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物理、化學、力學和生物學中物質運動的數學模型往往用微分方程所定義的連續動力系統來模擬，這些動力學模型存在著複雜的動力學行為——混沌性質。《混沌、Mel'nikov方法及新發展》介紹精確地判定Smale馬蹄存在意義下具有混沌性質的Mel'nikov方法，並介紹近年來學者們所發展的同宿和異宿到耗散鞍型週期軌道的同宿和異宿纏結理論。·
名人/編輯推薦
李繼彬、陳鳳娟所著的《混沌Mel'nikov方法及新發展》主要面向從事動力系統應用的讀者，亦可作為碩士研究生、博士研究生和對常微分方程與動力系統感興趣的人員的入門讀物。所介紹的內容是基本的，可供對混沌及其應用感興趣的研究人員參考。閱讀本書需要學習過數學分析和微分方程課程的基礎知識。
目次
《現代數學基叢書》序前言第1章 動力系統的基本概念1.1 流和離散動力系統1.2 基本定義和性質1.3 拓撲共軛、結構穩定性與分枝第2章 符號動力系統、有限型子移位和混沌概念2.1 符號動力系統2.2 有限型子移位2.3 Li-Yorke定理和Sarkovskii序2.4 混沌概念的推廣第3章 二階週期微分系統與二維映射3.1 二階週期微分系統的諧波解3.2 脈衝激勵系統的Poincaré映射3.3 Poincaré映射的線性近似與週期解的穩定性3.4 二維線性映射3.5 二維映射的Hopf分枝與Arnold舌頭第4章 Smale馬蹄與橫截同宿環4.1 Smale的馬蹄映射4.2 Moser定理及其推廣4.3 二維微分同胚的雙曲不變集、跟蹤引理和Smale-Birkhoff定理4.4 Rm上的Cr微分同胚的不變集與雙曲性4.5 分枝到無窮多個匯4.6 Hénon映射的Smale馬蹄第5章 平面Hamilton系統和等變系統5.1 二維可積系統與作用-角度變量5.2 等變動力系統的定義和例子5.3 幾類對稱系統的週期軌道族與同宿軌道5.4 週期解族週期的單調性第6章 Mel′nikov方法：擾動可積系統的混沌判據6.1 由更替法導出的Mel′nikov函數6.2 次諧波分枝的存在性及其與同宿分枝的關係6.3 次諧波解的穩定性6.4 週期擾動系統的Mel′nikov積分6.5 週期擾動系統的次諧波Mel′nikov函數6.6 慢變振子的週期軌道6.7 慢變振子的同宿軌道第7章 Mel′nikov方法:應用7.1 軟彈簧Duffing系統的次諧與馬蹄7.2 具有對稱異宿環系統的次諧與馬蹄7.3 Josephson結的I~V特性曲線7.4 環面上的Van der Pol方程的次諧分枝與馬蹄7.5 生物系統的分枝與混沌性質7.6 兩分量Bose-Einstein凝聚態系統的混沌與分枝7.7 大Rayleigh數Lorenz方程的週期解和同宿分枝7.8 兩個自由度Hamilton系統的混沌性質附錄 Jacobi橢圓函數有理式的Fourier級數第8章 秩一吸引子的概念和混沌動力學8.1 秩一吸引子的概念和混沌動力學理論8.2 在常微分方程中的應用第9章 耗散鞍點的同宿纏結動力學9.1 基本方程和返回映射9.2 動力學結果9.3 具體例子及數值結果9.4 映射R的具體推導附錄 Mel′nikov函數（9.1.3）與Mel′nikov函數（6.4.21）的關係第10章 耗散鞍點的異宿纏結動力學10.1 基本方程和返回映射10.2 動力學結果10.3 具體例子及數值結果10.4 返回映射F的推導附錄 Ee（t），Ee*（t）的極限參考文獻《現代數學基礎叢書》已出版書目·
書摘/試閱
第1章 動力系統的基本概念
本章簡要介紹動力系統的某些基本概念
1.1 流和離散動力系統
“動力系統”這個名詞，由Poincar′e研究多體問題――質點組動力學問題而產生.后來被發揚光大，沿用下來，在數學上具有確定的含義.。考慮定義在Euclid空間Rn上的微分方程組
dx=f（x），（1.1.1）
