高中數學奧林匹克實用教程(第一冊)（簡體書）

《高中數學奧林匹克實用教程（第1冊）》內容豐富、難易適度，節都對相應的知識要點進行了歸納和提煉，精選了許多典型題為例，並適度地進行了一定的探究和拓展。《高中數學奧林匹克實用教程（第1冊）》主要面向全國高中數學聯賽，同時兼顧高校自主招生考試和高考，也可供中學數學教師和數學愛好者參考。．

田云江，中國數學奧林匹克高級教練員，河北省中學數學教學專業委員會理事，河北省特級教師，河北省優秀教師，河北省骨干教師，從事中學數學教學三十余年，教學成績優異，并先后參研兩項國家級教育科研課題，兩項省市重點課題，其中所主研的一項河北省“十五”重點課題獲省教學成果三等獎，參編教輔用書六本，發表論文數十篇。

《高中數學奧林匹克實用教程(第1冊)》作者是在高中數學教學一線工作三十多年的特級教師，對高中數學競賽輔導工作有著長時間的思考、探索和實踐，積累了較為豐富的經驗，對高中數學競賽輔導工作中的困惑有著切身的體會和感受，作為探討解決上述問題的一種嘗試，作者把自己多年用于高中數學競賽輔導的講義進行了歸納整理，又融入了近年來對高中數學競賽輔導的一些研究和心得，并借鑒了國內外許多名家的真知灼見，編寫成此書。

寫給讀者的話
第一章 數論初步
1.1 整數的整除
1.2 奇數和偶數
1.3 完全平方數
1.4 同餘
1.5 不定方程
自測題
第二章 平面幾何
2.1 平面幾何中的幾個重要定理
2.2 共線問題
2.3 共點問題
2.4 共圓問題
2.5 三角形的“心”的問題
2.6 面積問題和面積方法
自測題
第三章 集合
3.1 集合中的基本關係（一）
3.2 集合中的基本關係（二）
3.3 集合中的一般計數問題
3.4 容斥原理（一）
3.5 容斥原理（二）
3.6 集合中的最值問題
3.7 抽屜原理
自測題
第四章 函數
4.1 映射
4.2 函數
4.3 函數最值（一）
4.4 函數最值（二）——複合最值
4.5 二次函數
4.6 單調函數
4.7 週期函數
4.8 高斯函數
4.9 函數迭代
4.10 函數方程
自測題

鞏固練習及自測題參考答案
第一章 數論初步
1.1 整數的整除
1.2 奇數和偶數
1.3 完全平方數
1.4 同餘
1.5 不定方程
自測題
第二章 平面幾何
2.1 平面幾何中的幾個重要定理
2.2 共線問題
2.3 共點問題
2.4 共圓問題
2.5 三角形的“心”的問題
2.6 面積問題和面積方法
自測題
第三章 集合
3.1 集合中的基本關係（一）
3.2 集合中的基本關係（二）
3.3 集合中的一般計數問題
3.4 容斥原理（一）
3.5 容斥原理（二）
……．

6.分析：兩位數共有10，11，99，計99－9＝90個，最大的10個兩位數依次是90，91，99，其和為945，因此，由10個兩位數組成的任意一個集合中，其任一個子集中各元素之和都不會超過945，而它的非空子集卻有2的10次方－1＝1023個，這是解決問題的突破口。
解：已知集合含有10個不同的兩位數，因它含有10個元素，故必有2的10次方＝1024個子集，其中非空子集有1023個，每一個子集內各數之和都不超過90+91++99＝945＜1023，根據抽屜原理，一定存在2個不同的子集，其元素之和相等。如此2個子集無公共元素，即交集為空集，則已符合題目要求；如果這2個子集有公共元素，則劃去它們的公共元素即共有的各數，可得兩個無公共元素的非空子集，其所含各數之和相等。
注：此題是分兩步來完成的，首先構造了一個抽屜原理的模型，即計算子集中各數之和最多有945個“抽屜”，計算非空子集的個數得1023個“蘋果”，由此得出必有兩個子集各數之和相等；第二步考察它們有無公共元素，如無公共元素，則已符合要求，如有公共元素，則去掉相同的各數，得出無公共元素并且非空的兩個子集，滿足條件。
7.解：先討論正五邊形，正五邊形五頂點兩染色，由抽屜原理，必有三點同色即必有一個同色三角形，而正五邊形任兩頂點連線只有兩種長度（邊和對角線），三角形三條邊（物品）只有兩種長度（抽屜），再用抽屜原理，知必有兩邊等長，所以此同色三角形必為同色等腰三角形。
正2005邊形含有401個全等的無公共頂點的正五邊形，所以至少有401個同色等腰三角形，三角形的顏色只有兩種，故至少有201個等腰三角形顏色全同，而正五邊形所含三角形只有兩種：二邊一對角線和二對角線一邊，再利用抽屜原理，至少有101個同色等腰三角形，彼此全等且顏色全同。