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商品簡介
序
目次
商品簡介
《幾何學概論（第2版）》是順應高等師範院校數學教育專業幾何課程改革和中學數學教育改革的要求，以及高校師範認證的背景編寫而成。全書分為四個部分，其中第一部分的作用使學生了解幾何學發展簡史和非歐幾何的幾種經典模型；第二部分主要講解歐氏幾何與二次曲線的度量性質及分類，古典微分幾何知識的介紹；第三部分主要包括仿射坐標系、仿射平面與仿射變換，從仿射平面到射影平面，射影坐標系、射影平面與射影變換，二次曲線的性質與分類，使得學生理解和掌握仿射幾何和射影幾何的基本內容；第四部分主要介紹“大學幾何” 對“中學幾何”的指導意義以及“大學幾何”方法在“中學幾何”中的應用，讓讀者通過本部份的學習為中學幾何教學更好的服務。
《幾何學概論（第2版）》既可作為高等師範院校本科數學教育、數學與應用數學等專業的幾何教材，可供在職中學數學教師作為參考讀本，也可作為數學愛好者，特別是幾何愛好者讀本。
《幾何學概論（第2版）》既可作為高等師範院校本科數學教育、數學與應用數學等專業的幾何教材，可供在職中學數學教師作為參考讀本，也可作為數學愛好者，特別是幾何愛好者讀本。
序
本書是在2011年出版的《幾何學概論》的基礎上，結合教材使用實際與2017年教育部頒發《普通高等學校師範類專業認證實施辦法》後開啟的普通高等學校師範類專業的認證工作修訂而成的。修訂的主導思想是保持第1版的內容，增加了“古典微分幾何初步”，放在本書的第4章，將第1版的第4章至第9章向後順次變成第2版的第5章至第10章。同時為了教師和讀者的方便，增加了“習題答案與提示”，其餘的地方，根據使用教師的意見和建議，這在個別地方作了極少的修改。
本書的修訂工作是經幾位編著者共同策劃、討論和修改完成的，增加的“古典微分幾何初步”由羅淼編寫。本書作為貴州省本科高校一流大學專業建設點項目——數學與應用數學——教材建設的成果之一、也是國家級一流本科專業建設點項目——數學與應用數學——教材建設的成果之一。
本書在修訂過程中，貴州師範大學王澤平副教授（博士）、張石梅副教授（博士）提出了很寶貴的意見和建議，在此表示衷心的感謝。本次修訂工作得到了貴州師範大學數學科學學院領導的關心、支持和幫助，同時與清華大學出版社的領導和有關同志的支持也是分不開的，在此表示深切的謝意。還要特別感謝清華大學出版社劉穎編輯的辛勤付出，使得本書能順利出版。
本書的修訂工作是經幾位編著者共同策劃、討論和修改完成的，增加的“古典微分幾何初步”由羅淼編寫。本書作為貴州省本科高校一流大學專業建設點項目——數學與應用數學——教材建設的成果之一、也是國家級一流本科專業建設點項目——數學與應用數學——教材建設的成果之一。
本書在修訂過程中，貴州師範大學王澤平副教授（博士）、張石梅副教授（博士）提出了很寶貴的意見和建議，在此表示衷心的感謝。本次修訂工作得到了貴州師範大學數學科學學院領導的關心、支持和幫助，同時與清華大學出版社的領導和有關同志的支持也是分不開的，在此表示深切的謝意。還要特別感謝清華大學出版社劉穎編輯的辛勤付出，使得本書能順利出版。
目次
第一部分 幾何學發展概述
第1章 幾何學發展簡史
1 歐幾裡得與《原本》
1．1 《原本》產生的歷史背景
1．2 《原本》的結構與內容
1．3 《原本》的優缺點
1．4 《原本》對我國數學的影響
2 解析幾何的誕生
2．1 笛卡兒和費馬在創立解析幾何中的貢獻
2．2 解析幾何的發展
