中央研究院

有朋自遠方來－專訪馬志明教授何謂廣義相對論？橢圓的曲率公式和萬有引力的平方反比規律二元算機不等式的一個無字證明

178期編者的話黃武雄 小書與大書—《初等微分幾何講稿》增訂版序葉宗樺 初等微分幾何講稿與我 一段引人入勝又興味十足的閱讀經驗張海潮 教高中生微積分基本定理張海潮 從運動學的觀點看描繪函數圖形的教學林福林、林子喬 矩形電阻網路串並聯順序及相關不等式的推導張進安 9 的倍數的數字和是 9 的幾倍許閎揚 使用歐拉公式來求解一些平面分割數的問題范谷瑜、林鳳美 格子圖形中的

數學傳播季刊166第四十二卷第三期

有朋自遠方來－專訪坂內英一(Eiichi Bannai)教授

188期編者的話有朋自遠方來──專訪Felipe Cucker教授林琦焜 Lagrange的參數變數法林福林 林子喬 廣義的幾何分佈之期望值探討及一些結果林保平 四維空間物件初探在數學算板中的實踐游雁婷 楊宗穎 不同構毛毛蟲圖的數量與組合性質穎青 初等的問題宜用初等的辦法陳博彥 以數學模型論述太平盛世君臣之義

1997 年，IBM 的 Deep Blue 擊敗了國際象棋衛冕世界冠軍 Kasparov。間隔多年，電腦程式 AlphaGo 在 2016 年打敗人類圍棋比賽世界冠軍。 其間人工智慧有了什麼重大進展？ Deep Blue 只需以 brute force 快速分析，AlphaGo 則藉助於強化學習 (Reinforcement learning)。 姚鴻澤院士講述箇中關鍵及其與數學的關聯。　強化學習藉由電腦與某動態環境不斷重複互動，來學習正確執行任務。 這種嘗試錯誤的學習方法，使電腦在無人干預、 沒被寫入明確的執行任務程式下，能夠做出一系列的決策。 強化學習的運作主要仰賴動態環境中隨外部條件變化而改變的資料。 強化學習之所以能達成目標，是藉著軟體當中被稱為主體 (agent) 的部分在環境中進行探索、 互動和學習。 為了學習如何從觀察去調整策略，主體會反覆嘗試錯誤，而正確的動作會得到一個獎賞 (reward) 來強化。 迄今已開發出許多強化學習訓練演算法，其中最熱門者是以 Deep Neural Network 來建構。　Neural Network 參考生物神經系統的結構，神經元 (Neuron) 互相連結，由外部神經元接收信號，再層層傳導至其他神經元，最後做出反應。 Neural Network 將神經系統抽象化，前後連結多個機率模型 Logistic Regression : Input Layer 是接收信號的神經元，Hidden Layer 是隱藏層，而 Output Layer 是做出反應的輸出層。 Hidden Layer 及 Output Layer 上每一個節點的值等於上一層所有節點的加權總和 yj=xij×Wij (矩陣 (W) 的每一行對應一個 neuron 的 weight, 行數就是 neuron 的個數； 而 input x和 output y都是一個列向量，行數就是 feature 的個數 (也是 neuron 的個數, neuron 的本質就是把 feature 變換到另一個空間))； 它就是統計學的簡單回歸 (Regression)，而我們可用最小平方法求得 W。 但此種模型只能解決線性分類，切割過於簡單。 Neural Network 做了以下的強化，以解決一般性的問題：首先，在上述的公式乘上一個非線性函數 Activation

數學傳播138 目錄： 陳省身與漢堡大學Bernoulli多項式與連續冪次和探討認識機率神奇的冪和三角形Mordell的一個問題對〈疊書問題〉一文的回響複分析五講 第五講

