李正興高中數學微專題：思想方法篇（簡體書）

“李正興高中數學微專題系列”是作者從事教輔類圖書寫作二十年來一種全新的編寫思路。基於教育必然與互聯網結合，人工智能、在線教育將成為未來教育新寵，課程微型化必然是發展方向。微專題寫作的理念是“課題要小，但開掘要深”，一節微課半個小時，但課的結構是完整的，有知識點，有二到三道典型例題，有重點、有高潮，通過分析總結出一些能舉一反三的帶有規律性的東西。

 本系列分為八本分冊，包括高中數學方方面面，如專講解題術的《思想方法篇》、《戰略戰術篇》，提倡發散思維的《一題多解篇》、《妙思巧解篇》，緊抓學習中薄弱環節的《一題多變篇》，攻克高考壓軸題的《壓軸題攻略篇》，面對大眾專講常規題的《代數篇》、《幾何篇》，也是作者告別四十多年教育生涯和二十年寫作歷程並與未來教育聯結的收官之作。

 本冊《思想方法篇》共十三章七十二講，作者借用了《孫子兵法》十三篇，囊括13類思想方法：分析與綜合，結構與模型，函數與方程，變元與參數，數與形結合，對稱與對偶，轉化與變換，化歸與辯證，特殊與一般，整體與局部，分類與整合，歸納與類比，以及演繹與推理。

 本書把高中數學問題解決中的謀略做了一個總的“盤點”。每一章每一講都給出了縝密的“解題策略”和詳解，新題好題經典題一網打盡。相信通過作者的精彩點撥和詩意化的有趣寫作，難題一點就透，你也可以成為解題高手。

李正興

資深數學高級教師，高復專家，上海市數學學會會員，學科帶頭人。曾獲全國數學教育優秀園丁獎，全國數學競賽優秀輔導員。研究並執教高中數學達四十年，理論研究成果豐富，教學業績優異，培養出大量的優秀學生以數學絕對高分分別考入清華、北大、復旦、交大等名校。對數學尖子生培養與數學競賽輔導均有突出建樹。發表數學教育論文30餘篇。

李老師崇尚數學專著的詩意寫作，追求結構嚴謹、條理清晰、文采斐然的行文風格，喜好內在的哲學思考與邏輯力量，文理兼通，寫作功底深厚，曾著有《李正興高中數學解題方法全書》《李正興高中數學解題訓練全書》《挑戰985：李正興高中數學串講》等70本著作，計4600餘萬字，發行總數達60萬冊，發表數學教育論文30餘篇。

解題也如用兵，數學思想方法可以比喻為解題的兵法。可以進一步說：“知識”是基礎，“方法”是手段，“思想”是深化，數學思想方法是解題的靈魂，是站在高處看問題，“一覽眾山小”，是居高臨下、勢如破竹。

為什麼遇到難題會有畏難心理？很大可能就是你還沒有看透全局，因此缺乏信心。除了掌握應有的數學知識，你，還需要一個好老師的點撥指引，學會“思想方法”可以讓你建立統領全局的信心！

本書重視思想方法，探究解題策略，在解題探究中提高你的數學核心素養。李正興老師的收官之作，癡心寫作編著全套八本，快來加入李老師的解題高手訓練營吧~

（*後，關於李老師是個什麼樣的老師，現摘錄三條讀者評論如下，均為評價李正興老師在我社所出版的圖書，懂的人自然懂：

1. 知識容量大，各知識模塊聯系緊密，題型套路化，勤歸納多總結。
2. 夯實基礎，立足貫通知識，重點突破，全面理解考點，確保達標。

內容深刻，歷史與數學結合之美盡顯其中，愛了~~~）

前 言

數學在其漫長的發展過程中不僅建立起了嚴密的知識體系，而且形成了一整套行之有效的思想方法．數學思想方法是數學解題通法的概括和提升，制約著數學活動中主觀意識的指向，可見數學思想是數學的核心，掌握了數學思想方法一定會大幅度提升解題能力與核心素養．從某種意義上講，數學問題的解決是矛盾的解決，而數學思想方法的運用可以使矛盾的解決更為順暢、簡潔．

