商品簡介
本書打開數學和物理學一些特定領域的知識窗口，涉及熱力學第二定律，相對論，概率論，信息論的基本內容，反映數學與物理學發展進程中的密切關係，又表現它們不同的特色。重視對入門基本概念進行比教科書更細致或深入的剖析，如概率，概率空間，條件概率，熱力學熵，香農熵等等；也在有限的篇幅內以精煉的語言，揭示學科中重要基礎概念形成的邏輯鏈條，增進對學科概貌的認識。本書參考了較多相關的專業著作或新近的大學教材，以及科普名著，作者**的期望是在專業性與科普性之間保持某種平衡，使不同水平的讀者都能有所收益，對現代科學一些重要但"艱澀”的概念和成果有進一步的認識。
作者簡介
吳新瞻，退休高工，編審，從事概率與統計應用模型及模式識別信息論方法研究的專家。1963年畢業於北京大學，1967年中科院計算所研究生畢業。1980 年底公派參加聯合國教科文組織主辦、羅馬尼亞布加勒斯特大學承辦的"信息科學與應用數學”研究進修一年，以各科及論文成績全優名列前茅。曾在全國計算機展覽會上首批展示漢字手寫實時識別系統開發成果。主持完成國家自然科學基金支持項目印章自動圖像處理與鑒別實驗系統。曾在中科院研究生院開設《隨機模型與計算機模擬》課程。曾擔任《中國大百科全書》（電子學與計算機卷）第一版特約編輯與撰稿。曾任中國人工智能學會第三屆理事會理事、第四屆理事會常務理事。在《應用數學學報》、《科學通報》及其英文版、《中文信息學報》等刊物上發表多篇論文。出版專著《隨機模型與計算機模擬》（與吳新垣合著）等著作（該書在多年後仍被理工類期刊作者列入參考書目）。翻譯出版通信與計算機軟件方面的書籍數種。吳新瞻始終堅持不懈地讀書和鉆研，年逾古稀而不輟。系國家圖書館（白石橋）多年的忠實讀者，館內外語新書閱覽室的常客，甚至還是南館重新開放日的第一位入館讀者呢。遇到關注的學科內容習慣於把有關的新書都瀏覽摘錄。
序
讀書與傳承
讀書無疑是獲得知識和信息、提高人們素質的重要途徑，其重要性不亞於 甚至超過課堂上的學習。學校教育為學生打下或寬泛或狹窄的基礎，更多重要 的和有價值的知識需要在生命的旅途中通過讀書獲得。
我還記得當年數學家華羅庚先生談到讀書時的名言，大意是讀書要經過 從厚到薄，又從薄到厚的兩個過程。這是出自他親身體驗的精湛總結，是衡量 讀書深入程度的標尺。從厚到薄的過程意味著不僅要讀懂，還要理解透徹，掌 握精髓，把一本厚厚的書用自己的表達方式化作薄薄的大綱筆記。從薄到厚的 過程意味著更高的層次，在消化吸收的基礎上“旁征博引”，豐富補充，更上 一層樓，為創新做好準備。 與華先生在 1948 年同時當選研究院院士、在概率論與數理統計領域具有 國際影響力的我國數學家許寶騄教授，在專業上曾經對我言傳身教，使我受益 匪淺，終生難忘。
許先生體弱，不能走進教室給學生講課，只在自己居室小客廳為教師開設 討論班。非常幸運的是，北京大學 1957 級概率論統計專門化小班由許先生親 自指導畢業論文，使我有機會近距離體驗有特色的數學家做學問的風範與境 界。雖歷經 60 餘載歲月，許先生在討論班講課的音容舉止仍歷歷在目，他以 獨特簡明的語言講述，常有畫龍點睛之妙；對指定參考書的內容全面歸納和提 升，提出統一解決同類型問題的強勁新方法。翻開當時的聽講筆記，我依然能 回憶出聽課筆記中清晰的思路。我由衷地說，國內外任何一本已出版的概率統 計專業書，有關次序統計量極限分布的相關內容，都沒有達到許先生討論班講 課時深入、完整和精致的程度。許先生讀書極其認真，但從不迷信書本，他在 討論班多次用形象的話語告誡我們：“不要趴在書本下面，要站在書的上面。”
物理學中的數學方法——從熱力學熵到香農熵
1963 年畢業離校後，我進入中國科學院計算技術研究所工作。有一天許 先生讓我參加在他家中進行的一個馬氏過程勢論討論班。在討論班上，還有幸 聆聽到許先生專門系統講授點集拓撲的課程。許先生的講課內容總是非常精 致和完美，他從不拿講稿，徐徐道出講授內容，連布置的習題在內，整個講課 內容的內在邏輯嚴密且完整。
在課程中，許先生不僅傳授了有價值的專業知識，而且為我們樹立了真正 掌握一門知識的標桿。許先生是我們一生可以效仿的典範。 數學與物理學殊途同歸
數學與物理學關係密切，始終在相互支撐中發展，猶如一對相伴長大的 兄弟。
算術、幾何和代數與日常生活及物理的關係就不必說了。牛頓在研究物體 和天體的運動規律時，提出無窮小量運算的全新方法，並在同時代其他數學家 的大力推動下，建立了微積分學。
近代物理學與數學相互促進的例子更是不勝枚舉。例如，愛因斯坦應用當 時物理學家尚不熟悉的數學方法（微分幾何與黎曼幾何）創立了廣義相對論， 楊振寧和米爾斯在數學上立足於現代微分幾何中的纖維叢理論建立統一電磁 力、弱力、強力的規範場論，等等。
著名物理學家楊振寧對於數學和物理學的關係有著深刻的論述。他指出， “在基本概念的水平上，它們令人驚異地共同使用某些概念。”但是楊振寧強 調物理學家和數學家達成這樣的“共識”或思想融合所經歷的是殊途同歸的 過程。
數學與物理學有相同或相似的部分，如微分方程、偏微分方程、希爾伯特 空間、黎曼幾何和纖維叢等。當然，數學與物理學研究的宗旨、目標及方法論 各不相同，存在明顯的區別。數學是邏輯和推理的世界，物理學追求理論與客 觀世界的真相保持高度一致，它必須得到實驗的驗證。
楊振寧認為數學與物理學在最早的、最原始的部分同脈同源，但是因為二
者有不同目標和價值取向，在其後的發展過程中，呈現出不同的發展態勢。
楊振寧與著名數學家陳省身交流時談到，物理學中的規範場恰是纖維叢 上的聯絡，而纖維叢是數學家在不涉及物理世界的情況下發展起來的。“這既 令人震驚，也令人迷惑不解，因為你們數學家憑空夢想出了這些概念。”陳省 身馬上提出異議：“不，不，這些概念不是夢想出來的。它們是自然的，也是 實在的。”
陳省身認為，“數學正走向兩個不同的方向。一是一般的理論，例如每個 人都必須學習點集拓撲學，學習一些代數學，由此打下一般的基礎，那幾乎覆 蓋整個數學的基本理論。然而也有一些課題是特殊的，而它們在應用數學上卻 起著重要的作用。”陳省身在談到自己得到高斯-博內公式第一個證明時表示， “通常來說，最好的數學研究工作，是把一些理論與一些非常特殊的問題結合 起來，特殊的問題促使一般理論得以發展。我就是應用聯絡的思想給出了高 斯-博內公式的第一個證明。我想這是我最好的工作之一，因為它解決了一個 重要而基本的經典問題，並且思想十分新穎”。
他還談到數學中方法（很多情況下表現為技巧）的重要性，“為了讓你的 思想付諸實踐，你需要是技術上的天才。這不是輕而易舉的，也不是只要你有 想法就可以實行的，這是微妙的”。 讀書與心得筆記 隨著工作和環境的變化，我的專業方向大體上涉及過概率統計計算、火箭 及衛星軌道測量數據實時濾波、軟件編程與計算機應用開發、漢字手寫識別、 圖像處理與分析等不同領域。我甚至還參加過大百科全書《電子學與計算機》 卷的編輯與撰稿，以及電子書刊的編輯工作。面對許多以前不熟悉的知識領域， 我只有通過讀書來彌補自己的不足，閱讀成為伴隨我終生的愛好和習慣。 從離開工作崗位到70 歲前後這段時間也許是人生最值得珍惜的閱讀時光， 雖然精力減退是不可避免的自然規律，但思維能力還可保持在一定的高度， 而且還有較充裕的閑暇時間。重讀歷年有價值的專業書和筆記，讓知識在頭 腦中經過長年的積累融合，往往能有一些新的理解或發現不同部分之間的關聯，偶爾也會找出筆記或書本上出現的疏漏。當年難點還在，但已不再生疏， 可以從容應對。發現新出版的好書，如果有探索的興趣，不妨量力而行，進行 最有效的閱讀，也能取得很好的效果。
