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商品簡介

目次

書摘/試閱

本書是為大學數學系基礎復分析課程編寫的教材.全書共七章,內容包括:復數、點集拓撲基礎、復函數、初等共形映射、復積分、級數與乘積展開、共形映射與Dirichlet問題.本書在選材上注重幾何直觀.在內容上力求全面,包括了特殊函數的基礎內容.在寫作上敘述精練.各章配有適量習題.
目錄
前言
第 1章復數1
1.1復數代數1
1.1.1算術運算 1
1.1.2平方根1
1.1.3合理性2
1.1.4共軛和**值3
1.1.5不等式4
1.2復數的幾何表示 5
1.2.1加法與乘法的幾何表示 6
1.2.2高次單位根7
1.2.3解析幾何 8
1.2.4球面表示10
1.2.5一般位置的球極投影12
習題 113
第 2章點集拓撲基礎15
2.1集合與元素15
2.2度量空間 16
2.3拓撲空間 17
2.4連通性18
2.5緊致性20
2.6連續函數 22
2.7一致收斂性23
習題 224
第 3章復函數26
3.1解析函數 26
3.1.1解析函數的定義26
3.1.2導數的幾何意義27
3.1.3調和函數27
3.1.4形式偏導數 28
3.1.5多項式29
3.1.6有理函數31
3.2冪級數的基礎概念 34
3.2.1冪級數34
3.2.2 Abel極限定理 38
3.3指數函數和三角函數 39
3.3.1指數函數39
3.3.2三角函數40
3.3.3周期性40
3.3.4對數函數42
習題 343
第 4章初等共形映射46
4.1分式線性變換 46
4.1.1保圓性46
4.1.2交比 47
4.1.3對稱性48
4.1.4分式線性變換的不動點與分類.50
4.1.5分式線性變換的其他表示 53
4.2二次多項式與有理函數55
4.3三次多項式58
4.4指數函數與三角函數 59
4.5初等共形映射 61
習題 462
第 5章復積分63
5.1 Cauchy定理.63
5.1.1線積分63
5.1.2全微分65
5.1.3矩形上的 Cauchy定理67
5.1.4圓盤內的 Cauchy定理69
5.2 Cauchy積分公式71
5.2.1環繞數71
5.2.2積分公式72
5.2.3高階導數73
5.3解析函數的局部性質 75
5.3.1可去奇點與 Taylor定理75
5.3.2零點和極點 77
5.3.3局部映射78
5.3.4最大模原理 81
5.4 Cauchy定理的一般形式 82
5.4.1鏈和閉鏈82
5.4.2單連通性83
5.4.3 Cauchy定理的一般形式的證明84
5.4.4局部恰當微分88
5.4.5多連通性90
5.5留數計算 91
5.5.1留數定理91
5.5.2輻角原理92
5.5.3定積分計算 93
5.6調和函數 99
5.6.1定義和基本性質99
5.6.2均值性質100
5.6.3 Poisson公式 101
5.6.4 Schwarz定理 103
5.6.5反射原理104
習題 5 105
第 6章級數與乘積展開109
6.1冪級數展開式 109
6.1.1 Weierstrass定理 109
6.1.2 Taylor級數110
6.1.3 Laurent級數 112
6.2部分分式與因子分解113
6.2.1部分分式113
6.2.2典範乘積116
6.3 函數119
6.3.1函數的定義 119
6.3.2 Legendre加倍公式120
6.3.3 Stirling公式 121
6.3.4 函數的積分表示124
6.4 Riemann ζ函數125
6.4.1乘積展開126
6.4.2 ζ(s)擴張到整個平面 126
6.4.3函數方程與 ζ函數的零點128
6.5橢圓函數130
6.5.1周期函數130
6.5.2模群 130
6.5.3橢圓函數的一般性質 131
6.5.4 Weierstrass P函數 132
6.5.5函數 ζ(z)與 σ(z) 133
6.5.6微分方程135
6.5.7橢圓模函數136
6.6正規族139
6.6.1 Arzela-Ascoli定理139
6.6.2解析函數族141
6.6.3亞純函數族142
習題 6 143
第 7章共形映射與 Dirichlet問題146
7.1單連通區域上的共形映射146
7.1.1 Riemann映射定理146
7.1.2邊界對應147
7.2多邊形上的共形映射148
7.2.1 Schwarz-Christoffel公式148
7.2.2三角形和矩形上的共形映射 150
7.3 Dirichlet問題 151
7.3.1具有均值性質的函數 151
7.3.2 Harnack原理151
7.3.3次調和函數 152
7.3.4 Dirichlet問題的解 154
7.4多連通區域的典範映射 156
7.4.1調和測度156
7.4.2 Green函數158
7.4.3平行割線區域 160
習題 7 160
索引162
第 1章復數
1.1復數代數
1.1.1算術運算
  記R為實數域.定義C := {a = o + i8 : a, 3∈ R},
  其中元素a =à+iβ稱為復數, α稱為α的實部,記為 Re a,而β稱為α的虛部,記為Im a.當a =0 時, a = iβ稱為純虛數.當β=0時, a = α當然就是實數.復數a =О是**的既是實數又是純虛數的復數.在C上定義加法和乘法運算
(a +i3)+(y +i6)= (a +個)+認(β +5),
(a + i3)(y +i6) = (oy - 36)+i(ad+3).
  由乘法定義得到己=-1.下面我們證明C是一個域.
  顯然復數空閫C關於加法和乘法運算是封閉的,加法和乘法都是可交換運算,且每一個元素都有加法逆元.因此我們只需驗證每一個非零元素在C中都有乘法逆元.
  任給α 和i3≠0,我們需要找一個元素α +ig ∈C,使得(a →i3)(rc + i) = 1.整理這個式子得到
ac - Sgy = 1,3.r oy = 0.
  其解為
  因此每個非零元在C中都有乘法逆元.
1.1.2 平方根
  我們知道在實數域上負數沒有平方根.定義復數域的動機之一就是使得每個數都有平方根.

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