數學文化概論（簡體書）

目錄
前言
第1章 數學與人類文明 1
1.1 數學的內容、特點及精神 1
1.1.1 數學是什麼 1
1.1.2 數學的內容 3
1.1.3 數學的特點 4
1.1.4 數學技術的發展及其作用 6
1.1.5 數學精神 10
1.1.6 數學的新用場 11
1.2 數學發展簡史 15
1.2.1 數學發展的四個時期 15
1.2.2 悖論與數學的三次危機 20
1.2.3 中國古代數學簡述 25
1.3 數學對人類文明的作用 30
1.3.1 數學是人類文明的重要力量 30
1.3.2 數學與人類文明範例 39
1.4 數學對人的素質的培養 47
1.4.1 對勤奮與自強精神的培養 47
1.4.2 對其他一些人文素質的培養 48
1.4.3 對審美素質的培養 51
1.4.4 對分析與歸納能力的培養 51
1.4.5 對直覺及想象能力的培養 52
第2章 幾個重要的數學方法與數學技術及應用 55
2.1 混沌學方法 55
2.1.1 混沌的發現及定義 55
2.1.2 蝴蝶效應的描述 56
2.1.3 線性與非線性過程 57
2.1.4 產生混沌的例子——人口模型 58
2.2 模糊數學方法 60
2.2.1 模糊數學概述 60
2.2.2 模糊數學中的幾個基本概念 62
2.3 模糊數學在研究文學藝術及語言學中的應用 63
2.4 數學建模 65
2.5 數學在政治學中的應用——選票分配問題 67
2.5.1 選舉悖論 67
2.5.2 選票分配問題 68
2.5.3 亞拉巴馬悖論 69
2.6 數學在史學研究中的應用——考古問題 71
2.6.1 放射性年齡測定法 71
2.6.2 馬王堆一號墓年代的確定 72
2.7 *優化方法 72
2.7.1 研究的物件和目的 72
2.7.2 *優化方法的意義 73
2.7.3 *優化方法發展簡史 73
2.7.4 工作步驟 73
2.7.5 模型的基本要素 74
2.7.6 *優化方法分類 74
2.7.7 解析性質 74
2.7.8 *優解的概念 75
2.7.9 *優化方法的應用 75
2.8 數學機械化方法 76
2.9 幾個常用的現代數學技術 77
2.9.1 計算技術 77
2.9.2 編碼技術 78
2.9.3 統計技術 79
第3章 數學與人類對自然界的認識 81
3.1 自然科學與科學革命 81
3.1.1 自然科學的內容及特點 81
3.1.2 自然科學發展的第一個時期——古代自然科學發展時期 82
3.1.3 自然科學發展的第二個時期及前兩次科學革命 82
3.1.4 自然科學發展的第三個時期及第三次科學革命 85
3.2 數學在科學革命中的作用 90
3.2.1 數學在近代科學革命中的作用 90
3.2.2 數學在第三次科學革命中的作用 96
3.3 自然觀及人類自然觀演化簡史 96
3.3.1 古代自然觀 97
3.3.2 中世紀的科學與自然觀 98
3.3.3 近代機械論自然觀的興起 98
3.3.4 對機械論自然觀的突破——人類對自然界的辯證認識 99
3.3.5 20 世紀的科學思想 100
3.4 數學在自然觀中的作用 100
3.4.1 古希臘的數學自然觀 100
3.4.2 數學對唯物主義自然觀的影響 102
3.4.3 數學真理的發展及其對自然觀演變的啟示 108
3.5 自然科學方法論 113
3.5.1 科研選題 114
3.5.2 自然科學的基本方法 114
3.5.3 自然科學發展的主要形式 118
3.6 科技教育與人文教育的關係 119
3.6.1 科技教育與人文教育的目標及性質 119
3.6.2 科技教育與人文教育的聯系與區別 120
3.6.3 科技教育與人文教育融合的重要性 120
3.7 數學在自然科學中的作用 122
3.7.1 數學在物理學中的作用 122
3.7.2 數學在化學中的作用 125
3.7.3 數學在天文學中的作用 129
3.7.4 數學在地理學中的作用 132
3.7.5 數學在生物學中的作用 133
3.7.6 數學在醫學中的作用 134
3.7.7 數學在系統科學和信息科學中的作用 137
第4章 數學與工程技術 140
4.1 工程技術與技術革命 140
4.1.1 工程技術的內容特點 140
4.1.2 工程技術發展簡史 142
4.2 數學在技術革命中的作用 148
4.2.1 數學在第一次技術革命中的作用 149
4.2.2 數學在第二次技術革命中的作用 149
4.2.3 數學對第三次技術革命的作用 149
4.2.4 數學對第四次技術革命的作用 150
4.3 數學在高新技術中的作用 150