本書是我多年來一部分讀書心得的匯集。從一個專業學者的獨特視角，我 選取了數學和物理學中幾個重要的基礎概念作為主題，在吸取相關專著內容 的基礎上，進行了全面和深入的探討。本書具有跨學科和跨層次的特點，然而 對於求知者來說，學科和層次並非固定的壁壘。
全書涉及數學與物理各自發展進程中三個“相得益彰”的實例。
第一個實例是熱力學熵與數學中信息熵在各自發展過程中不期而遇，殊 途同歸。
第二個實例是愛因斯坦在推導狹義相對論時，創造性地應用微分方程求 解的過程。
第三個實例是愛因斯坦首次提出微小粒子的布朗運動模型，應用概率論 隨機過程對布朗運動的深入研究與此一脈相承。 第 1 章～第 5 章的內容基本上屬於物理學的範疇。 第 1 章～第 3 章解讀熵的概念。“熵”這個術語最初在熱力學中作為一個 狀態量出現，在量子統計理論中才得到了比較完整的論證。香農信息熵作為信 息不確定性的度量而定義，采用了為熱力學熵專門打造的新詞 Entropy，這似 乎是一種巧合。然而，二者的確是相通的：玻爾茲曼熵公式給出的熵等於均勻 分布的信息熵，一般體系的熵在量子統計中論證的結果與信息熵一致。然而， 香農信息熵是一個純數學的物件，並不依賴任何物理背景的假設。 第 4 章是我從大學畢業伊始，多次反復閱讀《物理學的進化》（此書近年 已重新出版）一書的收獲。它是一本非常“地道”的物理科普書，可以讓讀者 對物理學的進展樹立正確的觀念。希望這份簡短筆記使讀者（也包括我自己） 能把握和記住一些要點。
第 5 章是閱讀愛因斯坦第一篇相對論論文的詳細筆記。我認為這篇論文 已經把狹義相對論論述得非常透徹（雖然幾十年後才被學界廣泛認識和接受）。 狹義相對論已進入耶魯大學公開教程基礎物理中，2017 年《基礎物理》這本 教材在我國國內引進出版。 第 6 章～第 10 章的內容屬於數學的範疇。
數學有超長的邏輯鏈條。自古至今一步一步搭建起巍峨的數學大廈，乃人 類心智創造的奇跡。它保持始終如一的一致性和相容性，從出發點往前延伸。 這是數學珍貴的品格。這種特征也是數學比較難於學習、難於著手進行研究的 原因。
一本好的數學教科書（或一本表達清晰的數學論著），其內容必須形成清 晰的邏輯鏈，這是起碼的也是嚴苛的要求。
學習每一門數學課程，我們必須從頭出發，按照邏輯鏈條順序向前走，去 理解，去思考，才能對內容有充分的把握。
數學研究的物件不是具體的事物，而是抽象出來的概念，通過定義而嚴格 界定。因此，數學的結論不依賴於具體的事物，能應用於各種事物。各個概念 之間有邏輯上的聯結，形成特有的形式體系。在這個形式系統內所有的結論都 是通過嚴格的邏輯推理得出的。而且，形式系統內衍生出許多運算法則和技巧， 需要反復運用才能掌握。簡要地說，抽象、嚴格的邏輯推理、運算法則與技巧， 是學習數學時必須認識的三大特點。因此，掌握每門數學課程中的基本概念， 以及概念之間的聯系非常重要，人們只能依靠概念進行數學思維。 第 6 章的內容是“從自然數開始”。因為自然數是數學的起點，數學大廈 的基礎是否穩固得從自然數開始考察。對自然數規律的研究至今還是數學中 的一個前沿課題。
自然數可以用皮亞諾公理來定義，自然數加法和乘法運算的結果和法則 都可以推導（證明）出來。運算進一步發展就需要增加新的定義，這些內容可 以作為建立數學思維方式的一種訓練。
物理學中的數學方法——從熱力學熵到香農熵
第 7 章～第 10 章的內容都屬於概率論的範圍，我們打算梳理其中一些重 要的基礎概念。 第 7 章介紹概率論的總體脈絡，從入門開始，給出一個極簡明但連貫的描 述。概率論有兩個理論層次，建立在測度論和柯爾莫哥洛夫存在性定理基礎上 的內容屬於更高的層次，理解上有點困難，我們的態度是點明而不是回避。無 論如何，概率空間的概念必須掌握。讀者可根據自己的需要，選擇其中適合的 內容閱讀。 第 8 章和第9 章具體和詳細地討論了條件概率與條件期望的概念與性質。
第 10 章對香農熵概念進行了細致和完整的講述
目次
1．1 熵概念的來龍去脈 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 001
1．2 熱力學熵與熱力學第二定律 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 003
1．2．1 卡諾熱機與克勞修斯熱力學熵 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 003
1．2．2 熱力學第二定律 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 006
1．3 從不同角度擴展對熵的認識和研究 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 009
1．3．1 宇宙的演化 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 010
1．3．2 黑洞與熵 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 013
1．3．3 生命與熵 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 013
1．3．4 液晶的形成過程與熵 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 014
第 2 章 熱力學熵與信息熵殊途同歸Ⅱ：信息熵概念初探 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 016
2．1 問題 1 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 016
2．2 問題 2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 018
2．3 問題 3 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 019
第 3 章 熱力學熵與熱力學第二定律的數學論述 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 023
3．1 卡諾熱機與克勞修斯熱力學熵 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 023
3．1．1 熱力學基本知識 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 023
3．1．2 熱力學系統的狀態參量――熵 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 027
3．1．3 一些特殊熱力學過程的具體分析 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 029