dt其初始條件為x（0）=x0.設f∈C1（Rn，Rn），x0∈Rn，則（1.1.1）的初值問題解x=φ（t，x0）局部存在唯一.再對f增加解整體存在唯一的條件，即對于一切的t∈R，x0∈Rn，設解x=φ（t，x0）整體存在唯一.由微分方程的一般理論可知，函數φ（t，x0）具有以下的性質：
（1）確定性：對于一切s，t∈R，x∈Rn，有
φ（0，x）=x；φ（s+t，x）=φ（s，φ（t，x））。
（2）連續性：φ（t，x）關于變元t，x在R×Rn連續。
滿足這兩個性質的映射φ:RRn構成以t為參數的從Rn到Rn的單參×Rn→數連續變換群.我們稱φ為Rn中定義的動力系統或流。對于給定的x∈Rn，集合
Orbφ（x）={φ（t，x）|t∈R}。
Rn稱為流φ過點x的軌道。Rn稱為狀態空間或相空間，每個點x∈Rn稱為一個狀態。
如果拋開微分方程，設X是一個拓撲空間（Cr微分流形），一般地，考慮連續映射（Cr映射）φ:R×X→X，并設φ滿足確定性條件：
1.φ（s+t，x）=φ（s，φ（t，x）），對于一切s，t∈R，x∈X成立；
2.φ（0，x）=x，對于一切x∈X成立.此時，稱φ為定義在X上的一個拓撲動力系統（Cr動力系統），或者稱X上的C0（Cr）流。
（1）φs+t=φsφt，對于一切s，t∈R，x∈X成立；
（2）φ0=id。由于對于任何固定的t∈R，φt有逆映射φ.t，因此，φt是一個同胚（Cr微分同胚）。在拓撲空間X上定義的上述流φ同樣關于t構成單參數的變換群，參數的取值范圍是實數加群R+。
如果對流進行離散采樣，研究它每隔一段時間間隔T的狀態，我們得到一個兩邊有無窮多項的序列，φ.2T，φ.T，φ0=id，φT，φ2T，。
這個序列由同胚f=φT所生成，即
φkT=φTφTφT=fff=fk，（1.1.2）
φ.kT=φ.Tφ.Tφ.T=f.1f.1f.1=f.k。（1.1.3）
φT稱為流φ的時刻T映射，又稱Poincar′e映射.特別，φ1稱為流φ的時刻1映射，流φt的時刻T映射可看作流ψT=φTt的時刻1映射。因此，只需考慮T=1情形。
一般地，任給一個同胚（Cr微分同胚）f，f不一定是某個流的時刻1映射，同樣能夠生成一個雙邊序列，f.2，f.1，f0，f1，f2，，（1.1.4）
其中，f0=id，fk=f，fk.1=f，f.???，f；f.k=（f.1）k，顯然f滿足關系：
（1）fk+l=fk，fl，對于一切k，l∈Z成立；
（2）f0=id。
與流的情形類比，人們稱這種由同胚（Cr微分同胚）生成的雙邊序列為離散動力系統.離散動力系統也是一個單參數變換群，其參數取值范圍是整數加群（Z，+）。
由于存在沒有全局截面的流，因此，一般而言，不能說每個流通過取Poincar′e映射必對應一個微分同胚，但是，流經過采樣離散化而得到一個低一維的離散動力系統.流的時刻1映射總是一個同胚。反之，采用“扭擴”（suspension）微分同胚f（見圖1.1.1），可構造f作為某個流的Poincar′e映射。這里不再贅述。正因為流和離散動力系統有這樣緊密的關系，才激勵著離散動力系統理論的大發展.我們研究流所得到的結論，往往可用于微分同胚情形。反之，在一定的條件下，由微分同胚所獲得的信息，可用于研究比微分同胚高一維的流。人們往往首先在微分同胚的研究中分方程研究的動力系統方法。
圖1.1.1離散動力系統的扭擴
上面的討論都是由同胚（Cr微分同胚）生成的系統，如果我們更一般地考慮連續映射（Cr映射）的迭代：f0=id，f1，f2，，fk，，k∈Z+，所得到的系統稱為拓撲半動力系統（Cr微分半動力系統）。
1.2基本定義和性質
設X是拓撲空間（Cr流形），f:X→X是一個同胚（Cr微分同胚）。
定義1.2.1集合Orbf（x）={fk（x）|k∈Z}，Orbf+（x）={fk（x）|k∈Z+}，Orbf。（x）={fk（x）k∈Z.}分別稱為離散動力系統f過點x的軌道、正半軌道和負半軌道。
顯然，Orbf（x）=Orbf+（x）∪Orbf.（x）如不產生混淆，可簡記Orbf（x）為Orb（x）。
定義1.2.2若存在正整數n.1，使得fn（x）=x成立，稱x為f的周期點；使得fn（x）=x成立的最小自然數n，稱為x的周期。特別，周期為1的點，稱為f的不動點。