4.3.1 數學在計算機技術中的應用 150
4.3.2 數學在微電子技術中的作用 158
4.3.3 數學在信息技術中的作用 159
4.3.4 數學在數字化技術中的作用 160
4.3.5 數學在預測技術中的作用 162
4.3.6 數學在通信技術中的作用 164
4.3.7 數學在決策技術中的作用 166
4.3.8 數學在航天技術中的作用 167
4.3.9 數學技術在語言學中的作用 169
4.4 數學在工程技術中的應用 171
4.4.1 數學在自動制造系統中的應用 171
4.4.2 數學在石油業中的應用 177
4.4.3 數學在人工智能中的應用 178
4.4.4 數學在戰爭中的應用 182
4.4.5 數學在自動化中的應用 183
4.4.6 數學在生命科學中的應用 184
4.4.7 數學在系統模擬中的應用 186
4.4.8 數學在保險業中的應用 188
4.4.9 數學在農業中的應用 191
4.4.10 數學在汽車制造業中的應用 195
第5章 數學與經濟學 198
5.1 經濟學概述 198
5.1.1 什麼是經濟學 198
5.1.2 經濟學發展史 199
5.1.3 經濟學與數學的關係 201
5.2 數理經濟學 203
5.2.1 數理經濟學的起源和發展 203
5.2.2 數理經濟學與相關學科的關係 206
5.2.3 數理經濟學的研究內容與方法 207
5.2.4 數理經濟學模型舉例 208
5.3 數量經濟學 211
5.3.1 數量經濟學的發展 211
5.3.2 數量經濟學的概念和特點 213
5.3.3 數量經濟學的研究內容 214
5.3.4 數量經濟學模型舉例 215
5.4 計量經濟學 217
5.4.1 什麼是計量經濟學 217
5.4.2 計量經濟學與數學的關係 219
5.4.3 計量經濟學的研究內容和方法 220
5.4.4 計量經濟學發展史 220
5.4.5 計量經濟模型實例 222
5.5 數學與金融學 226
5.5.1 金融的起源與發展 226
5.5.2 金融學的研究內容 229
5.5.3 金融學理論和數學的聯系 230
5.5.4 金融學模型舉例 232
5.6 數學與會計學 235
5.6.1 會計學的起源與發展 235
5.6.2 管理會計學的研究內容 237
5.6.3 數學與會計學的聯系 239
5.6.4 會計學中的數學問題舉例 241
5.7 諾貝爾經濟學獎與數學 243
第6章 數學與哲學 247
6.1 數學與哲學的聯系與區別 247
6.2 數學對哲學的作用 249
6.2.1 數學與形而上學的起源 249
6.2.2 數學對西方哲學的影響 251
6.2.3 數學科學的發展，加深了對哲學基本規律的理解，豐富了哲學內容 258
6.2.4 數學的發展帶來哲學的重要進展 258
6.3 哲學對數學的作用 260
6.3.1 數學的哲學起源 260
6.3.2 辯證法在數學中的運用 268
6.3.3 哲學作為世界觀，為數學發展提供指導作用 273
6.3.4 哲學作為方法論，為數學提供偉大的認識工具和探索工具 274
6.3.5 數學哲學 274
6.4 數學與美 277
6.4.1 數學美的幾種常見類型 277
6.4.2 正整數與美 281
6.4.3 無理數與美 282
6.4.4 無限世界中的數學美 283
6.4.5 數學方法的優美性 286
第7章 數學與其他人文社會科學 290
7.1 數學與語言 290
7.1.1 數學語言與一般語言的關係 290
7.1.2 應用數學方法研究語言 293
7.1.3 計算風格學及進一步的關聯 296
7.2 數學與文學 301
7.2.1 用數學概念及知識作比喻來說明某些深刻道理 301
7.2.2 在文學作品中巧妙地運用數學方法可起到意想不到的效果 301
7.2.3 在文學作品中巧妙地運用數詞可起到文學本身起不到的效果 302
7.3 數學與藝術 303
7.3.1 數學與音樂的聯系 303
7.3.2 數學與雕刻、建筑的聯系 305
7.3.3 數學與繪畫的聯系 306
7.3.4 從藝術中誕生的科學 308
7.4 數學與法學 309
7.4.1 數學方法在法學中的應用 309
7.4.2 高新技術對法學的影響 311
參考文獻 313

第1章 數學與人類文明
對任何一門學科的理解，單有這門學科的具體知識是不夠的，即使你對這門學科知識掌握得足夠豐富，還需要對這門學科的整體有正確的認識，需要了解這門學科的本質. 本章的目的就是從歷史的、 哲學的和文化的角度給出關於數學本質的一般認識. 這一章簡要討論數學的內容與特點及精神、數學發展簡史及數學與人類文明.
