矩陣基本理論與應用（簡體書）

矩陣理論是一門理論上高度抽象、又極具應用價值的數學基礎課程。 它不僅是數學的一個重要分支,而且已成為現代各種科學技術領域,如自 動化與人工智能、計算機科學、力學與機械工程、管理科學與工程等處理大量有限維空間形式與數量關係的基礎工具。因此,學習和掌握矩陣的基本理論和方法,對工科研究生是必不可少的。

本書的主要內容作為北京航空航天大學工科研究生的基礎理論核心課程“矩陣理論”已講授多年。該課程在講授過程中,無論授課物件如何, 課程設置和講授內容基本保持不變,因此具有極強的“魯棒性”。編者於2017年起獨立承擔自動化科學與電氣工程學院的“矩陣理論”課程的教學,經過六輪次的課程探索與實踐,對課程內容作了精心安排,並加入了諸多面向信息類專業的應用案例,深受廣大學生喜愛。在編寫本書的過程中,編者力求使其內容既具有一定的理論體系和理論深度,又注重深入淺出、簡潔易懂,對大量較為抽象的概念賦予簡明的幾何意義或具體實例,幫助學生理解並掌握矩陣相關的基本概念、理論和方法,實現培養學生的數學思想與思維、應用與創新能力的目的。

本書共分5章,比較全面、系統地介紹了矩陣的基本理論、方法和典應用。第1章線性代數引論是本書的基礎理論,主要介紹線性空間與內積空間。第2章線性映射與矩陣是本書的理論核心,闡釋了矩陣是有限維線性空間的線性變換的一種表達形式,並賦予矩陣以幾何直觀,使得在線性代數課程中難以理解的諸多疑問,如相似矩陣具有相同的特征值、矩陣乘法往往不可以交換等豁然開朗。第3章矩陣分解是應用最廣的矩陣理論和方法,主要介紹廣泛應用的滿秩分解、三角分解、QR 分解、Schur 分解、譜分解和奇異值分解;此外,還介紹了相抵分解、對角化分解和Jor- dan分解問題,這些內容是矩陣理論研究、矩陣計算及應用不少的工具和方法。第4章矩陣分析是矩陣理論對數學分析課程的推廣,介紹了範數理論、矩陣級數理論、矩陣函數與函數矩陣,這些內容已廣泛應用於諸多理論分析和工程問題。第5章廣義逆矩陣是矩陣理論中比較現代的部分,主要介紹常見的4種廣義逆矩陣及其在線性方程組中的應用,並分析了正交投影矩陣與廣義逆矩陣之間的聯系。特別地,每章都單獨用一節來展開矩陣理論研究與應用。比如,第1章陣論了多項式插值與多項式空間的基之間的關係;第2章研究了圖的矩表示問題;第3章將諸多應用如線性方程組與線性常微分方程組求解、 矩陣特征值與逆矩陣的計算、正交投影與圖像壓縮等融入各種矩陣分解 中;第4章研究了主元分析法對數據降維的基本原理;第5章討論了廣義 逆矩陣在區間線性規劃中的應用問題。這些內容具有較強的針對性和應用性,為進一步理解矩陣的基本理論與方法,開展研究和解決工程問題提 供了重要案例。

在本書編寫過程中,考慮到授課的實際情況,將諸如投影與最佳逼近、Hermite矩陣、矩陣的 Kronecker積、線性矩陣方程等問題以片段或應用的形式分散在一些章節中,希望讀者在閱讀過程中注意總結。

編者特別感謝北京航空航天大學數學科學學院楊小遠教授和王永革 副教授、自動化科學與電氣工程學院林巖教授和秦世引教授、蘭州大學數學與統計學院孫春友教授、中國科學院數學與系統科學學院李嬋穎研究員,他們給予編者很大的鼓勵和支持,並仔細審閱了全部書稿,提出了很 多寶貴意見和建議。 編者感謝北京化工大學經濟管理學院張強副教授、北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院鐵林副教授和劉克新副教授,他們仔細審閱了全部書稿,並提出了很多有益的建議。感謝王宏偉、張書源、高燕姍、秦鴻宇、丁祥濤、梁錦威、田摯昆、段安娜等研究生協助編輯和校對書稿。

由於編者水平有限,書中難免存在謬誤與不當之處,敬請批評、指正。 來信請寄:北京市海澱區學院路37號 北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院王磊。郵編:100191;電子郵箱:lwang@buaa.edu.cn。

編 者

2020年6月

第1章 線性代數引論 1

1.1 線性空間 1

1.2 線性子空間 5

1.3 基與坐標 9

1.4 內積空間 15

1.5 直和與投影 23

1.6 應用:多項式插值 31

本章習題 34

第2章 線性映射與矩陣 38

2.1 預備知識 38

2.2 線性映射 40

2.3 矩陣與同構 46

2.4 特征值與特征向量 55

2.5 酉變換與酉矩陣 62

2.6 應用:圖的矩陣表示 67

本章習題 71

第3章 矩陣分解 74

3.1 相抵分解 74

3.2 滿秩分解 76

3.3 三角分解 79

3.4 QR分解 87

3.5 Schur分解 91

3.6 對角化分解 96

3.7 譜分解 104

3.8 Jordan分解 114

3.9 奇異值分解 126

本章習題 135

第4章 矩陣分析 140

4.1 向量範數 140

4.2 矩陣範數 147

4.3 相容範數 150

4.4 矩陣擾動分析 156

4.5 特征值估計 160

4.6 矩陣級數 167

4.7 矩陣函數 175

4.8 函數矩陣 189

4.9 應用:主元分析法 197

本章習題 200

第5章 廣義逆矩陣 203

5.1 基本概念 203

5.2 矩陣方程AXB=D 204

5.3 減號逆 212

5.4 極小範數廣義逆 216

5.5 最小二乘廣義逆 220

5.6 加號逆 223

5.7 應用:區間線性規劃 228

本章習題 230

參考文獻 233

漢英名稱索引 235