2．3 解析幾何的重要性
3 從透視學到射影幾何
3．1 射影幾何的由來
3．2 射影幾何的發展
3．3 平面射影幾何公理體系
4 非歐幾何的產生與非歐幾何公理體系
4．1 非歐幾何的產生背景
4．2 非歐幾何的形成
4．3 非歐幾何的發展與確認
5 幾何學的統一與公理化思想
5．1 幾何學的統一
5．2 幾種幾何學的比較
5．3 公理化思想方法
6 幾何學的近現代發展簡介
6．1 微分幾何
6．2 拓撲學
練習1
第2章 非歐幾何的幾種典型模型
1 銳角假設與羅氏幾何
1．1 銳角假設與雙曲幾何
1．2 雙曲幾何的代表——羅氏幾何簡介
1．3 真理性討論
2 鈍角假設與球面幾何
2．1 鈍角假設與橢圓幾何
2．2 橢圓幾何的代表——球面幾何簡介
3 非歐幾何的實現模型
3．1 克萊因模型
3．2 龐加萊模型
練習2
第二部分 歐氏幾何與微分幾何
第3章 歐氏幾何、二次曲線的度量性質與分類
1 直角坐標系、歐氏平面、變換群與等距變換
1．1 直角坐標系與歐氏平面
1．2 變換群
1．3 等距變換
2 二次曲線的度量性質
2．1 歐氏平面上二次曲線的定義及基本概念
2．2 二次曲線與直線的相關位置
2．3 二次曲線的漸近方向、中心及漸近線
2．4 二次曲線的切線
2．5 二次曲線的直徑
2．6 二次曲線的主直徑與主方向
3 利用平面直角坐標變換化簡二次曲線的方程與分類
3．1 平面直角坐標變換
3．2 利用平面直角坐標變換化簡二次曲線的方程與分類
練習3
第4章 古典微分幾何初步
1 向量函數
1．1 向量函數的定義及其相關概念
1．2 兩個特殊向量函數與旋轉速度
2 曲線論
2．1 曲線的相關概念
2．2 空間曲線的密切平面與基本三棱形
2．3 空間曲線的曲率、繞率和弗雷內公式
2．4 空間曲線論基本定理
3 曲面論
3．1 曲面的相關概念
3．2 曲面的三種基本形式
3．3 曲面的一些曲率與曲面上的一些曲線
3．4 曲面三個基本形式之間的關係
3．5 曲面論基本定理問題的引出
練習4
第三部分 仿射幾何與射影幾何
第5章 仿射坐標系、仿射平面與仿射變換
1 仿射坐標系與仿射平面
1．1 平行射影
1．2 仿射坐標系與仿射平面
2 仿射變換的相關問題
2．1 仿射變換的代數表達式
2．2 關於仿射變換的確定及其重要定理
2．3 仿射平面上直線的幾個常用結論
2．4 幾種重要的仿射變換
2．5 仿射性質
練習5
第6章 從仿射平面到射影平面
1 擴大的仿射平面
1．1 中心射影和無窮遠元素
1．2 射影直線和射影平面以及它們的性質
1．3 射影平面的拓撲模型
1．4 圖形的射影性質
2 齊次仿射坐標
2．1 點的齊次仿射坐標
2．2 直線的齊次仿射坐標方程
2．3 齊次仿射線坐標
3 德薩格定理與平面對偶原理
3．1 德薩格定理
3．2 平面對偶原理
4 交比與調和共軛
4．1 點列中四點的交比
4．2 線束中4條直線的交比
練習6
第7章 射影坐標系與射影變換
1 射影坐標系
1．1 直在線的射影坐標系
1．2 平面上的射影坐標系
2 射影變換
2．1 透視對應及其相關概念
2．2 射影變換
3 射影對應（變換）的代數表達式和帕普斯定理
3．1 一維射影對應（變換）的代數表達式
3．2 二維射影對應（變換）的代數表達式
3．3 帕普斯定理
4 變換群與幾何學的關係
4．1 平面上的幾個重要變換群
4．2 歐氏幾何與歐氏群
4．3 克萊因變換群觀點簡介
4．4 射影幾何、仿射幾何和歐氏幾何間的比較
練習7