“分析與綜合”，重點介紹了“由因導果”“從果溯因”“因果夾擊”3種解答推理題的基本方法．

“結構與模型”，介紹了針對問題的背景結構特征．通過觀察、聯想、恰當地構造出熟知的數學模型的路線圖．

“函數與方程”一章把函數、數列、解析幾何、立體幾何融為一體，突出這一重要思想在解題中的作用，並重點分析構造函數或構造方程或使問題中的函數與方程的特征顯化的技巧．

“變元與參數”，正如G. 波利亞指出:“引人輔助元是引人注目的一步，人的高明之處就在於他碰到一個不能克服的障礙時，他會繞過去，當原來的問題看起來似乎不好解時，就會想出一個合適的輔助問題，構想一個輔助問題是一項重要的思維活動”，本章把重點放在輔助元的引人以及在解題中的作用，論述變元與參數的解題策略．

“數與形的結合”這一章突出“以形助數”“以數輔形”的辯證關係，重點放在“以數輔形三大法寶”“以形助數的兩大抓手”上，力求使讀者耳目一新．

“對稱與對偶”介紹了利用圖像的對稱性，數學概念中某些命題的對稱性，代數式的對偶特征解題的技巧，體現了數學中的美學思想．

“轉化與變換”這一章把重點放在轉化與變換是一種擊破問題的策略上，推出了十大問題：正與反、分解與組合、多元與一元、靜止與運動、新知識與舊知識、數與形、高維向低維、高次向低次、命題之間以及知識板塊之間的轉化與變換．

“化歸與辯證”體現在解題中的互變、對立統一、一分為二等哲學思想的滲透．

“特殊與一般”的重點是一般問題的特殊化．正如希爾伯特指出的在討論數學問題時，“我們相信特殊化比一般化起著更為重要的作用”， G. 波利亞則把特殊化稱為“獲得發現的偉大源泉”．

“整體與局部”強調由“局部”到“整體”是一種重要的解題策略．站在整體的立場上，從問題的整體考慮，綜觀全局研究問題，通過研究整體結構、整體形式來把握問題的本質，從中找到快捷解決問題的途徑．

“分類與整合”這一章以知識板塊作為每一講的標題，同時又介紹了簡化和避免分類討論的技巧．

“歸納與類比”幫助我們從固有的思維模式中解放出來，啟發我們通過探求和歸納找到問題的共同屬性，通過類比獲得結論的更新或再生新結論，歸納與類比可以促進思維的流暢、擴大想象空間，體現創新精神．

“演繹與推理”是兩大類解題的“諾亞方舟”，其重要性不言而喻．

總之，思想方法十三章七十二講是解題的“孫子兵法”，本書把高中數學問題解決中的謀略做了一個總的“盤點”．

聚焦數學思想方法一一它是探索創新的沃土，是提升學習能力的原動力．數學家懷特海曾經這樣告誡我們:“許多數學家知道他們所研究的東西的細節，但對表述數學學科的哲學特征卻毫無所知．”數學家馮·諾伊曼說：“盡管數學家的家譜是悠久而又朦朧的，但是數學思想是起源於經驗的，這些思想一旦產生，這個學科就以特有的方式存在下去．和任何其他學科，尤其與經驗學科相比，數學可以比作一種創造性的，又幾乎完全受審美動機控制的學科．”對於數學思想方法在數學發展中的作用，數學教育家M. 克萊因有這樣一段生動的表述:“數學思想的波濤不斷地拍擊巖石的海岸，海岸阻止了它們順利、安靜地進入它們欲擁抱的大地，然而，數世紀的拍擊甚至侵蝕大塊大塊的花崗巖，從而開辟了包圍新領域的途徑．”

數學解題中的美感只留給欣賞她的人．杜甫詩云：“野色更無山隔斷，山光直與水相通．”王國維用詩詞來講述如何做學問的三境界：“昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望斷天涯路”，此第一境界也；“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”，此第二境界也；“眾裡尋她千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”此第三境界也． 面對“冰冷的美麗”（數學教育家弗賴登塔爾語）的數學題，解題者要將“火熱的思考”（同上） 提高到“數學思想方法”的高度，要有意識地畫龍點睛，適時點撥數學思想方法，逐漸地建立模型來領悟數學思想方法，這是成為解題高手的必經之路．

