隨機過程(第三版)（簡體書）

本書介紹在應用中經常遇到的幾種基本隨機過程，如泊松過程、更新過程、Markov過程、平衡過程、Brown運動、Ito微分公式和線性隨機微分方程。材料豐富，每章結合大量有實際背景的例子來解釋基本概念，并配有一定量的習題。

方兆本，男，漢族， 1945年1月生，浙曾金華人，1966年9月參加工作，1995年5月加入民建，研究生學歷、統計學博士，教授。現任十屆省政協副主席，民建省委主委，中國科技大學管理學院院長、博導。研究方向為理論統計、可靠性、多元分析、金融工程、風險管理。主要研究成果:推廣Hofffding引理被收入Cox著統計漸進技術。對多維相依序、泊松過程刻畫、非參數回歸等問題作出深入研究。寫作作品多部，其中既有獲得***“十一五”規劃教材，又有獲得全國高等教育精品教材的圖書。

隨著我國經濟建設的不斷深入發展，隨機過程理論在我國各方面的應用也越來越多。本教材再版後,
已故陳希孺院士就對我們提到為什麼沒有把鞅過程納入教材。確實，在金融衍生品的定價，信號處理等領域，已在大量使用
鞅過程，大家對Brown運動和有關過程也希望有更多的了解。藉此再版的機會我們增加了鞅過程和停時的內容.教材出版後,我們感謝多所院校使用了這本教材,在使用過程中多位老師也發現了一些
錯誤,藉此再版的機會我們作了最必要的修改.隨著社會與經濟的發展,
在各個領域人們面對越來越多的不確定性,對它們的建模也引起了人們廣泛的興趣.金融領域
計算期權定價的$Black-Scholes$公式因$Scholes$與$Merton$獲得1997年的諾貝爾獎而聲名遠揚.其
主要知識背景就是隨機積分和$It\hat{o}$公式.為了使讀者能為學習現代金融理論
作些準備,藉這次再版之際我們加入了相關的內容.

作者還想藉此機會感謝鄭堅堅老師的幫助.本書是作者與中國科學技術大學數學系同事們多年從事本課程教學的積累。
它是為大學理工科本科生、研究生概率統計公共課所編寫的教材、是陳希孺
教授所著的《概率論與數理統計》的續篇。本書可以作非數學系應用數學輔
修專業的隨機過程的教本，主要討論隨機過程的基本理論及其應用。每章正
文之後有配套的習題供讀者練習。隨機過程是一門應用性很強的學科、各個
領域中的科技工作者都能從中發現有啟發性的模型。單純照搬模型比較容易，
難的是在實際問題中簡化條件提煉出恰當的隨機模型。學習這門課程應在這
方面多做努力，這也是本書編寫的宗旨。

學習本書要有微積分和初等概率論的基礎，兼顧內容闡述的需要和學生的實際
接收能力書中用到了矩母函數、生成函數、複變函數、微分方程求解和矩陣代
數等數學工具。對某些工具不熟悉的讀者可以跳過證明推理直接閱讀有關結論。
這並不影響對本課程的基本理解。

使用本教材的教員自然可以根據課時限制及各系各科的不同需求而有所側重。
比如，刪去2.3節，3.3節中定理3.3和3.4的證明，3.4、3.6節、4.2節的定理
4.2、4.4節、以及5.3節將仍是一份應用隨機過程的ABC教材。書末曾備有習題
答案或提示，但考慮到附在書後出版對教與學無益故予以刪除。作者感謝胡太
忠教授幫助演算了書中的全部習題。

第三版說明
第二版說明
第一版前言
第1章 引論
1．1 引言
1．1．1 基本概念和例子
1．1．2 有限維分布和數字特徵
1．1．3 平穩過程和獨立增量過程
1．2 條件期望和矩母函數
1．2．1 條件期望
1．2．2 矩母函數及生成函數
1．3 收斂性
習題1
第2章 Poisson過程
2．1 Poisson過程
2．2 與Poisson過程相聯系的若干分布
2．3 Poisson過程的推廣
2．3．1 非齊次Poisson過程
2．3．2 復合Poisson過程
2．3．3 標值(Marked)Poisson過程
2．3．4 空間Poisson過程
2．3．5 更新過程
習題2
第3章 Markov過程
3．1 Markov鏈的定義和例子
3．2 Markov鏈的狀態分類
3．2．1 互達性和周期性
3．2．2 常返(recurrent)與瞬過(transient)
3．3 Markov鏈的極限定理與平穩分布
3．4 分支過程
3．5 連續時間Markov鏈
3．5．1 連續時間Markov鏈
3．5．2 純生過程
3．6 生滅過程
3．6．1 生滅過程(birth and death process)
3．6．2 Kolmogorov向后向前微分方程
習題3
第4章 平穩過程
4．1 定義和例子
4．2 遍歷性定理
4．3 平穩過程的協方差函數和功率譜密度
4．3．1 協方差函數
4．3．2 幾個常見隨機信號的協方差函數
4．3．3 功率譜密度
4．4 平穩序列的預報
4．4．1 一般預報理論
4．4．2 平穩序列的預報
習題4
第5章 Brown運動
5．1 定義
5．2 Brown運動的性質
5．3 隨機積分和隨機微分方程
5．3．1 積分
5．3．2 微分
5．3．3 關於Brown運動的積分
5．3．4 常系數線性隨機微分方程
5．3．5 n階常系數線性隨機微分方程
5．4 It□微分公式和一般隨機微分方程
5．4．1 It□微分公式
5．4．2 一般隨機微分方程簡介
5．5 Brown運動的其他一些應用
習題5
第6章 鞅過程及其性質
6．1 條件期望及其性質
6．2 鞅和鞅差過程的定義和例子
6．3 鞅和鞅差的性質
6．3．1 鞅的性質
6．3．2 鞅差的性質
6．4 下(上)鞅及其初等性質
6．5 連續時間下的鞅過程和下鞅過程
6．6 停時
習題6
參考文獻
附錄A
附錄B
附表

