北京高中數學知識應用競賽賽題解析(1997-2011)（簡體書）

《高中數學奧林匹克教程:北京高中數學知識應用競賽賽題解析(1997-2012)》由北京師范大學出版社出版。

第1屆北京高中數學知識應用競賽初賽試題解析
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第2屆北京高中數學知識應用競賽初賽試題解析
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第3屆北京高中數學知識應用競賽初賽試題解析
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第4屆北京高中數學知識應用競賽初賽試題解析
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第5屆北京高中數學知識應用競賽初賽試題解析
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第6屆北京高中數學知識應用競賽初賽試題解析
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第7屆北京高中數學知識應用競賽初賽試題解析
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第8屆北京高中數學知識應用競賽初賽試題解析
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第9屆北京高中數學知識應用競賽初賽試題解析
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第10屆北京高中數學知識應用競賽初賽試題解析
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第11屆北京高中數學知識應用競賽初賽試題解析
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第12屆北京高中數學知識應用競賽初賽試題解析
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第13屆北京高中數學知識應用競賽初賽試題解析
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第14屆北京高中數學知識應用競賽初賽試題解析
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第15屆北京高中數學知識應用競賽初賽試題解析
第15屆北京高中數學知識應用競賽決賽試題解析

7.在某1000個人中有10個人患有一種病，現要通過驗血把這10個病人查出來。若采用逐個人化驗的方法需化驗999次。（這里所需化驗次數是指在最壞情況下的化驗次數，如果碰巧，可能首先化驗的10個人全是病人，10次化驗就夠了，下面討論的化驗次數均指最壞情況下的化驗次數。）
為了減少化驗次數，人們采用分組化驗的辦法，即把幾個人的血樣混在一起，先化驗一次，若化驗合格，則這幾個人全部正常；若混合血樣不合格，說明這幾個人中有病人，再對它們重新化驗（逐個化驗，或再分成小組化驗）。
試給出一種分組化驗方法使其化驗次數盡可能地小，不超過100次。
法1要求不超過100次化驗檢驗出10個病人相當于不超過10次化驗檢驗出1個病人，分組化驗時病人肯定處于陽性組內，應該將注意力集中于發現陽性組中的病人，為了以較少的化驗次數查出病人，我們希望每次化驗都能發現一個陽性組。對于發現的陽性組不斷的再細分成小組繼續化驗直到查出病人，如果發現陰性組，全組的成員不再繼續參與化驗。
實驗 符合上述條件且比較簡單的方法是對分法，即每次在陽性組中化驗一半病人。顯然，1000人的全體肯定是陽性組，從中分出500人進行化驗，只需一次化驗就可以發現一個陽性組，再分出一半250人繼續化驗，又可以查出一個陽性組，一直下去可以得到由此可見，使用10次化驗就肯定可以查出一個病人，也就是說，使用對分法通過100次化驗肯定可以查出這10個病人來。
討論 問題雖然解決了，但仔細觀察發現這種方法的化驗次數還有潛力可挖，因為當陽性組的人數為63時，再做6次化驗就可查出病人。其實，使用6次化驗可以從64個人的陽性組中查出病人來，那么，用對分法通過7次化驗可以從l28人的陽性組中查出一個病人，通過8次化驗可以從256人的陽性組中查出一個病人，通過9次化驗可以從512人的陽性組中查出一個病人，通過10次化驗可以從1024人的陽性組中查出一個病人，注意到：64，128，256，512，1024又可以改寫為26，27，28，29，218.一般的規律是：一個有24個人的陽性組只需要化驗k次就可以查出一個病人。
探索 為了進一步減少化驗的次數，我們設計每次從陽性組的人中化驗n=24個人，如果這個小組化驗的結果為陽性，則繼續使用上述的對分法化驗k次就可以查出一個病人。這時一共化驗了k+1次。如果這個小組化驗的結果為陰性，則這個組的成員將被排除在外，不再參與繼續的化驗。這時在剩余的成員中再化驗n個人，直到將病人全部檢出，這里不妨稱這個方法為二分法。