1.1 數學的內容、特點及精神1
數學是研究現實世界中的數量關係與空間形式的一門學科. 由於實際的需要，數學在古代就產生了，現在已發展成一個分支眾多的龐大系統. 數學與其他科學一樣，反映了客觀世界的規律，並成為理解自然、改造自然的有力武器. 今從以下幾個方面來談數學的內容、特點及精神.
1.1.1 數學是什麼
1. 數學的定義
給數學下定義是一件困難的事情. 對任何事物下定義都會遇到同樣的困難. 因為很難在一個定義中把事物的一切重要屬性都概括進去. 另外，數學本身是一個歷史的概念，數學的內涵隨著時代的變化而變化. 要給數學下一個一勞永逸的定義是不可能的. 考慮全面性與歷史發展，可給數學下兩個定義.
(1) 數學是數和形的學問. 數學是一棵參天大樹. 它的根深深地扎於現實世界.它有兩個主幹，一曰形——幾何，一曰數——代數.
幾何：空間形式的科學，視覺思維占主導，培養直覺能力，培養洞察力;
代數：數量關係的科學，有序思維占主導，培養邏輯推理能力.
幾何與代數兩者相輔相成. 沒有直覺就沒有發明，沒有邏輯就沒有證明. 借助直覺發明的命題，要借助邏輯加以證明. 著名數學家龐加萊說：“邏輯可以告訴我們走這條路或那條路保證不遇到任何障礙，但是它不能告訴我們哪一條路能引導我們到達目的地. 為此必須從遠處瞭望目標，而數學教導我們，瞭望的本領是直覺. ”英國數學家阿蒂亞說：“幾何直覺乃是增進數學理解力的很有效的途徑，而且它可以使人增加勇氣，提高修養.”然而在通常的數學教學中只講邏輯而很少講直覺.
如果只研究數與形，那是靜態的，屬於常量數學的範圍. 所以只研究數與形是不夠的，必須研究大小與形狀是如何改變的. 這就產生了微積分. 它的延伸是無窮級數、微分方程、微分幾何等. 那麼，什麼是數學呢？19 世紀，恩格斯給數學下了這樣的定義：“數學是研究現實世界的量的關係與空間形式的科學.”
恩格斯關於數學的定義是經典的，概括了當時數學的發展，即使在目前也概括了數學的絕大部分. 但是在 19 世紀末，數理邏輯誕生了. 在數理邏輯中既沒有數也沒有形，很難歸入恩格斯的定義. 於是人們又考慮數學的新定義.
(2) 數學是關於模式和秩序的科學，是對結構、模式以及模式的結構和諧性的研究，其目的是要揭示人們從自然界和數學本身的抽象世界中所觀察到的結構和對稱性.
這一定義實際上是用“模式”代替了“數與形”，而所謂的“模式”有著極廣泛的內涵，包括了數的模式、形的模式、運動與變化的模式、推理與通信的模式、行為的模式 這些模式可以是現實的，也可以是想象的；可以是定量的，也可以是定性的. 我們生活在一個由諸多模式組成的世界中：春有花開，夏有驚雷，秋收冬藏，一年四季循環往復；繁星夜夜周而復始地從天空中劃過；世界上沒有兩片完全相同的雪花，但所有的雪花都是六角形的. 人類的心智和文化為模式的識別、分類和利用建立了一套規範化的思想體系，它就是數學. 通過數學建立模式可以使知識條理化，並揭示自然界的奧秘.
模式和秩序的科學都是數學嗎？物理學、力學似乎也符合這個定義，所以需要作出某些界定.
