數學在科學和社會中的作用(第2版‧珍藏版)（簡體書）

數學思想是數學家的靈魂。試想：離開公理化思想，何談歐幾裡得、希爾伯特？沒有數形結合思想，笛卡兒焉在？沒有數學結構思想，怎論布爾巴基學派？……
數學家的數學思想當然首先體現在他們的創新性數學研究之中，包括他們提出的新概念、新理論、新方法。牛頓、萊布尼茨的微積分思想，高斯、波約、羅巴切夫斯基的非歐幾何思想，伽羅瓦“群”的概念，哥德爾不完全性定理與圖靈機，納什均衡理論，等等，匯成了波瀾壯闊的數學思想海洋，構成了人類思想史上不可磨滅的篇章。
數學家們的數學觀也屬於數學思想的範疇，這包括他們對數學的本質、特點、意義和價值的認識，對數學知識來源及其與人類其他知識領域的關係的看法，以及科學方法論方面的見解，等等。當然，在這些問題上，古往今來數學家們的意見是很不相同，有時甚至是對立的。但正是這些不同的聲音，合成了理性思維的交響樂。
正如人們通過繪畫或樂曲來認識和鑒賞畫家或作曲家一樣，數學家的數學思想無疑是人們了解數學家和評價數學家的主要依據，也是數學家貢獻於人類和人們要向數學家求知的主要內容。在這個意義上我們可以說：
“數學家思，故數學家在。”
數學思想的社會意義
數學思想是不是只有數學家才需要具備呢？當然不是。數學是自然科學、技術科學與人文社會科學的基礎，這一點已越來越成為當今社會的共識。數學的這種基礎地位，首先是由於它作為科學的語言和工具而在人類幾乎一切知識領域獲得日益廣泛的應用，但更重要的恐怕還在於數學對於人類社會的文化功能，即培養發展人的思維能力，特別是精密思維能力。一個人不管將來從事何種職業，思維能力都可以說是無形的資本，而數學恰恰是鍛煉這種思維能力的“體操”。這正是為什麼數學會成為每個受教育的人一生中需要學習時間最長的學科之一。這並不是說我們在學校中學習過的每一個具體的數學知識點都會在日後的生活與工作中派上用處，數學對一個人終身發展的影響主要在於思維方式。以歐幾裡得幾何為例，我們在學校裡學過的大多數幾何定理日後大概很少直接有用甚或基本不用，但歐氏幾何嚴格的演繹思想和推理方法卻在造就各行各業的精英人才方面有著毋庸否定的意義。事實上，從牛頓的《自然哲學的數學原理》到愛因斯坦的相對論著作，從法國大革命的《人權宣言》到馬克思的《資本論》，乃至現代諾貝爾經濟學獎得主們的論著中，我們都不難看到歐幾裡得的身影。另一方面，數學的定量化思想更是以空前的廣度與深度向人類幾乎所有的知識領域滲透。數學，從嚴密的論證到精確的計算，為人類提供了精密思維的典範。
一個戲劇性的例子是在現代計算機設計中扮演關鍵角色的“程序內存”概念或“程序自動化”思想。我們知道，第一臺電子計算機（ENIAC）在制成之初，由於計算速度的提高與人工編制程序的遲緩之間的尖銳矛盾而瀕於夭折。在這一關鍵時刻，恰恰是數學家馮·諾依曼提出的“程序內存”概念拯救了人類這一偉大的技術發明。直到今天，計算機設計的基本原理仍然遵循著馮·諾依曼的主要思想。馮·諾依曼因此被尊為“計算機之父”（雖然現在知道他並不是歷史上提出此種想法的唯一數學家）。像“程序內存”這樣似乎並非“數學”的概念，卻要等待數學家並且是馮·諾依曼這樣的大數學家的頭腦來創造，這難道不耐人尋味嗎？

大家知道這種混合的（部分神經的和部分體液的）反饋鏈條可以產生非常重要的過程。因此保持血壓穩定的機制就屬於這種混合類型。感覺和報告血壓的神經通過一個神經脈衝序列，即以一種數字方式來做這件事。該脈衝系統誘發的肌肉收縮仍可以被描述為許多數字脈衝的疊加。然而，這樣一種收縮對於血液流的影響卻是流體動力學的，因而是模擬的。這樣產生的血壓對於報告該壓迫的神經的反作用將結束這一循環反饋，此時模擬過程又轉變為數字過程。因此，在這一點上，生物體與計算機器之間的比較毫無疑問是有缺陷的。生物體具有非常複雜的——部分數字的和部分模擬的——機制。計算機器，至少就我們這裡討論的其最近的形式來說，是純粹數字的。因此，我必須請你們接受對於該系統的過分簡化。盡管我很清楚生物體中的模擬部分，而且否定其重要性將是荒謬的，然而為了簡化討論，我將忽視那一部分。我將考慮生物體就好像它們是純粹的數字自動機。
