高中數學奧林匹克實用教程(第四冊)（簡體書）

《高中數學奧林匹克實用教程（第4冊）》內容豐富、難易適度，節都對相應的知識要點進行了歸納和提煉，精選了許多典型題為例，並適度地進行了一定的探究和拓展。本書主要面向全國高中數學聯賽，同時兼顧高校自主招生考試和高考，也可供中學數學教師和數學愛好者參考。．

田云江，中國數學奧林匹克高級教練員，河北省中學數學教學專業委員會理事，河北省特級教師，河北省優秀教師，河北省骨干教師，從事中學數學教學三十余年，教學成績優異，并先后參研兩項國家級教育科研課題，兩項省市重點課題，其中所主研的一項河北省“十五”重點課題獲省教學成果三等獎，參編教輔用書六本，發表論文數十篇。

《高中數學奧林匹克實用教程(第4冊)》作者是在高中數學教學一線工作三十多年的特級教師，對高中數學競賽輔導工作有著長時間的思考、探索和實踐，積累了較為豐富的經驗，對高中數學競賽輔導工作中的困惑有著切身的體會和感受，作為探討解決上述問題的一種嘗試，作者把自己多年用于高中數學競賽輔導的講義進行了歸納整理，又融入了近年來對高中數學競賽輔導的一些研究和心得，并借鑒了國內外許多名家的真知灼見，編寫成此書。

寫給讀者的話
第一章 不等式
1.1 凸函數與琴生不等式
1.2 排序不等式
1.3 均值不等式
1.4 柯西不等式
1.5 舒爾不等式
1.6 切比雪夫不等式
1.7 不等式證明
1.7.1 不等式證明——綜合性與靈活性分析
1.7.2 不等式證明——和式變換的合理運用
1.7.3 不等式證明——換元法
1.7.4 不等式證明——放縮法
1.7.5 不等式證明——構造法
1.7.6 不等式證明——導數法
1.7.7 不等式證明——線性化處理
自測題
第二章 組合數學
2.1 組合計數
2.2 組合恒等式
2.3 組合最值（一）
2.4 組合最值（二）
2.5 集合的劃分
2.6 幾種重要的子集族
2.7 圖論問題（一）
2.8 圖論問題（二）
2.9 染色問題與染色方法
2.9.1 染色問題與染色方法（一）——點染色
2.9.2 染色問題與染色方法（二）——拉姆賽問題
2.9.3 染色問題與染色方法（三）——區域染色
2.10 覆蓋
2.11 凸集
2.12 組合不等式
自測題

鞏固練習及自測題參考答案
第一章 不等式
1.1 凸函數與琴生不等式
1.2 排序不等式
1.3 均值不等式
1.4 柯西不等式
1.5 舒爾不等式
1.6 切比雪夫不等式
1.7 不等式證明
1.7.1 不等式證明——綜合性與靈活性分析
1.7.2 不等式證明——和式變換的合理運用
1.7.3 不等式證明——換元法
1.7.4 不等式證明——放縮法
1.7.5 不等式證明——構造法
1.7.6 不等式證明——導數法
1.7.7 不等式證明——線性化處理
自測題
第二章 組合數學
2.1 組合計數
2.2 組合恒等式
2.3 組合最值（一）
2.5 集合的劃分
2.6 幾種重要的子集族
2.7 圖論問題（一）
2.8 圖論問題（二）
2.9 染色問題與染色方法
2.9.1 染色問題與染色方法（一）——點染色
2.9.2 染色問題與染色方法（二）——拉姆賽問題
2.9.3 染色問題與染色方法（三）——區域染色
2.10 覆蓋
2.11 凸集
2.12 組合不等式
自測題．

2.10覆蓋
知識精講
一個半徑為2的圓（包含邊界及內部，以下的三角形、多邊形、橢圓等也一概如此）顯然可以蓋住一個半徑為1的圓，反過來則不然，一個半徑為1的圓無法蓋住一個半徑為2的圓，那么兩個半徑為1的圓能否蓋住呢？不妨動手實驗一下，不行，為什么不行？需幾個這樣的小圓方能蓋住大圓？…，這就是覆蓋問題，它是一類有趣而又困難的問題。
定義1：設G和F是兩個平面圖形，如果圖形F或圖形F經過運動（指平移、旋轉、軸對稱（反射），或它們的有限多次的組合）所得到的圖形F’上的每一點都在圖形G上，則稱圖形G覆蓋圖形F，反之，則稱圖形G不覆蓋圖形F。
關于圖形覆蓋，有下列明顯性質：
（1）圖形G覆蓋自身；
（2）圖形G覆蓋圖形E，圖形E覆蓋圖形F，則圖形G覆蓋圖形F；
（3）若圖形G覆蓋圖形F，則圖形G的面積不小于圖形F的面積。
一個圖形F能否被覆蓋，與圖形F中任意兩點間距離的最大值d密切相關。
定義2：圖形F中任意兩點間的距離最大值d（有限數）稱為圖形F的直徑。
一個圖形的直徑不一定只有一條。
對于不能覆蓋的推斷，以下兩個原則是常用的：
原則1：若圖形F的面積大于圖形G的面積，則圖形G不能覆蓋圖形F。
原則2：直徑為d的圖形F不能被直徑小于d的圖形G所覆蓋。
兩原則十分顯然，不再證明。
問題解析
一、最簡單情形——用一個圓覆蓋一個圖形
首先根據覆蓋和圓的定義及性質即可得到：
定理1：如果能在圖形F所在平面上找到一點O，使得圖形F中的每一點與O的距離都不大于定長r，則F可被一半徑為r的圓所覆蓋。
定理2：對于二定點A、B及定角a，若圖形F中的每點都在AB同側，且對A、B視角不小于α，則圖形F被以AB為弦，對AB視角等于α的弓形G所覆蓋。
在用圓去覆蓋圖形的有關問題的研究中，上述二定理應用十分廣泛。