第一章 分析與綜合的思想方法

第一講 以分析法為主導解、證數學問題

第二講 以綜合法為主導解、證數學問題

第三講 以分析、綜合兩法兼用解、證數學問題

第二章 結構與模型的思想方法

第四講 構造函數、方程、不等式模型，巧用結構思想解題

第五講 構造解析幾何模型，巧用結構思想解題

第六講 構造數列、排列組合和概率模型，巧用結構思想解題

第七講 構造幾何、向量模型，尋求簡捷解法

第三章 函數與方程的思想方法

第八講 構造函數，運用函數性質解題

第九講 構造方程，運用方程理論解題

第十講 函數與方程、不等式之間的相互轉化

第十一講 待定系數法、換元法、轉換法是運用函數與方程思想方法解題過程中的三大法寶

第十二講 聯用函數與方程思想方法

第十三講 運用函數與方程思想解三角問題

第十四講 運用函數與方程思想解數列問題

第十五講 運用函數與方程思想解解析幾何問題

第十六講 運用函數與方程思想解立體幾何問題

第四章 變元與參數的思想方法

第十七講 運用輔助元法巧解數學題

第十八講 三角換元一一三角學的智能之果

第十九講 變元四大策略：均值代換、和差代換、倒置代換、常值代換

第二十講 參變分離一一一種“反客為主”的解題法

第二十一講 參數思想解題是個“好念頭”

第五章 數與形結合的思想方法

第二十二講 實現數形結合的關鍵是轉化

第二十三講 數形轉化和知識板塊之間的轉化相交融

第二十四講 以數輔形三大法寶（代數法、解析法、向量法）

第二十五講 以形助數兩大抓手（利用函數圖像，揭示內在幾何意義）

第二十六講 以形助數還要抓住形的動態過程

第二十七講 數形兼顧、相互補充

第二十八講 “構造法”是數形結合的橋梁

第二十九講 數形結合研究函數的性質

第三十講 數形結合解不等式

第三十一講 數形結合解函數零點（方程根）的問題

第三十二講 數形結合解三角問題

第三十三講 數形結合解平面向量問題

第三十四講 數形結合解解析幾何問題

第六章 對稱與對偶的思想方法

第三十五講 運用“對稱變換”的思想方法解題

第三十六講 構造“對偶式”，巧解數學問題

第七章 轉化與變換的思想方法

第三十七講 正與反的轉化與變換

第三十八講 一般與特殊的轉化與變換

第三十九講 有限與無限之間的轉化與變換

第四十講 多元與一元的轉化與變換

第四十一講 常量與變量的轉化與變換

第四十二講 相等與不等之間的轉化與變換

第四十三講 數與形的轉化與變換

第四十四講 高維向低維的轉化與變換

第四十五講 高次向低次的轉化與變換

第四十六講 新知識向舊知識的轉化與變換

第四十七講 命題之間的轉化與變換

第八章 化歸與辯證的思想方法

第四十八講 縱向化歸解題法

第四十九講 橫向化歸解題法

第五十講 同向化歸解題法

第五十一講 逆向化歸解題法

第五十二講 互變思想在解題中的運用

第九章 特殊與一般的思想方法

第五十三講 特殊化法求解填空題、選擇題

第五十四講 運用特殊與一般的辯證關係優化解題方法

第十章 整體與局部的思想方法

第五十五講 整體與局部

第五十六講 整體代換法

第五十七講 整體處理法

第五十八講 構造整體法

第十一章 分類與整合的思想方法

第五十九講 分類討論是一種重要的解題策略

第六十講 運用分類討論法解含參數函數、方程、不等式問題

第六十一講 運用分類討論法解三角函數問題

第六十二講 運用分類討論法解復數、平面向量問題

第六十三講 運用分類討論法解數列問題

第六十四講 運用分類討論法解排列組合、二項式定理問題

第六十五講 運用分類討論法解概率問題

第六十六講 運用分類討論法解解析幾何問題

第六十七講 運用分類討論法解立體幾何問題

第六十八講 簡化和避免分類討論的途徑

第十二章 歸納與類比的思想方法

第六十九講 運用類比思想和方法求解推廣性問題

第七十講 用不完全歸納法猜想，以完全歸納法證明猜想

第十三章 演繹與推理的思想方法

第七十一講 合情推理與演繹推理

第七十二講 直接證明與間接證明