Lévy過程（簡體書）

Lévy過程可以看作連續時間的隨機遊動，也就是有平穩獨立增量的隨機過程。其狀態空間可以是一個非常一般的拓撲空間，而本書將在歐氏空間的框架下討論。Lévy過程最常見、最重要的例子是Poisson過程、Brown運動、Cauchy過程，更一般的例子有平穩過程。Lévy過程涉及概率論及其應用的方方面面。特別地，Lévy過程是一般Markov過程和半鞅的原型（實際上，它們是一類時空齊次的Markov過程），該過程在研究諸如排隊論、保險風險、水利以及金融數學的模型中被廣泛應用，從泛函分析的角度來看，Lévy過程與卷積半群的位勢理論密切相關。
歷史上，關於Lévy過程的研究最早可追溯到20世紀20年代晚期關於無窮可分分佈的研究，即現代概率論基礎建立起來的時候，其更一般的結構漸漸被Finetti，Kolmogorov，Lévy，Khintchine和Ito等發現。Lévy過程可以由著名的Lévy-Khintchine公式描述，這個公式指出了無窮可分分佈與平穩獨立增量過程之間的對應關係，繼20世紀50年代中期Hunt的開創性工作之後，對於Markov過程理論及其與抽象位勢理論聯繫的研究迅速展開，這些研究對Lévy過程的發展產生了深遠的影響，相關細節可參看Doob，Dynkin，Blumenthal和Getoor，Skorohod，Kesten，Bretagnolle，Port和Stone，Berg和Forst，Kanda，Hawkes等人的工作，同時，Spitzer，Feller和Borovkov通過分析方法發展了隨機遊動的波動理論，他們通過離散時間骨架逼近的方法將波動理論拓展到了連續時間。Lévy過程軌道的很多重要性質被Rogozin，Taylor，Fristedt，Pruitt及其他概率學者關注到，起初被用於研究Brown運動的一些軌道變換方法，如反射、分裂或時間逆轉等，形成了研究Lévy過程非常有用的技巧。軌道變換對Lévy過程的重要性首先被Millar，Greenwood和Pitman等人認識到，其中Pitman等人為波動理論提供了一種直接的方法，最近（譯者注：本書中“最近”均指20世紀90年代初）Bertoin，Doney等人進一步發展了該框架，最近的10年裡，局部時引起了人們的廣泛關注，這方面最深刻的結果可能是Barlow和Hawkes關於有連續局部時的Lévy過程的刻畫。對稱框架下，請參考Marcus和Rosen的工作。作為此簡單回顧的結尾，這裡強調過程一般理論的很多內容都可以應用到Lévy過程，尤其是隨機積分和極限理論。
很多書都有Lévy過程的章節，如Lévy（1954），Ito（1961），Gih-man和Skorohod（1975），Jacod和Shiryaev（1987），Sato（1990，1995），Skorohod（1991），Rogers和Williams（1994）等，也可以參考Taylor（1973），Fristedt（1974）和Bingham（1975）等人的總結，本書的目的是提供一個與時俱進且詳細的關於Lévy過程的介紹，以期成為一本Lévy過程的參考書。我將盡力使這本書盡可能地自包含，其預備知識僅限於概率論和Fourier分析裡的標準概念，
下面給出本書內容的簡短介紹。第0章介紹一些記號，回顧無窮可分分佈、Poisson過程、鞅、Brown運動和正則變化函數等基本知識，第1章和第2章講述Lévy過程理論的核心內容，Lévy過程相關的Markov性及其位勢理論。一般Markov過程理論無疑是概率論中最令人著迷的，但是也是要求最高的理論之一，然而，借助Fourier分析和空間齊次性的技巧，作為特殊Markov過程的Lévy過程更容易處理一些。在此，我們強調研讀本書不需要先學習Markov過程的相關知識。第3章研究從屬過程，即一類單調遞增的Lévy過程，並著重介紹從屬過程的軌道性質。從屬過程也是第4章和第5章的關鍵部分，其中第4章介紹從單點出發的Markov過程遊弋的Ito理論；第5章研究Lévy過程的局部時，在介紹基於遊弋理論的Greenwood-Pitman方法後，第6章介紹波動理論。第7章介紹沒有正跳的Lévy過程，此時，波動理論變得非常簡單。第7章介紹一些軌道變換的結果，這些結果推廣了Williams和Pitman關於Brown運動熟知的一些等式。最後，第8章講平穩過程尺度變換性質的一些結果，本書的每章都配有習題和注，其中習題給有興趣的讀者提供相關主題的一些拓展信息，注給出相關內容的貢獻者及一些參考文獻。為了避免與半鞅有關的著作重複，本書沒有介紹隨機積分或者極限理論，這方面的詳細闡述可參考Jacod（1979），Protter（1990），Jacod和Shiryaev（1987）。
本書部分內容基於在巴黎第六大學的概率論實驗室開設的第三階段課程。這期間我在國家科學研究中心有個職位，這使我能輕鬆舒適地工作。我非常感謝概率論實驗室的同事，對Nick Bingham，Ron Doney，Daniel Revuz和Hrvoje Sikic表示由衷的謝意，他們讀了初稿，糾正了不計其數的紕漏、打印錯誤及英文上的誤用。