思想錄（簡體書）

數學思維與直覺思維的區別。
在數學中，規則都是顯而易見的，但卻脫離日常的應用；人們由于缺乏使用它的習慣，所以人們把思維用到這個方面就較為困難：但是只要稍微靠近這個方面，人們就能充分地看到這些原則；如果對于這些如此清楚以至于不可能被人們忽視的原則推理錯誤的話，那就一定是思維上的錯誤了。
但在直覺思維中規則是根植于日常運用之中的，并且就在每個人的眼前。人們只要用眼睛去看，并不需要什么努力；這只是有一個良好的洞察力的問題，必須有好的洞察力，因為這些原則是如此的微妙，數量是如此的眾多，以至于人們幾乎不可能不錯過和忽略。漏掉一條原則，則會導致錯誤，
所以人們必須有非常清晰的洞察力來看清所有的原則，其次，正確的思維不會導致從一些已知的原則中推出錯誤的結論。所有的數學家只要有清晰的洞察力，就會是直覺敏銳的，他們是不會從他們知道的原則中做出錯誤的推理的；而擁有直覺思維的人只要轉移目光，多關注那些他們不慣用的數學原則，那么他們也是會成為數學家的。
因此，某些直覺思維不是數學的思維，某些具有直覺思維的人不能成為數學家，是由于他們根本不能把他們的注意轉移到數學原則上來。而數學家直覺不敏銳的原因是他們并沒有看到自己眼前的東西，他們習慣于精確而明晰的數學原則，他們只有在很好地檢查和掌握了他們的原則之后才開始進行推論，所以他們在需要直覺敏銳的事物上就會茫然無措，因為這些敏銳的原則是不允許這樣安排的。這些原則幾乎是看不到的，他們只能被感受而無法被看見；那些沒有親身感受到這些原則的人，別人要是想讓他們感受到，那就是難上加難了。這些原則是如此的細微和數目眾多，我們要想感受到它們，就需要有極其靈敏和清晰的感覺，并在感受到這些原則時做出正確公允的判斷，但這大部分卻不能通過數學的方式來證明，因為如果用同樣的方式的話，我們將永遠不明白這些原則，也因為用這樣的方式，將是一件沒完沒了的事情。至少在一定意義上，我們必須只是在瞬間體會出整個的事件而不是靠推理的過程。因此就很少有數學家是注重直覺的，也很少有注重直覺的人是數學家，因為數學家希望用數學的方式對待直覺的事物，希望從定義開始，然后進行定理和推論，這就對這類直覺的原則完全不適用，反而把他們自己弄得很荒謬可笑。這并不是說，我們直覺的思維沒有在進行推理，而是說它默默地、順其自然地、沒有技術上的造作；它的表現方式是在人為力量之外的，只有少數的人能感覺得到它。
相反的，直覺的思維習慣于一眼就做出判斷，當他們被問到那些他們完全不理解的命題時，他們就會感到十分驚訝，因為這些命題的推論通過定義和定理是毫無結果的，又要經過細節繁雜而又令人厭惡和泄氣的論證，這些都是他們所不習慣的，也因此會使他們望而卻步并感到灰心喪氣。
但遲鈍的思維是既不能成為直覺思維的人，也不能成為數學家的。
那些僅僅是數學家的數學家有精確的思維，卻需要我們用定義和定理的方式來向他們解釋一切事物；否則他們將是錯誤的和令人難以理解忍受的，只有當原則十分清楚的時候，他們才會是正確的。