遍曆論（簡體書）

孫文祥，北京大學數學科學學院教授、博士生導師，研究方向為微分動力系統的遍歷理論，主導研究非一致雙曲系統的周期逼近和周期偏差課題，以及帶奇點流的熵退化課題，長期講授遍歷論、微分動力系統、Pesin理論等課程，解決了四個公開數學問題，在國際著名的數學綜合學術期刊和專業學術期刊發表研究成果論文二十余篇。

《遍歷論》可作為數學相關專業研究生的教材，也可作為物理學、統計學、經濟學等各專業研究生和科技人員的參考書。

第1章 預備知識
1.1 σ代數與測度
1.1.1 概率空間的定義
1.1.2 概率空間的形成
1.1.3 單調類和σ代數
1.1.4 積概率空間
1.1.5 Borelσ代數
1.2 可測函數與積分
1.2.1 可測函數
1.2.2 幾乎處處收斂
1.2.3 積分
1.3 正則測度，絕對連續測度，Lebesgue數與Perron—Frobenius定理
1.4 習題
第2章 遍歷定理
52.1 保測映射
2.1.1 概念
2.1.2 例子
2.2 遍歷測度
2.3 Birkhoff遍歷定理
2.3.1 Birkhoff遍歷定理的陳述
2.3.2 對遍歷定理的解釋
2.3.3 應用
2.3.4 遍歷定理的證明
2.4 Poincare回復定理
2.5 習題
第3章 測度熵
3.1 測度熵的概念
3.1.1 測度熵
3.1.2 測度熵定義的合理性的討論
3.2 條件熵與測度熵
3.2.1 條件熵
3.2.2 用條件熵研究測度熵
3.3 測度熵的性質
3.3.1 映射的迭代
3.3.2 熵是同構不變量
3.4 測度熵的計算
3.4.1 Kolmogorov—Sinai定理
3.4.2 熵計算的例子
3.5 習題
第4章 Shannon—McMillan—Breiman定理
4.1 條件期望，條件測度和條件熵
4.2 Shannon—McMillan—Breiman定理
4.3 測度熵的另一種定義
4.4 習題
第5章 拓撲熵
5.1 拓撲熵的開覆蓋定義
5.2 拓撲熵的等價定義
5.2.1 用生成集和分離集定義拓撲熵
5.2.2 開覆蓋定義，生成集定義，分離集定義相互等價
5.2.3 迭代系統和乘積系統的拓撲熵
5.3 非游蕩集Ω（F）和h（T）=h（T|Ω（T））的證明
5.3.1 非游蕩集的概念和簡單性質
5.3.2 證明h（T）=h（T|Ω（T）
5.4 拓撲熵的計算（I）
5.4.1 可擴同胚
5.4.2 可擴映射的拓撲熵
5.5拓撲熵的計算（Ⅱ）
5.6習題
第6章變分原理
6.1度量空間的測度
6.1.1 Borel概率測度的相等
6.1.2 M（X1的拓撲
6.1.3 M（X，T）和E（X，T）
6.1.4不變測度的生成
6.1.5遍歷測度的通有點
6.2遍歷分解定理
6.2.1定義4個集合
6.2.2遍歷分解定理
6.2.3遍歷分解定理的另外形式
6.3熵映射
6.4變分原理
6.5拓撲Markov鏈與最大熵測度
6.6拓撲混合但統計平凡的一個例子
6.6.1例子的構造
6.6.2（A，σ）的拓撲混合性
6.6.3唯一的遍歷測度支撐在唯一的不動點上
6.7習題
第7章流的熵
7.1時間1映射的熵
7.2等價流和Ohno的例子
7.2.1拓撲等價與拓撲共軛
7.2.2 Ohno的例子的構造
7.2.3對例子的進一步討論
7.3流的熵的另一種定義
7.4習題
第8章拓撲壓
8.1拓撲壓的定義
8.1.1用生成集和分離集給出的拓撲壓定義
8.1.2拓撲壓的開覆蓋定義
8.1.3定義的等價性討論
8.2拓撲壓的性質
8.2.1拓撲壓的幾個性質
8.2.2拓撲壓的變分原理
58.3平衡態
8.4習題
參考文獻
第8章 拓撲壓
參考文獻

拓撲等價的兩個流具有相同的軌道拓撲結構，因而具有相同的動力學性態。考慮到離散系統情形拓撲熵是拓撲等價系統的不變量，人們也希望拓撲熵能是等價流的某種程度上的不變量，誠然，拓撲熵隨時間變換而變化，它在允許時間變換的流等價之下應該以相當復雜的方式變化，但至少希望等價的流能保持0熵和∞熵這樣極端的熵值，實際情況是等價流的熵變化可以相當奇異。1980年Ohn0構造了例子（見參考文獻『9]）指出，等價的連續流可以不保持0熵。2009年Sun—Youn9—Zhou構造例子（見參考文獻[15]）指出，即使在微分流（即流作為映射是C∞的）范疇這種現象也存在，即等價的微分流可以不保持0熵。這例子說明，熵的奇異變化不是由空間拓撲和流的微分正則性引起的，而是由流的時間重新參數化引起的，Sun—Zhang構造的例子則展示了極端奇異情形：等價的兩個連續流一個有0熵而另一個有∞熵（見參考文獻[17]）。這些奇異現象只在帶不動點的等價流發生，即沒有不動點的等價流保持0熵和∞熵。