隨機過程是對一連串隨機事件間動態關係的定量描述。它是在自然科學、工程
科學、社會科學各領域研究隨機現象的有力工具。其應用包羅萬象：氣象預報、
天文觀測、通訊工程、原子物理、宇航遙控、生物醫學、管理科學、運籌決策、
計算機科學、經濟分析、金融工程、人口理論、可靠性與質量控制等許許多多領域都離不開
用隨機過程的理論來建立各種數學模型。

一般，把一族隨機變量定義為隨機過程。英文叫stochastic process。“stocha\-stic"
一詞源於希臘語“$\sigma\tau o\chi\alpha\sigma\tau\iota\kappa o \xi $”意
思是“猜”。但這門科學不是亂猜。在研究隨機過程時人們透過表面的偶然性找
出必然的內在規律並以概率的形式來描述這些規律。從偶然中悟出必然正是這一
學科的魅力所在。

隨機過程的早期歷史屬於物理領域。人們可以追述到Gibbs，Boltzman， Poincar\'{e}
等人在統計力學中的研究以及後來Einstein, Wiener, L\'{e}vy等人的開創性工作。
而Erlang等則在電話流中研究了Poisson過程。而整個學科的理論基礎則是由
Kolmorgorov和Doob奠定的。“Stochastic”這一用詞也在這時流行。生滅過程是
Feller首先引進的。Cramer和L\'{e}vy研究了平穩過程。Xinchin,Palm發展了
排隊論中的過程理論。Doob則研究Markov過程和鞅。這些都是早期研究的重要裡
程碑。目前，這一學科仍在理論和應用兩方面以空前的深度和廣度在迅速發展著。
下面對隨機過程作正式定義：

\begin{Def}~~隨機過程就是一族隨機變量$\{X(t),t \in T \}$,其中$t$
是參數，它屬於某個指標集$T$, $T$稱為參數集。
\end{Def}

一般，$t$代表時間。當$T=\{0,1,2,\cdot\cdot\cdot\}$時也稱隨機過程為
隨機序列。對$X(t)$可以這樣看：隨機變量是定義在空間$\Omega$上的，所以是隨$t$
與$\omega\in\Omega$而變化的，於是可以記為$X( t,\omega)$。當固定一次隨機試驗，
即取定$\omega_0 \in \Omega$時，$X(t,\omega_0)$就是一條樣本路徑。它是$t$的函數，
它可能是連續的，也可能是有間斷點和跳躍的。這是我們通常所觀測到的過程。另一方
面固定了時間$t=t_0$,$\, X(t_0,\omega)$就是一個隨機變量，其取值隨著隨機試驗的結
果而變化。變化有一定的規律，叫做概率分佈。隨機過程在時刻$t$取的值稱作是過程
所處的狀態，狀態的全體稱為狀態空間。根據$T$及狀態空間的不同我們可以對過程進
行分類。依照狀態空間可分為連續狀態和離散狀態；依參數集$T$,當$T$為有限集或
可數集則稱之為離散參數過程否則稱為連續參數過程。當$T$是高維向量則$X(t)$稱作
是隨機場。

\begin{exam}

英國植物學家Brown注意到漂浮在液面上的微小粒子不斷進行不規則的
運動。這種運動叫做Brown運動。它是分子大量隨機碰撞的結果。若記$(X(t),Y(t))$為
粒子在平面座標上的位置，則它是平面上的Brown運動。在統計物理中對它有深入的研
究。
\end{exam}

\begin{exam}一醉漢在路上行走，以概率$p$前進一步，概率$1-p$後退一步。以$X(t)$
記他在街上的位置,則$X(t)$就是直線上的隨機游動。
\end{exam}

\begin{exam}

神經細胞在細胞膜的位勢達到某一臨界值$C$時就要興奮。刺激和抑制兩種
脈衝以一定的速率（比如Poisson過程）抵達細胞。前者使位勢升高，後者使位勢降低。升降
的幅度服從相同的分佈$H(x)$。神經細胞在興奮過後位勢恢復到0，過程再度重複。記$T_i$為
兩次興奮的間隔時間，並記$X(t)$為時刻$t$時細胞膜的位勢，則過程的一次實現如圖1.1所示：