中研院

數學傳播季刊16４第四十一卷第四期

K-12數學教育的危機－伍鴻熙談美國中小學數學教育有朋自遠方來－專訪Mourad Ismail教授邁好科學研究的第一步進擊的數學家－孿生之牆的突破

數學傳播季刊139第三十五卷第三期，內容包含： 有朋自遠方來－專訪 Philippe Flajolet 教授 ‧林琦焜：數學的詩篇－Fourier 分析‧沈淵源：交錯級數收斂性的探討‧李碩彥：平行四邊形的大家族‧黃衡之、潘建強：在足球場遇上 Regiomontanus‧平斯：梨園數字‧張家麟、鄭曉暉：什麼是負正則連分數？－漫談 Reg 與 Neg‧王翼勳：孫子剩餘定理與高斯剩餘定理‧廖信傑：對

《大域微分幾何》三卷書再版序推薦黃武雄的《大域微分幾何》上中下三卷虛功原理及歐拉－拉格朗日方程式從立體幾何到坐標幾何－兼談三垂線定理

專訪Persi Diaconis教授張海潮：利用微積分得到1k+2k+…+nk的求和公式張海潮：利用切線段的總長建構弧長的上和余家富、洪梵雲：二次域類數與二元二次型理論介紹

文藝復興時期，義大利的科學家經常身兼藝術家，科學與藝術密集互動。但有很長一段時期，義大利的科學硏究與工業發展分道揚鑣，與社會科學也全然脫鉤;科學知識的客觀性和中立性普獲認同，科學完全不涉及社會責任。因此之故，科學、哲學、藝術、社會科學間共通的話題常是哲學、方法論和意識形態問題。而義大利科學哲學對物理和類似的硬科學深感興趣。廣義相對論、狹義相對論、量子力學，以及諸如確定論和不確定論之類的理論的哲學

數學傳播季刊166第四十二卷第二期

有朋自遠方來－專訪坂內英一(Eiichi Bannai)教授

188期編者的話有朋自遠方來──專訪Felipe Cucker教授林琦焜 Lagrange的參數變數法林福林 林子喬 廣義的幾何分佈之期望值探討及一些結果林保平 四維空間物件初探在數學算板中的實踐游雁婷 楊宗穎 不同構毛毛蟲圖的數量與組合性質穎青 初等的問題宜用初等的辦法陳博彥 以數學模型論述太平盛世君臣之義

十六世紀的義大利已解出三次及四次方程。十九世紀初，Abel (1802〜1829)才證明出五次方程式未必有根式解，其後Galois (1811〜1832)提出五次方程式有根式解的充要條件：方程式對應的群的結構要夠好。從方程式的「表象」提煉出「規則」的抽象化歷程，耗時兩百多年。之後Frobenius (1849〜1917)奠定了表現理論的基礎，同時硏究表象（模）及規則（代數)。賴俊儒教授鋪陳這整個歷史。 而人工智慧的一個重大缺陷，恰就是無法從具體資訊中提煉出抽象槪念。人工智慧或許能夠證明定理，但仍無法提出有趣的數學抽象槪念來產生定理。 John Wallis (1616〜1703)生於牛頓（1643〜1727)的上一個世代，博學多識。他是無窮小微積分的先驅，啟發了牛頓的工作。他並引進「無限大」的數學符號∞，也擅長密碼破解。當時大多數數學家認為代數缺乏歐幾里德證明的堅實基礎，因此代數比不上幾何。然而Wallis認同將代數作爲產生新想法和新結果的手段。不同於牛頓，他樂於以代數形式發表結果。...

