得到了100 萬日圓
 
阿翼在心裡想好「只拿走A箱」後走進房間，卻又臨時決定「還是兩個都拿走好了」，並同時拿走兩個箱子的話，請問他最後會得到一億零一百萬日圓，還是一百萬日圓呢？
其實針對這個紐康難題，眾人的意見恰好二分為「在心裡想好只拿A箱，並如實照做才是明智選擇」，以及「先在心裡想著只拿A箱，進入房間後再同時拿走兩個箱子才是上策」。由於這兩個意見的比例正好不相上下，就表示這項思考實驗是個多麼困難的問題了。如何解讀這名為預知能力的神祕力量，而解讀方式會使答案隨之改變的這一部分，就是讓這項思考實驗成為悖論的原因啊。
 
若換成是你，請問你會選擇只拿走A箱嗎？還是兩個箱子都拿走呢？

【思考實驗No.14】生日悖論
在某間高一教室裡有三十名學生，教數學的牧野老師在教室裡開始了這樣的課程。
「目前教室裡有三十名同學，最近才剛開學，想必大家一定還不知道彼此的生日吧。如果三十人中至少有兩人同一天生日的話，你會有什麼感覺呢？請大家想想看自己的想法最接近A~D中的哪一個。」
A：如果三十人中有兩人同一天生日就太神了，這個機率大概是3％吧。
B：這裡明明也才三十人，不太可能有人會互撞生日。同一天生日的機率是10％左右吧。
C：就算三十人中有人彼此同一天生日也不會讓我驚訝，這個機率大概有30％吧。
D：既然這裡有三十人在，感覺上好像會有兩人同一天生日，這個機率應該超過50％了吧。
請大家把自己當成班上的一員來思考看看。
 
▲思考提示▲
●為什麼這會被稱為悖論呢？
關於這個被稱為「生日悖論」的問題，其實只要透過計算就能找到正確答案，在這個計算上，並沒有什麼特別的矛盾之處。
這個問題之所以會被稱為「悖論」，是因為直覺與計算結果之間有明顯落差。在有三十名學生的班級裡，至少有兩人同一天生日的機率會是多少呢？我想大多數的人在直覺上都會認為是選項A的3％，或者是選項B的10％左右吧。

●實際來計算看看
現在就來計算一下在三十人之中至少有兩人同一天生日的機率。關於這個機率，我們可以先算出三十人的生日完全沒有互撞的機率，再用100％減掉這個數字即可得到答案。(至少兩人同一天生日的機率)＝100％－(三十人完全沒有互撞生日的機率)

只要實際算算看，你就會明白為什麼不直接計算「至少有兩人同一天生日的機率」，你應該會發現自己根本不曉得該如何來計算吧。因此，這次的算法就是用100％減掉「非此情況的機率」，是比較輕鬆的計算方式。
我們從第一人和第二人開始來算起。假設座號1號的人是一月一日生。座號2號的人與1號同一天生日的機率，就會是1/366了吧(把二月二十九日也算在裡面)。所以座號2號與1號不是同一天生日的機率，就是除了這個結果以外的部分，也就是365/366。
接著想一想座號3號的人和1號及2號都不是同一天生日的機率。只要不與1號以及2號的生日重疊，3號不管在幾月幾日生日都沒差，因此機率就會是366天之364天。
再接著下來，座號4號的生日也和1號、2號，還有3號的人不一樣，所以繼續往下算就是366天之363天。之後就一直計算到座號30號的人，再把所有機率相乘之後，就能算出「30人完全沒有互撞生日的機率」。計算結果是0.27，換算成百分比就是27％。由此可知「班上三十人彼此不互撞生日的機率」僅僅只有27％而已。
依照這個結果來看，可得知至少有兩人同一天生日的機率大約是73％，也就是七成機率。在選項A～D之中，D的內容最為符合，而且別說超過五成了，這還是超過七成機率的計算結果。
即使大家會直覺地認為「才三十人而已，有人互撞生日的機率一定很低」，可是實際上這理當是會讓我們覺得「既然這裡有三十人，應該會有誰剛好和別人同一天生日」的機率才對。
你有沒有覺得這個結果的確和直覺有所出入呢？要是有的話，就表示你已經實際體會到為什麼生日悖論會被稱為悖論了吧。
 
●原本的直覺可以透過某個條件來扶正
面對這次的問題，很多人都認為只有10％的機率，或是覺得這個機率簡直就像奇蹟一樣吧。其實只要透過某個條件，這就能稱為是正確的直覺了，那就是像下述這樣的案例。
「好了，目前教室裡有三十名同學。最近才剛開學，想必大家一定還不知道彼此的生日吧。那麼假設現在有個轉學生來到班上，這個轉學生剛好和三十人中的某人同一天生日的話，你會有什麼感覺呢？」
在這個情況下， 我們可以粗略地在腦中計算出接近答案的數字。這是要算出一個人與三十人中的某人是同一天生日的機率，所以答案應該和30/366差不了多少，大概是8．2％，算是落在選項A的3％和選項B的10％左右之間對吧，這的確是符合直覺的計算結果。
實際上在三十名同學中也可能有人彼此同一天生日，轉學生不會撞到的生日日期會更少，因此計算結果的數字會變得比30/366還要小(7．6％左右)。這個答案看起來愈來愈接近選項的A和B之間了。如果當時你很猶豫該選A還是B的話，就表示在這個案例上，你的直覺具有十分敏銳的數字感。
說到我們為什麼會忍不住直覺地認為「這是宛如奇蹟的機率」，是因為人會自然地以特定人物，甚至是以自己作為基準來進行思考。這次的問題雖然是「班上至少有兩人同一天生日的可能性」，大家卻在無意之中想成是「至少有兩人和自己同一天生日的可能性」。
據說人類接觸數字的歷史還不算長，對數字的直覺不是很敏銳。在提到價格或分量的時候，就算開口詢問：「這大概是多少呢？」也經常會得到「不會很貴」、「分量應該很足夠」等等讓人連範圍也不知道的答案。
在另一方面，由於數字具有強烈的說服力，使用數字的說明都會比較淺顯易懂。換句話說，人雖然不太擅長接觸數字，數字本身的力量還是有助於我們理解與聯想，這也可以說是人容易被數字騙的意思吧。