用記號Per（f）和Fix（f）分別表示f的周期點集合和不動點集合。顯然，Fix（f）。Per（f）。
定義1.2.3設x∈X，若存在正整數m>0，使得fm（x）是f的周期點，則稱x為f的準周期點（或稱終于周期點）。
f的終于周期點集合記為EPer（f）。f的周期點必是準周期點，反之不真。并且∞Per（f）.EPer（f）=f.m（Per（f））.m=0
f的回復點集合記為Rec（f）。顯然，Per（f）。Rec（f）。
定義1.2.5集合
ω（x）=.{fk（x）|k.n}
n∈N與α（x）=.{f.k（x）|kn}
n∈N分別稱為Orbf（x）的ω極限點集和α極限點集.其中，N表示正整數集合。
由這個定義可見，ω（x）和α（x）都是閉集。如果X是緊致的度量空間，則對于一切x∈X，ω（x）和α（x）都是非空的。
定義1.2.6設x∈X，若存在x的鄰域U（x）。X，使得對于一切k∈Z.{0}，fk（U（x））∩U（x）=.，其中.表示空集，則稱x為f的游蕩點.不是游蕩點的點稱為非游蕩點（non-wanderingpoint）。換言之，對x的任意鄰域U（x），總存在整數k=0，使得fk（U（x））∩U（x）=..，則稱x為f的非游蕩點。
f的非游蕩點全體所構成的集合稱為f的非游蕩集，記為Ω（f）。由該定義可知，f的游蕩點集是開集，f的非游蕩集Ω（f）是閉集。
定義1.2.7設集合Λ。X，且F（Λ）=Λ（對于半動力系統F（Λ）。Λ），稱Λ為f的不變集.又若Λ是f的非空閉不變集，并且不存在真包含于它之中的非空閉不變子集，則稱Λ為f的極小集。
定理1.2.1設f:XX是一個連續映射，則
（i）Ω（f）是閉集；→
（ii）ω（x）。Ω（f），從而Ω（f）非空；x∈X
（iii）全體周期點集Per（f）。Ω（f）；
（iv）f（Ω（f））。Ω（f），又若f為同胚，則Ω（f）為不變集，即f（Ω（f））=Ω（f）。
證（i）根據定義1.2.6，X。Ω（f）為開集，故Ω（f）為閉集。
（ii）設x∈X，y∈ω（x），茲證y∈Ω（f）.用V表示點y的鄰域，茲求滿足f.n（V）∩V=.的n.1，從而存在n.1和某個z∈V，滿足fn（z）∈V.事實上，因為y.∈ω（x），故存在自然數列{ni}，滿足fni（x）y，選擇ni0<>
（iii）若fn（x）=x，n>0，U是x的鄰域，則有x∈f.n（U）∩U，從而x∈Ω（f）。
（iv）設x∈Ω（f），V為f（x）的鄰域，則f.1（V）是x的鄰域。從而存在某個n>0，使得f.（n+1）（V）∩f.1（V）=..。因此，f.n（V）∩V=..，故f（x）∈Ω（f），即f（Ω（f））。Ω（f）.如果f是同胚，必有Ω（f）=Ω（f.1）。因此，由f.1（Ω（f））。Ω（f）知，f（Ω（f））=Ω（f），即Ω（f）是不變集。
定義1.2.8（i）連續映射f:X→X稱為單邊拓撲傳遞的（topologically transitive），倘若存在某些x∈X，其半軌道{fn（x）n.0}在X中稠；
（ii）同胚映射f:XX稱為拓撲傳遞的，|倘若存在某些x∈X，其軌道Orbf（x）={fn（x）n∈Z}在→X中稠。
如果同胚映射|f:XX是單邊拓撲傳遞的，稱f是拓撲混合的.存在例子說明，拓撲傳遞的同胚映射→f不是拓撲混合的。反之，f拓撲混合必拓撲傳遞，且Ω（f）=X。
定理1.2.2設f:XX是緊致度量空間的同胚映射，則以下的說法等價：
（i）f是拓撲傳遞的；→
（ii）設E是X的閉子集，是f的不變集，則或者E=X，或者E無處稠密（換言之，對于任何滿足f（U）=V的開子集U。X，或者U=.，或者U為稠集）；
（iii）對任何非空開集U，V，存在n∈Z，使得fn（U）∩V=..；
本章簡要介紹動力系統的某些基本概念
1.1 流和離散動力系統
“動力系統”這個名詞，由Poincar′e研究多體問題――質點組動力學問題而產生.后來被發揚光大，沿用下來，在數學上具有確定的含義.。考慮定義在Euclid空間Rn上的微分方程組