物理學的基本元素：具有波粒二象性的場；生物學的基本元素：細胞；數學呢？數、形、機會、算法與變化.
數學的處理物件分成三組：數據、測量、觀察資料；推斷、演繹、證明；自然現象、人類行為、社會系統的各種模式.
數學提供了有特色的思考方式.
抽象化：選出為許多不同的現象所共有的性質來進行專門研究.
符號化：把自然語言擴充、深化，而變為緊湊、簡明的符號語言. 這是自然科學共有的思考方式，以數學為*.
公理化：從前提，從數據，從圖形，從不完全和不一致的原始資料進行推理. 歸納與演繹並用.
**化：考察所有的可能性，從中尋求**解.
建立模型：對現實現象進行分析. 從中找出數量關係，並化為數學問題.
應用這些思考方式的經驗構成數學能力. 這是當今信息時代越來越重要的一種智力. 它使人們能批判地閱讀，辨別謬誤，擺脫偏見，估計風險. 數學能使我們更好地了解人們生活於其中的充滿信息的世界.
2. 名家論數學
(1) 數和形的概念不是從其他任何地方，而是從現實世界中得來的 (恩格斯).
(2) 因為數學可以使人們的思想紀律化，能教會人們合理地去思維. 無怪乎人們說，數學是鍛煉思想的“體操”(加裡寧).
(3) 如果歐幾裡得 (幾何) 不能激起你年輕的熱情，那麼你就不會成為一個科學思想家 (愛因斯坦).
(4) 在數學中，*微小的誤差也不能忽略 (牛頓).
(5) 讀史使人明智，讀詩使人靈秀，數學使人周密，科學使人深刻，倫理學使人莊重，邏輯修辭之學使人善辯，凡有所學，皆成性格 (培根).
(6) 宇宙之大，核子之微，火箭之速，日用之繁，無處不用數學 (華羅庚).
(7) 現代科學技術不管哪一部門都離不開數學，離不開數學科學的一門或幾門學科 (錢學森).
(8) 數學的統一性及簡單性都是極為重要的. 因為數學的目的，就是用簡單而基本的詞匯去盡可能地解釋世界. 歸根結底，數學仍然是人類的活動，而不是計算機的程序 (M. F. Atiyah).
1.1.2 數學的內容
大致說來，數學分為初等數學、高等數學與現代數學三大部分.
1. 初等數學
初等數學主要包含兩部分：幾何學與代數學. 幾何學是研究空間形式的學科，而代數學則是研究數量關係的學科.
初等數學基本上是常量的數學.
2. 高等數學
高等數學含有非常豐富的內容，以大學本科所學為限，它主要包含：
解析幾何：用代數方法研究幾何，其中平面解析幾何部分內容已放到中學.
線性代數：研究如何解線性方程組及有關的問題.
高等代數：研究方程式的求根問題.
微積分：研究變速運動及曲邊形的求積問題. 作為微積分的延伸，還有常微分方程與偏微分方程.
概率論與數理統計：研究隨機現象，依據數據進行推理.
所有這些學科構成高等數學的基礎部分，在此基礎上建立了高等數學的宏偉大廈.
3. 現代數學
現代數學的內容非常豐富，抽象代數、拓撲學、泛函分析是整個現代數學科學的主體部分. 它們是大學數學專業的課程，非數學專業也要具備其中某些知識.
1.1.3 數學的特點
數學具有兩重性，即內部的發展和外部的發展. 數學本身的內部活力和對培育其發展的養分的需要，數學本身就是智力訓練的學科. 另外數學也是科學、工程、工業、管理和金融的基本工具和語言.
從內部的發展來看，數學區分於其他學科的明顯特點有三個：第一是它的抽象性，第二是它的精確性，第三是它的理論與結果的優美性；從外部的發展來看，數學區別於其他學科的明顯特點有兩個：第一是它的應用的極其廣泛性，第二是它的應用的前瞻性；此外，數學還有一個明顯的特點，就是數學的技術性. 下面分述.