第8章 二次曲線的射影性質、仿射性質與相應分類
1 二次曲線的射影性質
1．1 二階曲線與二級曲線的定義
1．2 二次曲線的射影定義
1．3 二階曲線與二級曲線的關係
1．4 帕斯卡和布利安桑定理
1．5 二階曲線的極點與極線
1．6 配極原則與配極對應
2 二次曲線的射影分類
2．1 二階曲線的奇異點
2．2 二次曲線的射影分類
3 二次曲線的仿射性質
3．1 二次曲線與無窮遠直線的相關位置
3．2 二次曲線的中心
3．3 二次曲線的直徑與共軛直徑
3．4 二次曲線的漸近線
4 二次曲線的仿射分類
練習8
第四部分 “大學幾何”與“中學幾何”
第9章 “大學幾何”對“中學幾何”的指導意義
1 中學幾何的研究內容及方法
1．1 幾何學的研究物件及分類
1．2 中學幾何的主要研究內容
1．3 中學幾何的基本研究方法
2 “大學幾何”與“中學幾何”的聯系
3 “大學幾何”對“中學幾何”教學的指導意義
3．1 高等師範院校數學教學改革中幾何課程改革的重要性與必要性
3．2 用現代數學的觀點看待“中學幾何”
練習9
第10章 “大學幾何”方法在“中學幾何”中的應用
1 “向量法”與“坐標法”在中學幾何中的應用
1．1 用向量法證明共點（或共線）問題
1．2 用向量法證明垂直（或平行）問題
1．3 有關夾角或距離問題的例子
1．4 有關面積、體積問題的例子
2 仿射及射影幾何方法在中學幾何中的應用
2．1 仿射方法在中學幾何中的應用
2．2 射影方法在中學幾何中的應用
練習10
習題參考答案與提示
參考文獻
第1章 幾何學發展簡史
1 歐幾裡得與《原本》
1．1 《原本》產生的歷史背景
1．2 《原本》的結構與內容
1．3 《原本》的優缺點
1．4 《原本》對我國數學的影響
2 解析幾何的誕生
2．1 笛卡兒和費馬在創立解析幾何中的貢獻
2．2 解析幾何的發展
2．3 解析幾何的重要性
3 從透視學到射影幾何
3．1 射影幾何的由來
3．2 射影幾何的發展
3．3 平面射影幾何公理體系
4 非歐幾何的產生與非歐幾何公理體系
4．1 非歐幾何的產生背景
4．2 非歐幾何的形成
4．3 非歐幾何的發展與確認
5 幾何學的統一與公理化思想
5．1 幾何學的統一
5．2 幾種幾何學的比較
5．3 公理化思想方法
6 幾何學的近現代發展簡介
6．1 微分幾何
6．2 拓撲學
練習1
第2章 非歐幾何的幾種典型模型
1 銳角假設與羅氏幾何
1．1 銳角假設與雙曲幾何
1．2 雙曲幾何的代表——羅氏幾何簡介
1．3 真理性討論
2 鈍角假設與球面幾何
2．1 鈍角假設與橢圓幾何
2．2 橢圓幾何的代表——球面幾何簡介
3 非歐幾何的實現模型
3．1 克萊因模型
3．2 龐加萊模型
練習2
第二部分 歐氏幾何與微分幾何
第3章 歐氏幾何、二次曲線的度量性質與分類
1 直角坐標系、歐氏平面、變換群與等距變換
1．1 直角坐標系與歐氏平面
1．2 變換群
1．3 等距變換
2 二次曲線的度量性質
2．1 歐氏平面上二次曲線的定義及基本概念
2．2 二次曲線與直線的相關位置
2．3 二次曲線的漸近方向、中心及漸近線
2．4 二次曲線的切線
2．5 二次曲線的直徑
2．6 二次曲線的主直徑與主方向
3 利用平面直角坐標變換化簡二次曲線的方程與分類
3．1 平面直角坐標變換
3．2 利用平面直角坐標變換化簡二次曲線的方程與分類
練習3
第4章 古典微分幾何初步
1 向量函數
1．1 向量函數的定義及其相關概念
1．2 兩個特殊向量函數與旋轉速度
2 曲線論