數學傳播季刊140第三十五卷第四期，內容包含： ‧丘成桐院士演講－弦論和宇宙隱維的幾何‧有朋自遠方來－專訪 Robert Griess 教授‧怪物與月光（Monster and Moonshine）－淺談 1998 年 Fields Medal 得主 Richard Borcherds 的數學工作‧沈淵源：公鑰密碼之旅‧張海潮：從代數到算術－獻給國中小的老師‧周國定：試論圓錐面平面截口的展開‧洪

數學傳播季刊141第三十六卷第一期，內容包含： ‧有朋自遠方來－專訪 David Vogan 教授‧林琦焜：關於Euler級數的幾個觀點‧李光濱：平面凸五邊形及凸六邊形面積的研究‧林開亮：Hurwitz-Radon矩陣方程‧洪偉誠、李俊賢、蔡誠祐、何家興、張福春：美國高中數學測驗 AMC 12 之機率問題（下）‧吳裕東：一組幾何不等式的類似‧劉步松：正三角形和五邊形的兩個性質

有朋自遠方來－專訪Neil Trudinger教授相對速度是否相等？－張海潮Lovasz的雨傘－張鎮華「抽象代數」真的抽象嗎？（上）－沈淵源

編者的話本期「有朋自遠方來」同時訪問三位正值盛年的數學家，他們以不同的因緣進入數學，各有獨到的見解與成果。訪談中不時浮現一個議題：數學是否仍是科學的中心？數學家抱怨物理學家與工程師不願與數學家對話，事實上，物理、工程、金融、經濟甚或生物都需要數學作為工具。今日電腦進步，網路發達，這些需要用數學的人多捨棄數學推導，直接套用軟體做計算研究，這種現象非學界之福。想有所改變，數學界特別要主動改變調整；做研

有朋自遠方來－專訪宮岡洋一教授雙邊Hardy不等式及其幾何應用Haruey Plotter與原上的有理點

有朋自遠方來－專訪Clifford Taubes教授Lee-Yang 單位圓定理金融中波動率的數學問題

K-12數學教育的危機－伍鴻熙談美國中小學數學教育有朋自遠方來－專訪Mourad Ismail教授邁好科學研究的第一步進擊的數學家－孿生之牆的突破

數學傳播季刊139第三十五卷第三期，內容包含： 有朋自遠方來－專訪 Philippe Flajolet 教授 ‧林琦焜：數學的詩篇－Fourier 分析‧沈淵源：交錯級數收斂性的探討‧李碩彥：平行四邊形的大家族‧黃衡之、潘建強：在足球場遇上 Regiomontanus‧平斯：梨園數字‧張家麟、鄭曉暉：什麼是負正則連分數？－漫談 Reg 與 Neg‧王翼勳：孫子剩餘定理與高斯剩餘定理‧廖信傑：對

專訪Persi Diaconis教授張海潮：利用微積分得到1k+2k+…+nk的求和公式張海潮：利用切線段的總長建構弧長的上和余家富、洪梵雲：二次域類數與二元二次型理論介紹

十六世紀的義大利已解出三次及四次方程。十九世紀初，Abel (1802〜1829)才證明出五次方程式未必有根式解，其後Galois (1811〜1832)提出五次方程式有根式解的充要條件：方程式對應的群的結構要夠好。從方程式的「表象」提煉出「規則」的抽象化歷程，耗時兩百多年。之後Frobenius (1849〜1917)奠定了表現理論的基礎，同時硏究表象（模）及規則（代數)。賴俊儒教授鋪陳這整個歷史。 而人工智慧的一個重大缺陷，恰就是無法從具體資訊中提煉出抽象槪念。人工智慧或許能夠證明定理，但仍無法提出有趣的數學抽象槪念來產生定理。 John Wallis (1616〜1703)生於牛頓（1643〜1727)的上一個世代，博學多識。他是無窮小微積分的先驅，啟發了牛頓的工作。他並引進「無限大」的數學符號∞，也擅長密碼破解。當時大多數數學家認為代數缺乏歐幾里德證明的堅實基礎，因此代數比不上幾何。然而Wallis認同將代數作爲產生新想法和新結果的手段。不同於牛頓，他樂於以代數形式發表結果。...