1. 抽象性
在中學數學的學習過程中讀者已經體會到數學的抽象性了. 數本身就是一個抽象概念，幾何中的直線也是一個抽象概念，全部數學的概念都具有這一特征. 整數的概念、幾何圖形的概念都屬於*原始的數學概念. 在原始概念的基礎上又形成有理數、無理數、實數、復數、函數、微分、積分、n 維空間以至無窮維空間這樣一些抽象程度更高的概念. 但是需要指出，所有這些抽象度更高的概念，都有非常現實的背景. 不過，抽象不是數學獨有的特性，任何一門科學都具有這一特性. 例如，物理學中的許多概念如力、質點、理想氣體等都有相當程度的抽象；又如“人”這個概念，他已不是指張三、李四了，也不是指男的、女的、老的、少的、胖的、瘦的人了，而是一個抽象的概念. 因此，單是數學概念的抽象性還不足以說盡數學抽象的特點. 數學抽象的特點在於：
(1) 在數學的抽象中只保留量的關係和空間形式而舍棄了其他一切. 數學的抽象似乎使數學離現實遠了一些，但從邏輯上看，當有關的概念越抽象時，它反映的物件越廣. 因而，正是這種高度的抽象導致了寬廣的應用.
(2) 數學的抽象是一個歷史過程，是一級一級逐步提高的，它們所達到的抽象程度大大超過了其他學科中的一般抽象，例如人們對數的認識. 從中可以看出，科學的抽象使我們更接近真理，使認識更深刻、更精確.
(3) 數學本身幾乎完全周旋於抽象概念和它們的相互關係的圈子之中. 如果自然科學家為了證明自己的論斷常常求助於實驗，那麼數學家證明定理只需用推理和計算. 這就是說，不僅數學的概念是抽象的、思辨的，而且數學的方法也是抽象的、思辨的.
2. 精確性
數學的精確性表現在數學定義的準確性、推理的邏輯嚴格性和數學結論的確定無疑與無可爭辯性. 這點讀者從中學數學就已很好地懂得了. 當然，數學的嚴格性不是絕對的、一成不變的，而是相對的、發展著的，這正體現了人類認識逐漸深化的過程. 數學為精確性而一直奮斗，從而形成了今天這種世人看來*不易引起爭議的精確、嚴謹的學科.
例如，歐幾裡得幾何，從少的不能再少的幾個命題出發演繹出全部歐幾裡得幾何命題，成為*為人們稱道的歐幾裡得公理體系.
3. 理論與結果的優美性
數學作為一種創造性活動，還具有藝術的特征，這就是對美的追求. 數學理論的高度概括性和數學結果與公式的簡潔、和諧、對稱、奇異的優美之例比比皆是.可以說，數學理論和結果都是按美學標準建起來的. 與其尋求一個數學美的嚴格定義 (很難辦到)，不如我們去把握數學美的如下特征：
數學美在於發現一般的規律. 例如，圓周率刻畫了所有圓的周長與直徑的比.
數學美在於和諧、雅致. 例如，費馬與笛卡兒創立的解析幾何學.
數學美在於高度的抽象和統一. 例如，阿拉伯數字.
數學美在於對稱、簡潔、有序.
一般說來，能夠被稱為數學美的物件 (問題、理論和方法等) 應該是：在極度復雜的事物中揭示出極度的簡單性，在極度離散或雜亂的事物中概括出的極度的統一性或和諧性.
數學的語言和符號是靜怡典雅的音樂. 數學的模式是現實世界數形貢獻優美的畫卷. 數學的抽象思維是人類智能奧妙的詩篇.
4. 應用的廣泛性
數學應用的極其廣泛性也是它的特點之一. 凡是出現“量”的地方都少不了用數學，研究量的關係、量的變化、量的變化關係、量的關係的變化等現象都少不了數學. 數學應用貫穿到一切科學領域的深處，而且成為它們的得力助手與工具，缺少了它就不能準確地刻畫出客觀事物的變化，更不能由已知數據推出其他數據，因而就減少了科學預見的可能性，或減弱了科學預見的精確度.
數學的應用通常是在對現實生活中的物理學、生物學和商業等活動中碰到的事件或系統進行數學建模時所激發產生的. 一般通過建立數學模型來研究實際問題.
由於數學建模的重要性，國家教育委員會 (現稱為教育部) 從 1992 年起已在全國範圍內組織大學生數學建模競賽，並將其納入高等學校教學評估指標體系中.
5. 應用的前瞻性
前瞻性亦可說是超前性. 有許多的數學研究與問題並不直接起源於應用，得到了有關原理之後，許久還未與應用掛上鉤，隔了一些時間以後才被應用上了，這就具有明顯的超前性