現代數學基礎叢書

《臨界非線性色散方程》主旨是以能量臨界Schrodinger方程、聚焦非線性Klein-Gordon方程為範例,向讀者介紹近年來非線性色散(波)方程研究中派生的Bourgain能量歸納法、陶哲軒I-團隊的相互作用Morawetz估計及其局部化技術、Kenig-Merle在色散框架下發展的變分原理與剛性方法。主要涉及非線性色散方程的物理背景、Fourier分析基礎及Strichartz估計、變分法與橢圓理論:基態解及其變分刻畫、集中緊致原理與輪廓分解、非聚焦能量臨界Schrodinger方程的整體適定性與散射理論、聚焦能量臨界Schrodinger方程及非線性Klein-Gordon方程的散射理論。與此同時,以評述的形式給出其他非線性色散方程的研究進展及相關參考文獻。希望通過《臨界非線性色散方程》使青年學者掌握如何用現代分析,特別是調和分析來研究非線性色散方程,儘快進入該研究領域的前沿。

自1998年PT對稱量子力學(非經典量子力學)被提出以來,逐步激發了人們對有關PT對稱理論和實驗方面的廣泛關注.作者自2007年開始研究PT對稱相關的問題,《PT對稱非線性波方程的理論與應用》的主要內容源于作者的部分研究成果.《PT對稱非線性波方程的理論與應用》主要闡述PT對稱理論、方法及其在線性和非線性波方程中的應用,主要針對具有物理意義的不同複值PT對稱勢,研究非厄米Hamilton算子具有全實特徵值譜的參數分佈、非線性光學系統及相關領域中的非線性Schr？dinger方程(其在Bose-Einstein凝聚態中被稱為Gross-Pitaevskii方程)、高階非線性Schr？dinger方程、高階非線性Schr？dinger方程、導數非線性Schr？dinger方程、Ginzburg-Landau方程、非局域非線性Schr？dinger方程與三波相互作用耦合系統等非線性波方程的不同類型孤子解和peakon解、相互作用、穩定激發以及動力學性質.這些性質和結果可能激發量子力學、非線性光學與Bose-Einstein凝聚態等相關領域的交叉應用,也為相關物理實驗的設計提供理論基礎和數據支撐.

本書內容涉及Diophantine數及向量、Brjuno數及向量、Liouville數及向量的基本性質；一維小除數理論在研究解析芽的線性化、平面映射的解析不變曲線、出現在量子力學和組合數論中的泛函微分方程的解析解、廣義迭代根問題的諸多方面的應用；多維小除數理論在研究圓周和環面上的擬週期驅動流的線性化、退化擬週期驅動系統的不變環面的存在性和擬週期分叉、具有擬週期驅動偏微分方程Liouville不變環面的保持性以及二維完全共振薛定諤方程擬週期解的構造方面的應用。

本書介紹隨機分析及隨機控制的基本理論與方法。第1章介紹布朗運動與鞅，涵蓋定義、停時定理、Doob不等式、下鞅的Doob-Meyei分解定理、Meyer過程等內容；第2章介紹隨機積分、Ito公式、鞅表示定理，以及測度變換的Girsanov定理。第3章介紹隨機微分方程基礎：解的存在唯一性、解對係數的連續依賴性等；第4章介紹倒向隨機微分方程的基本內容；第5章給出了隨機控制問題的基本框架，用凸變分的方法推導最大值原理(包括線性二次控制問題的求解)、動態規劃原理，以及兩者之間的聯繫。

本書在常微分方程自治系統的分支理論基礎上，圍繞週期系統和隨機系統，對這兩類系統的分支理論進行延拓。內容包括自治系統、週期擾動系統、隨機擾動系統的分支研究，以及在生物、信息、物理、經濟等領域的應用。

本書共分三章：第1章主要介紹相關的基本概念和工具，包括歐氏空間、拓展實值函數、函數半連續性、包算子、仿射映射等；第2章聚焦於凸集和凸錐以及各自誘導的包算子，主要內容包括凸包、相對拓撲、錐近似、投影、Moreau分解和分離定理等；第3章聚焦於凸函數，主要內容包括凸函數的仿射下界、Moreau包絡、連續性、對偶理論、次微分等。

近年來,特別是二十世紀中期以來數字計算機和數字通信、網絡通信和量子通信的發展,數論(包括代數數論)在數學其他分支以及統計試驗設計、數值計算、物理學特別是信息領域得到廣泛而深刻,甚至是"不可預測"的應用.代數數論逐漸成為這些領域的研究工具和手段,想瞭解和學習代數數論的人日益增加.本書講述的是"經典"代數數論及其在通信領域的應用，分兩部分，第一部分講述理論方面，介紹經典代數數論的基本內容(代數整數環和素理想分解,理想類群和類數,單位群),也介紹一點解析方法和二十世紀初期產生的局部化方法。第二部分介紹代數數論在通信方面的應用，我們在這裡挑選的應用例子,基於以下幾個原則：它們在應用中是重要的；它們能展示代數數論的應用威力。

《金融數學引論(第二版)》由淺入深、全面系統地介紹金融數學基本理論,著重介紹鞅方法在未定權益定價和對沖中的應用。內容包含離散時間投資組合選擇理論和金融市場模型、Black-Scholes模型及其修正、奇異期權的定價和對沖、Ito過程和擴散過程模型、利率期限結構模型、最優投資組合與投資-消費策略、靜態風險度量。《金融數學引論(第二版)》第四章系統講述了Ito隨機分析理論,這是金融數學中鞅方法的理論基礎。該章內容可以作為概率論研究生學習Ito隨機分析的簡明教材。 本版是在第一版基礎上增加了基於半鞅隨機分析理論的金融數學(共計4章),內容取材於2018年由Springer和科學出版社聯合出版的作者的英文專著Introduction to Stochastic Finance。