3．1．4 卡諾熱機理想模型揭開熱機效率之謎 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 032
3．2 熱力學第二定律 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 040
3．3 從經典統計熱力學認識熵 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 045
3．3．1 跨進統計熱力學之門 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 045
3．3．2 玻爾茲曼最概然（最大概率）分布與熵 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 047
3．3．3 理想氣體的自由膨脹及其熵變例子 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 051
3．4 從量子統計熱力學進一步認識熵 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 054
3．4．1 一些必要知識的概述 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 054
3．4．2 熵在體系間熱相互作用中的意義 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 056
3．4．3 熵在體系間一般熱力學相互作用中的意義 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 061
第 4 章 重溫物理學科普典範《物理學的進化》 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 069
4．1 狹義相對論的由來 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 070
4．2 廣義相對論的由來 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 071
4．3 科學永不止步 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 073
4．4 數學的意義 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 075
4．5 自然哲學的啟示 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 077
第 5 章 讀愛因斯坦第一篇相對論論文的筆記 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 079
5．1 前言 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 079
5．2 領略愛因斯坦精微的論證 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 080
5．2．1 兩個依據（出發點） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 080
5．2．2 關於時間的辨析 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 081
5．2．3 長度和時間的相對性 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 083
5．2．4 從靜系到另一相對勻速移動的坐標系的坐標與時間的 變換理論 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 084
5．3 耶魯大學《基礎物理》講授狹義相對論 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 089
5．4 狹義相對論對人們日常認識的衝擊 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 091
5．4．1 運動方向上的桿會收縮 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 092
5．4．2 運動的時鐘會走得慢，如果達到光速，鐘會停下來 ．．．．．．．．．．．．．．．． 093
5．4．3 雙生子佯謬 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 094
第 6 章 從自然數開始 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 096
6．1 引言 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 096
6．2 關於自然數的皮亞諾公理 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 098
6．3 從自然數到整數――第一種途徑 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 101
6．4 從自然數到整數――第二種途徑 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 103
6．5 從整數到有理數 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 110
6．6 從有理數到實數（引子） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 112
6．7 數學的邏輯基礎 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 113
第 7 章 概率論基礎概念（要義） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 115
7．1 引言 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 115
7．2 樣本空間與事件 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 117
7．3 概率空間 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 118
7．4 隨機變量與概率分布函數 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 119
7．4．1 幾個有趣的實例 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 120
