結構分析有限元法（簡體書）

《全國普通高等院校土木工程類實用創新型系列規劃教材：結構分析有限元法》重點介紹了有限元法的基本理論，內容包括能量原理、平面問題、杆件問題、空間及軸對稱問題、板殼問題及結構動力學問題。
《全國普通高等院校土木工程類實用創新型系列規劃教材：結構分析有限元法》講述有限元法的基本原理及土木工程結構中的單元分析，單元類型包括平面杆系、空間杆系、平面等參元、空間等參元、薄板彎曲單元和厚薄板通用單元等。全書以論述結構線彈性靜力分析為主，最後介紹了結構的振動和動力響應分析。
《全國普通高等院校土木工程類實用創新型系列規劃教材：結構分析有限元法》可作為高等院校土木工程專業本科生有限元法課程教材，也可供相關專業的科技人員參考。．

《全國普通高等院校土木工程類實用創新型系列規劃教材:結構分析有限元法》可作為高等院校土木工程專業本科生有限元法課程教材，也可供相關專業的科技人員參考。

主要符號
第1章 緒論
1.1 有限元法發展概況
1.2 有限元法分析過程
1.2.1 矩陣位移法
1.2.2 有限元法分析過程
1.3 有限元法的學習要求和學習方法
習題

第2章 有限元法基礎——能量原理
2.1 彈性力學平面問題回顧
2.1.1 平衡（運動）微分方程
2.1.2 小變形的幾何方程（位移-應變關係）
2.1.3 線彈性體的物理方程（本構關係）
2.1.4 邊界條件（邊界處條件和協調條件）
2.2 彈性力學基本方程的矩陣表示
2.3 變形體虛位移原理
2.3.1 變形體虛位移原理表述
2.3.2 彈性平面問題外力總虛功的計算
2.3.3 變形體虛位移原理證明
2.3.4 虛位移原理的說明
2.4 最小勢能原理
2.4.1 最小勢能原理
2.4.2 杆系結構總勢能表達式
2.4.3 由最小勢能原理導出位移法方程
2.5 裡茨法
2.5.1 裡茨法
2.5.2 分片裡茨法
2.6 小結
習題

第3章 彈性力學平面問題
3.1 結構離散化
3.1.1 關於結構離散化
3.1.2 平面問題三角形劃分
3.2 3結點單元位移模式
3.2.1 單元的位移模式和廣義坐標
3.2.2 位移插值函數
3.3 單元特性分析
3.3.1 單元應變和應力
3.3.2 單元體總勢能
3.3.3 單元剛度矩陣
3.3.4 單元等效結點載荷列陣
3.4 有限元方程的建立
3.4.1 利用最小勢能原理建立結構整體剛度方程
3.4.2 單元剛度矩陣和等效結點載荷列陣的集成
3.4.3 結構剛度矩陣的性質和特點
3.5 有限元方程的求解
3.5.1 引入位移邊界條件
3.5.2 有限元方程的求解及應力計算
3.5.3 有限元分析步驟
3.6 有限元解的性質和收斂準則
3.6.1 有限元解的收斂準則
3.6.2 收斂準則的物理意義
3.6.3 位移元解的下限性質
3.7 矩形單元
3.7.1 單元的位移模式
3.7.2 單元特性分析
3.8 等參數單元
3.8.1 單元位移模式
3.8.2 單元特性分析
3.8.3 等效結點力計算
3.8.4 應力計算
3.8.5 等參單元的完備性和協調性
3.9 小結
習題

第4章 杆系結構問題
4.1 杆件系統的離散化
4.2 平面桁架單元分析
4.2.1 建立位移場（位移模式）
……
第5章 空間及軸對稱問題
第6章 彈性板殼問題
第7章 動力學問題
主要參考文獻．

按式（3.14）和式（3.19）求得的單元應變和應力，由于導數運算的結果，精度低于位移，并且在單元交界面上應力不連續，力的邊界條件也不能精確滿足。特別是對于3結點三角形單元，由于它是常應力單元，計算得到的應力代表單元中心的應力，而且此應力在相鄰單元之間常出現明顯的跳躍。
為了得到單元邊界和結點的應力，需要進行適當的處理。處理方法是將組成四邊形的兩個相鄰三角形單元的應力加以平均后，作為四邊形形心處的應力，然后再利用此平均應力值進行插值外推或用最小二乘擬合得到單元邊界和結點的應力。亦可以簡單地利用繞結點平均法或加權平均法求變形體結點的應力。
3.5.3有限元分析步驟
在根據問題的類型和性質選定了單元的形式并構造了它的插值函數以后，可按以下步驟對問題進行有限分析：
1）對結構進行離散。按問題的幾何特點和精度要求等因素劃分單元并形成網格，即將原來的連續體離散為在結點處相互聯結的有限單元組合體。
2）按照式（3.26）形成單元的剛度矩陣和等效結點載荷列陣。
3）按照式（3.52）集成結構的剛度矩陣和等效點載荷列陣。
4）按照式（3.62）引入位移邊界條件。
5）求解線代數方程組（3.55），得到結點位移。
6）計算單元應變和應力。
7）進行必要的后處理。
由以上討論可見，基于最小勢能原理，利用位移有限元對彈性力學問題進行分析，只要選定單元模式，劃分好網格，其計算執行的步驟是完全標準化了的。這是有限元法得到廣泛應用的重要原因。我們可以方便地將它應用于各類彈性力學問題。
由表可見，隨著網格的加密，計算得到的應力集中系數k逐漸加大，而加密到一定密度以后，k數值趨于穩定。
3.6有限元解的性質和收斂準則
有限元法作為求解微分方程的一種數值方法，可以認為是里茨法的一種特殊形式，不同之處在于有限元法的試探函數是定義于單元而不是全域。因此有限元解的收斂性可以與里茨法的收斂性對比進行討論。里茨法的收斂條件是要求試探函數具有完備性和連續性，即如果試探函數滿足完備性和連續性要求，當試探函數的項數n→∞時，里茨法的近似解將趨近于微分方程的精確解。
3.6.1有限元解的收斂準則
在有限元法中，場函數的總體泛函是由單元泛函集成的。在單元內若采用完全多項式作為單元的插值函數，有限元解在一個有限尺寸的單元內可以與精確解一致。但是實際上有限元的試探函數只能取有限項多項式，因此有限元解只能是精確解的一個近似解答。那么，在什么條件下當單元尺寸無限小時，有限元解趨于精確解？
假定泛函中包含u（z）和它的直至m階的各階導數，若m階導數是非零的，則近似函數至少必須是m次多項式。若取P次完全多項式試探函數，則必須滿足p≥m。因為u是p次完全多項式，所以直至m階導數的表達式中包含有常數項。當單元尺寸趨于零時，在每一單元內u及其直至m階導數將趨于它的精確值，即趨于常數。因此，每一個單元的泛函將趨于它的精確值，有限元解就趨于精確解，也就是說解是收斂的。