每個基元的混合特徵。除此之外，人們可能會爭辯說即便神經元也不完全是一個數字器件。這一點已被人們多次提出和強調。如果我們相當細致地考慮事物，其中確實有大量的真實性。在這方面，相關的斷言是，能被賦予“全或無”特徵的完全成熟的神經脈衝。並不是一種基本現象，而是高度複雜的。它是構成神經元的電化學復合物的一種退化形態，而就其完全的分析功能來說，必須將它視為一臺模擬式機器。的確，有可能以這樣一種方式刺激神經元，使得釋放神經刺激的故障將不會發生。在這一“閾下刺激”區域，我們首先（即對於最弱的刺激）發現正比於刺激的響應，接著（在較高的，但仍屬於閾下的刺激水平上）發現依賴於更複雜的非線性規律，但仍然是連續可變而非故障類型的響應。在閾下區域的內部和外部也存在其他的複雜現象：疲勞，求和，某種形式的自激振蕩，等等。
盡管這些觀察具有真實性，但它們可能代表一種對於“全或無”器件概念不正確的僵化批評。機電繼電器或真空管正常使用時，毫無疑問是“全或無”器件。的確，它們是這種器件的原型。然而它們實際上都具有複雜的模擬機制，它們根據適當調節的刺激，連續地、線性地或非線性地做出反應，僅在非常特定的運行條件下才顯示“故障”現象或“全或無”響應。這一性能與上述神經元的性能相差無幾。稍微換一種說法。這些中每一個都不是完全的“全或無”器件（我們的技術和生理學經驗幾乎沒有表明存在絕對的“全或無”器件）。然而，這是不相干的。就“全或無”器件而言，我們應當指滿足以下兩個條件的事物。其一，它在某些合適的運行條件下以“全或無”的方式運行。其二，這些運行條件是它被正常使用時的運行條件；它們表示的是它作為一個構成部分的大型生物體內部功能上的正常狀態。因而重要的事實並非一個器件是否必然地和在所有條件下具有“全或無”特徵——情況大概從來不是這樣，而是在其適當的背景中它是否主要地和看來傾向於主要地作為一個“全或無”器件發揮功用。我意識到這個定義引來了相當不受歡迎的關於背景的“恰當性”、關於“外觀”和“意圖”的判據。然而，我看不出我們如何能夠避免使用它們，以及我們如何能夠在它們的應用中放棄依靠利用常識。因此，我將在下文中使用神經元是一種“全或無”數字器件這一工作假設。我認識到對此尚無定論，但我希望以上關於該工作假設局限性的補充說明以及使用它的理由，將使你消除疑慮。我只是想要簡化我的討論。我並不試圖要臆斷任何重要的未解決問題。
在同樣意義上，我認為可以將神經元作為電動器件來討論。神經元的刺激，其脈衝的發展和進步，以及該脈衝在突觸的刺激效果都可以從電動方面加以描述。為了理解神經細胞的內部功能，相伴的化學過程和其他過程是重要的。它們甚至比電現象更重要。然而，對於將一個神經元描述為一個“黑箱”、一個“全或無”類型的器件來說，它們似乎沒什麼必要。再有，這裡的情形並不比真空管的情形更糟糕。在這裡，純粹的電現象還伴隨有眾多其他的固體物理學、熱力學、機械學現象。所有這些對於了解真空管的結構都是重要的，但是如果把真空管當成概要描述的“黑箱”，那麼最好將其排除在討論之外。
轉換器或繼電器概念。從以上討論的方面看，神經元和真空管是同一個一般實體的兩個實例，習慣上稱其為“轉換器”或“繼電器”。（當然，機電繼電器是另一個實例。）這樣的一個器件被定義為一個“黑箱”，它通過一種擁有能量的獨立響應對特定的刺激或刺激組合做出反應。也就是說，該響應有望具有足夠的能量以引起若干與啟動它的刺激同樣種類的刺激。因此，該響應的能量不可能由最初的刺激來提供。它必須起源於一個不同的獨立動力源。該刺激僅僅引導、控制來自這個源的能量流。
（在神經元的情形，這個源是神經元的新陳代謝。在真空管的情形，它是保持陰極板電勢差的動力，無論該真空管是否正在導電，而在較小程度上它是使“沸騰”電子離開陰極的燈絲功率。在機電繼電器的情形，它是繼電器正在開閉其通路的電流源。）
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