2．1 曲線的相關概念
2．2 空間曲線的密切平面與基本三棱形
2．3 空間曲線的曲率、繞率和弗雷內公式
2．4 空間曲線論基本定理
3 曲面論
3．1 曲面的相關概念
3．2 曲面的三種基本形式
3．3 曲面的一些曲率與曲面上的一些曲線
3．4 曲面三個基本形式之間的關係
3．5 曲面論基本定理問題的引出
練習4
第三部分 仿射幾何與射影幾何
第5章 仿射坐標系、仿射平面與仿射變換
1 仿射坐標系與仿射平面
1．1 平行射影
1．2 仿射坐標系與仿射平面
2 仿射變換的相關問題
2．1 仿射變換的代數表達式
2．2 關於仿射變換的確定及其重要定理
2．3 仿射平面上直線的幾個常用結論
2．4 幾種重要的仿射變換
2．5 仿射性質
練習5
第6章 從仿射平面到射影平面
1 擴大的仿射平面
1．1 中心射影和無窮遠元素
1．2 射影直線和射影平面以及它們的性質
1．3 射影平面的拓撲模型
1．4 圖形的射影性質
2 齊次仿射坐標
2．1 點的齊次仿射坐標
2．2 直線的齊次仿射坐標方程
2．3 齊次仿射線坐標
3 德薩格定理與平面對偶原理
3．1 德薩格定理
3．2 平面對偶原理
4 交比與調和共軛
4．1 點列中四點的交比
4．2 線束中4條直線的交比
練習6
第7章 射影坐標系與射影變換
1 射影坐標系
1．1 直在線的射影坐標系
1．2 平面上的射影坐標系
2 射影變換
2．1 透視對應及其相關概念
2．2 射影變換
3 射影對應（變換）的代數表達式和帕普斯定理
3．1 一維射影對應（變換）的代數表達式
3．2 二維射影對應（變換）的代數表達式
3．3 帕普斯定理
4 變換群與幾何學的關係
4．1 平面上的幾個重要變換群
4．2 歐氏幾何與歐氏群
4．3 克萊因變換群觀點簡介
4．4 射影幾何、仿射幾何和歐氏幾何間的比較
練習7
第8章 二次曲線的射影性質、仿射性質與相應分類
1 二次曲線的射影性質
1．1 二階曲線與二級曲線的定義
1．2 二次曲線的射影定義
1．3 二階曲線與二級曲線的關係
1．4 帕斯卡和布利安桑定理
1．5 二階曲線的極點與極線
1．6 配極原則與配極對應
2 二次曲線的射影分類
2．1 二階曲線的奇異點
2．2 二次曲線的射影分類
3 二次曲線的仿射性質
3．1 二次曲線與無窮遠直線的相關位置
3．2 二次曲線的中心
3．3 二次曲線的直徑與共軛直徑
3．4 二次曲線的漸近線
4 二次曲線的仿射分類
練習8
第四部分 “大學幾何”與“中學幾何”
第9章 “大學幾何”對“中學幾何”的指導意義
1 中學幾何的研究內容及方法
1．1 幾何學的研究物件及分類
1．2 中學幾何的主要研究內容
1．3 中學幾何的基本研究方法
2 “大學幾何”與“中學幾何”的聯系
3 “大學幾何”對“中學幾何”教學的指導意義
3．1 高等師範院校數學教學改革中幾何課程改革的重要性與必要性
3．2 用現代數學的觀點看待“中學幾何”
練習9
第10章 “大學幾何”方法在“中學幾何”中的應用
1 “向量法”與“坐標法”在中學幾何中的應用
1．1 用向量法證明共點（或共線）問題
1．2 用向量法證明垂直（或平行）問題
1．3 有關夾角或距離問題的例子
1．4 有關面積、體積問題的例子
2 仿射及射影幾何方法在中學幾何中的應用
2．1 仿射方法在中學幾何中的應用
2．2 射影方法在中學幾何中的應用
練習10
習題參考答案與提示
參考文獻
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