1997 年，IBM 的 Deep Blue 擊敗了國際象棋衛冕世界冠軍 Kasparov。間隔多年，電腦程式 AlphaGo 在 2016 年打敗人類圍棋比賽世界冠軍。 其間人工智慧有了什麼重大進展？ Deep Blue 只需以 brute force 快速分析，AlphaGo 則藉助於強化學習 (Reinforcement learning)。 姚鴻澤院士講述箇中關鍵及其與數學的關聯。　強化學習藉由電腦與某動態環境不斷重複互動，來學習正確執行任務。 這種嘗試錯誤的學習方法，使電腦在無人干預、 沒被寫入明確的執行任務程式下，能夠做出一系列的決策。 強化學習的運作主要仰賴動態環境中隨外部條件變化而改變的資料。 強化學習之所以能達成目標，是藉著軟體當中被稱為主體 (agent) 的部分在環境中進行探索、 互動和學習。 為了學習如何從觀察去調整策略，主體會反覆嘗試錯誤，而正確的動作會得到一個獎賞 (reward) 來強化。 迄今已開發出許多強化學習訓練演算法，其中最熱門者是以 Deep Neural Network 來建構。　Neural Network 參考生物神經系統的結構，神經元 (Neuron) 互相連結，由外部神經元接收信號，再層層傳導至其他神經元，最後做出反應。 Neural Network 將神經系統抽象化，前後連結多個機率模型 Logistic Regression : Input Layer 是接收信號的神經元，Hidden Layer 是隱藏層，而 Output Layer 是做出反應的輸出層。 Hidden Layer 及 Output Layer 上每一個節點的值等於上一層所有節點的加權總和 yj=xij×Wij (矩陣 (W) 的每一行對應一個 neuron 的 weight, 行數就是 neuron 的個數； 而 input x和 output y都是一個列向量，行數就是 feature 的個數 (也是 neuron 的個數, neuron 的本質就是把 feature 變換到另一個空間))； 它就是統計學的簡單回歸 (Regression)，而我們可用最小平方法求得 W。 但此種模型只能解決線性分類，切割過於簡單。 Neural Network 做了以下的強化，以解決一般性的問題：首先，在上述的公式乘上一個非線性函數 Activation

莫宗堅、黃蘋：世界各地古代的數學蔡政江：數字與方程式的對稱性 ─ Langlands綱領林琦焜：Fresnel積分 ─ 化虛為實的高斯積分張海潮：狹義相對論常見的幾個議題及實驗

本期專訪Andrei Okounkov教授。Okounkov最初的研究領域是群表現理論,側重組合和漸近面向。 以此為起點,他在複、 實代數幾何、統計力學、 動力學系統、概率論及拓樸弦論等領域,取得了驚人成果。 他的研究植根於極為基本的概念,譬如分割(partition),這是表現理論核心的基本組合概念。他的核心想法是:就自然的機率測度而言,分割和其他表現論的概念應該被視為隨機物件。 他將此想法與幾何、 化學、高能物理結合,應用於諸多領域。Okounkov和合作者的諸多結果是以Gromov-Witten (GW)不變量理論為背景。GW不變量是源於計數幾何(enumerative geometry)的經典問題,例如:平面一般位置上,經過3d−1個點的d次的有理曲線的數目是多少?八十年代末,弦理論學者藉由曲線數的生成函數所遵循的微分方程,以冪級數求解這些方程,得到曲線數目的遞歸關係。一般來說, GW理論探索曲線到複流形的映射在模空間的交點數目。設V是複非奇異投影多樣體。 在一系列論文中, Okounkov和Pandharipande對曲線的GW不變量做了詳盡的描述。 他們證明:V=P1的生成函數是Todd階序的tau函數,且V=P1時GW不變量出乎意料地簡單,比V為點時的GW不變量更為基本,因為後者可藉由取極限而獲得。箇中關鍵因素是Gromov-Witten/Hurwitz對應關係;該關係聯繫起曲線V的GW不變量與Hurwitz數,其中的Hurwitz數是:在給定點上,給定分歧(ramification)類型的分歧覆蓋(branched covering)數。其後, Maulik, Nekrasov, Okounkov及Pandharipande的論文推測:對於特定類別的形狀, Gromov-Witten計數恰好對應於所謂的Donaldson-Thomas理論(該理論對曲線有迥異的理解)。在此對應關係,某類型的隨機曲面至為關鍵。橢圓曲線上的點滿足某二元三次方程,形如y2=x3+1。陳榮凱教授介紹橢圓曲線的代數結構,概述Mordell-Weil定理。 之後為了在複數平面的商群上描繪出三次曲線的樣貌,他考慮亞純函數,介紹亞純雙周期函數Weierstrass P-function℘(z);℘函數及其導數可用於參數化橢圓曲線,並可對給定整數格子點生成週期橢圓函數體。最後他概述橢圓