dx=f（x），（1.1.1）
dt其初始條件為x（0）=x0.設f∈C1（Rn，Rn），x0∈Rn，則（1.1.1）的初值問題解x=φ（t，x0）局部存在唯一.再對f增加解整體存在唯一的條件，即對于一切的t∈R，x0∈Rn，設解x=φ（t，x0）整體存在唯一.由微分方程的一般理論可知，函數φ（t，x0）具有以下的性質：
（1）確定性：對于一切s，t∈R，x∈Rn，有
φ（0，x）=x；φ（s+t，x）=φ（s，φ（t，x））。
（2）連續性：φ（t，x）關于變元t，x在R×Rn連續。
滿足這兩個性質的映射φ:RRn構成以t為參數的從Rn到Rn的單參×Rn→數連續變換群.我們稱φ為Rn中定義的動力系統或流。對于給定的x∈Rn，集合
Orbφ（x）={φ（t，x）|t∈R}。
Rn稱為流φ過點x的軌道。Rn稱為狀態空間或相空間，每個點x∈Rn稱為一個狀態。
如果拋開微分方程，設X是一個拓撲空間（Cr微分流形），一般地，考慮連續映射（Cr映射）φ:R×X→X，并設φ滿足確定性條件：
1.φ（s+t，x）=φ（s，φ（t，x）），對于一切s，t∈R，x∈X成立；
2.φ（0，x）=x，對于一切x∈X成立.此時，稱φ為定義在X上的一個拓撲動力系統（Cr動力系統），或者稱X上的C0（Cr）流。
（1）φs+t=φsφt，對于一切s，t∈R，x∈X成立；
（2）φ0=id。由于對于任何固定的t∈R，φt有逆映射φ.t，因此，φt是一個同胚（Cr微分同胚）。在拓撲空間X上定義的上述流φ同樣關于t構成單參數的變換群，參數的取值范圍是實數加群R+。
如果對流進行離散采樣，研究它每隔一段時間間隔T的狀態，我們得到一個兩邊有無窮多項的序列，φ.2T，φ.T，φ0=id，φT，φ2T，。
這個序列由同胚f=φT所生成，即
φkT=φTφTφT=fff=fk，（1.1.2）
φ.kT=φ.Tφ.Tφ.T=f.1f.1f.1=f.k。（1.1.3）
φT稱為流φ的時刻T映射，又稱Poincar′e映射.特別，φ1稱為流φ的時刻1映射，流φt的時刻T映射可看作流ψT=φTt的時刻1映射。因此，只需考慮T=1情形。
一般地，任給一個同胚（Cr微分同胚）f，f不一定是某個流的時刻1映射，同樣能夠生成一個雙邊序列，f.2，f.1，f0，f1，f2，，（1.1.4）
其中，f0=id，fk=f，fk.1=f，f.???，f；f.k=（f.1）k，顯然f滿足關系：
（1）fk+l=fk，fl，對于一切k，l∈Z成立；
（2）f0=id。
與流的情形類比，人們稱這種由同胚（Cr微分同胚）生成的雙邊序列為離散動力系統.離散動力系統也是一個單參數變換群，其參數取值范圍是整數加群（Z，+）。
由于存在沒有全局截面的流，因此，一般而言，不能說每個流通過取Poincar′e映射必對應一個微分同胚，但是，流經過采樣離散化而得到一個低一維的離散動力系統.流的時刻1映射總是一個同胚。反之，采用“扭擴”（suspension）微分同胚f（見圖1.1.1），可構造f作為某個流的Poincar′e映射。這里不再贅述。正因為流和離散動力系統有這樣緊密的關系，才激勵著離散動力系統理論的大發展.我們研究流所得到的結論，往往可用于微分同胚情形。反之，在一定的條件下，由微分同胚所獲得的信息，可用于研究比微分同胚高一維的流。人們往往首先在微分同胚的研究中分方程研究的動力系統方法。
圖1.1.1離散動力系統的扭擴
上面的討論都是由同胚（Cr微分同胚）生成的系統，如果我們更一般地考慮連續映射（Cr映射）的迭代：f0=id，f1，f2，，fk，，k∈Z+，所得到的系統稱為拓撲半動力系統（Cr微分半動力系統）。
1.2基本定義和性質
設X是拓撲空間（Cr流形），f:X→X是一個同胚（Cr微分同胚）。
定義1.2.1集合Orbf（x）={fk（x）|k∈Z}，Orbf+（x）={fk（x）|k∈Z+}，Orbf。（x）={fk（x）k∈Z.}分別稱為離散動力系統f過點x的軌道、正半軌道和負半軌道。
顯然，Orbf（x）=Orbf+（x）∪Orbf.（x）如不產生混淆，可簡記Orbf（x）為Orb（x）。