7．4．2 隨機變量及其概率分布的定義 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 123
7．5 隨機過程 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 125
7．5．1 從隨機變量擴展到隨機向量和隨機過程 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 125
7．5．2 柯爾莫哥洛夫存在性定理 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 129
7．5．3 小結 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 129
7．5．4 隨機過程的等價與可分隨機過程 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 130
7．6 獨立隨機變量序列 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 132
7．7 可加隨機過程（獨立增量過程） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 134
7．7．1 可加隨機過程的定義 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 134
7．7．2 可加隨機過程實例 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 134
7．7．3 可加隨機過程概論（Poisson 過程和廣義維納過程） ．．．．．．．．．．．．．．． 138
第 8 章 隨機事件與隨機事件之相互關聯（1）――條件概率 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 144
8．1 條件概率的概念與定義 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 144
8．2 條件概率計算實例 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 147
8．3 貝葉斯公式及其應用 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 150
8．3．1 貝葉斯公式 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 150
8．3．2 貝葉斯公式的應用 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 151
8．4 揭示貝葉斯公式應用中的認識陷阱 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 153
8．4．1 兩個貝葉斯公式應用實例 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 154
8．4．2 貝葉斯公式應用的深入分析 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 155
8．4．3 結語 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 158
第 9 章 隨機事件與隨機事件之相互關聯（2）――條件期望 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 159
9．1 細說條件期望 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 159
9．2 條件期望之一 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 162
9．3 條件期望之二 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 163
9．4 條件期望之三 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 166
9．5 條件期望之四 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 168
9．6 條件期望之五 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 171
第 10 章 香農熵開啟新的信息時代 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 176
10．1 香農熵正式登場 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 177
10．2 熵定義的依據 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 178
10．2．1 熵的性質 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 181
10．2．2 條件熵和互信息量 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 182
10．3 熵定義的擴展 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 186
10．3．1 不完全概率分布的熵 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 186
10．3．2 連續概率分布的熵 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 187
10．3．3 熵差 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 190
10．4 消息產生與傳輸的信息論模型――無記憶離散信道 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 194
10．5 模式識別的信息論方法 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 200
10．5．1 模式識別的基本步驟 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 200
10．5．2 特征選取的分類熵準則（注） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 201
10．5．3 模式識別的判決方案 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 209
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