Contents
Chapter 1 The Structure of Finite Element Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Galerkin Variational Principle and Ritz Variational Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Galerkin Approximation Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Finite Element Subspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Element Stiffness and Total Stiffness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
Chapter 2 Elements and Shape Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 2.1 Rectangular Shape Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
2.2 Triangular Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
2.3 Shape Function of Three Dimensional Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Iso-parametric Finite Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.5 Curve Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Chapter 3 Procedure and Performance of Computation of Finite Element Method. . . . . . . . .60
3.1 The Procedure of Finite Element Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2 One dimensional Store of Symmetric and Band Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Numerical Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4 Computation of Element Stiffness Matrix and Synthesis of Total Stiffness Matrix . . . . . . 72
3.4.2 The Computation of Element Stiffness Matrix and Element Array . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4.3 Superposition of Elements of Total Stiffness Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5 Direct Solution Method for Finite Element Algebraic Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . .79
3.5.1 Deposition for Symmetric and Positive Definition Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.5.2 Direct Solution for Algebraic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.6 Other Solution Method for Finite Element Algebraic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.6.1 The Steepest Descent Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85
3.6.2 Conjugate Gradient Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.7 Treatment of Constraint Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.7.1 Treatment of Imposed Constraint Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
3.7.2 Treatment of Periodic Constrain Condition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92
3.7.3 Remove Periodic Constrain and Matrix Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.7.4 Performance of the Method on Computer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.8 Calculation of Derivatives of Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.9 Automatic Generation of Finite Element Mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Chapter 4 Sobolev Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.1 Some Notations and Assumptions on Domain Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.2 Classical Function Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3 Lp(Ω) Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.4 Spaces of Distr
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