定義1.2.2若存在正整數n.1，使得fn（x）=x成立，稱x為f的周期點；使得fn（x）=x成立的最小自然數n，稱為x的周期。特別，周期為1的點，稱為f的不動點。
用記號Per（f）和Fix（f）分別表示f的周期點集合和不動點集合。顯然，Fix（f）。Per（f）。
定義1.2.3設x∈X，若存在正整數m>0，使得fm（x）是f的周期點，則稱x為f的準周期點（或稱終于周期點）。
f的終于周期點集合記為EPer（f）。f的周期點必是準周期點，反之不真。并且∞Per（f）.EPer（f）=f.m（Per（f））.m=0
f的回復點集合記為Rec（f）。顯然，Per（f）。Rec（f）。
定義1.2.5集合
ω（x）=.{fk（x）|k.n}
n∈N與α（x）=.{f.k（x）|kn}
n∈N分別稱為Orbf（x）的ω極限點集和α極限點集.其中，N表示正整數集合。
由這個定義可見，ω（x）和α（x）都是閉集。如果X是緊致的度量空間，則對于一切x∈X，ω（x）和α（x）都是非空的。
定義1.2.6設x∈X，若存在x的鄰域U（x）。X，使得對于一切k∈Z.{0}，fk（U（x））∩U（x）=.，其中.表示空集，則稱x為f的游蕩點.不是游蕩點的點稱為非游蕩點（non-wanderingpoint）。換言之，對x的任意鄰域U（x），總存在整數k=0，使得fk（U（x））∩U（x）=..，則稱x為f的非游蕩點。
f的非游蕩點全體所構成的集合稱為f的非游蕩集，記為Ω（f）。由該定義可知，f的游蕩點集是開集，f的非游蕩集Ω（f）是閉集。
定義1.2.7設集合Λ。X，且F（Λ）=Λ（對于半動力系統F（Λ）。Λ），稱Λ為f的不變集.又若Λ是f的非空閉不變集，并且不存在真包含于它之中的非空閉不變子集，則稱Λ為f的極小集。
定理1.2.1設f:XX是一個連續映射，則
（i）Ω（f）是閉集；→
（ii）ω（x）。Ω（f），從而Ω（f）非空；x∈X
（iii）全體周期點集Per（f）。Ω（f）；
（iv）f（Ω（f））。Ω（f），又若f為同胚，則Ω（f）為不變集，即f（Ω（f））=Ω（f）。
證（i）根據定義1.2.6，X。Ω（f）為開集，故Ω（f）為閉集。
（ii）設x∈X，y∈ω（x），茲證y∈Ω（f）.用V表示點y的鄰域，茲求滿足f.n（V）∩V=.的n.1，從而存在n.1和某個z∈V，滿足fn（z）∈V.事實上，因為y.∈ω（x），故存在自然數列{ni}，滿足fni（x）y，選擇ni0<>
（iii）若fn（x）=x，n>0，U是x的鄰域，則有x∈f.n（U）∩U，從而x∈Ω（f）。
（iv）設x∈Ω（f），V為f（x）的鄰域，則f.1（V）是x的鄰域。從而存在某個n>0，使得f.（n+1）（V）∩f.1（V）=..。因此，f.n（V）∩V=..，故f（x）∈Ω（f），即f（Ω（f））。Ω（f）.如果f是同胚，必有Ω（f）=Ω（f.1）。因此，由f.1（Ω（f））。Ω（f）知，f（Ω（f））=Ω（f），即Ω（f）是不變集。
定義1.2.8（i）連續映射f:X→X稱為單邊拓撲傳遞的（topologically transitive），倘若存在某些x∈X，其半軌道{fn（x）n.0}在X中稠；
（ii）同胚映射f:XX稱為拓撲傳遞的，|倘若存在某些x∈X，其軌道Orbf（x）={fn（x）n∈Z}在→X中稠。
如果同胚映射|f:XX是單邊拓撲傳遞的，稱f是拓撲混合的.存在例子說明，拓撲傳遞的同胚映射→f不是拓撲混合的。反之，f拓撲混合必拓撲傳遞，且Ω（f）=X。
定理1.2.2設f:XX是緊致度量空間的同胚映射，則以下的說法等價：
（i）f是拓撲傳遞的；→
（ii）設E是X的閉子集，是f的不變集，則或者E=X，或者E無處稠密（換言之，對于任何滿足f（U）=V的開子集U。X，或者U=.，或者U為稠集）；
（iii）對任何非空開集U，V，存在n∈Z，使得fn（U）∩V=..；
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