數理方程典型應用案例及理論分析（簡體書）

本書在參考同類教材的基礎上，結合傳統的理論推導，增加了相應應用案例的分析及求解過程，希望能激發課程學習者對專業的興趣。全書共分為4章，前3章分別介紹熱傳導方程、波動方程和調和方程等3類典型方程，第4章介紹一般二階線性偏微分方程的分類。每個章節遵循工程問題的分析、定解問題的提出、定解問題的求解及分析的思路，旨在引導學生在學習過程中能夠結合本專業的知識，用數學方程描述工程或者生活中遇見的波動、傳熱等現象，並在特定的條件下對方程進行求解和分析。
本書可供高等院校機械、能源等工科類專業本科生學習數學物理方程同時瞭解、學習本專業的知識，也可供社會讀者和工程技術人員閱讀參考。

尹麗潔，女，工學博士，同濟大學副教授、博士生導師。主要研究方向為能源與環境、多相流數值仿真。主持國家自然科學基金青年基金1項，參與國家863計劃、國家重點研發、上海市科委科研計劃課題等縱向課題10余項。獲教育部自然科學獎二等獎1項。

一部新工科建設下借鑒德國數學類課程體系，探究數學理論在機械能源學科應用案例教學的交叉融合、創新教材

《數理方程典型應用案例及理論分析》一書特點如下：1. 從實際工程應用的角度出發，結合傳熱學、流體力學、理論力學等專業基礎課，給出了大量實際問題的詳細求解過程。

2. 結構脈絡清晰，章節遵循工程問題的分析、定解問題的提出、定解問題的求解及分析的思路，引導學生結合本專業的知識，用偏微分方程描述工程或者生活中遇見的波動、傳熱等現象，並在特定的條件下對方程進行求解。

3. 填補同類書中常見的傳統數學物理方程教材側重求解的數學方法、缺少具體案例分析的詳細過程，使得學生學習不再抽象和困難。

4. 教材中給出大量例題，附有10多個典型應用算例，並在每章末給出要點小結強化理解和掌握，提供特色習題加以訓練。理實一體，簡潔夠用。

《數理方程典型應用案例及理論分析》一書列入“中德機械與能源工程人才培養創新教材”。叢書中《常微分方程典型應用案例及理論分析》《數學建模典型應用案例及理論分析》《數值分析典型應用案例及理論分析(上冊)》《數值分析典型應用案例及理論分析(下冊)》《典型機構技術指南――認識―分析―設計―應用》共5分冊均已出版。有興趣的讀者可根據需要選擇、參考。

第1章熱傳導方程1

1．1熱傳導方程的導出3

1．1．1無內熱源熱傳導方程的導出3

1．1．2有內熱源熱傳導問題的導出4

1．2熱傳導方程的初邊值問題7

1．2．1定解條件7

1．2．2定解問題9

1．3熱傳導方程初邊值問題的分離變量法10

1．3．1疊加原理10

1．3．2分離變量法10

1．3．3非齊次熱傳導方程初邊值問題15

1．4熱傳導方程柯西問題的積分變換法18

1．4．1傅裡葉變換的概念和性質18

1．4．2齊次熱傳導方程柯西問題20

1．4．3非齊次熱傳導方程柯西問題21

1．5熱傳導方程的基本理論24

1．5．1極值原理24

1．5．2初邊值問題解的唯一性和穩定性25

1．5．3柯西問題解的唯一性和穩定性26

1．6熱傳導方程的應用案例27

1．6．1無限大平壁導熱問題27

1．6．2大顆粒炭內部熱應力的分佈及熱應力破碎理論31

1．6．3電流傳輸導熱問題33

1．6．4太陽能集熱器導熱問題35

1．6．5擴散問題41

1．6．6一維擴散反應問題43

1．6．7蔬菜大棚濕度擴散問題46

1．6．8非平衡截流子擴散問題49

小結52

習題52



第2章波動方程55

2．1波動方程的導出57

2．1．1弦振動方程的導出57

2．1．2膜振動方程的導出62

2．2弦振動方程的初邊值問題64

2．3弦振動方程的柯西問題的行波法66

2．3．1達朗貝爾公式66

2．3．2傳播波69

2．3．3依賴區間、決定區域和影響區域69

2．3．4半無界弦及有界弦的振動問題70

2．3．5非齊次弦振動方程的柯西問題72

2．4弦振動方程的初邊值問題的分離變量法75

2．4．1弦振動方程的分離變量法75

2．4．2解的物理意義81

2．4．3非齊次弦振動初邊值問題82

2．4．4非齊次邊界條件83

2．5三維波動方程的柯西問題的球平均法85

2．5．1齊次三維波動方程的柯西問題85

2．5．2非齊次三維波動方程的柯西問題87

2．6二維波動方程的柯西問題的降維法89

2．7波的傳播與衰減90

2．7．1依賴區域、決定區域、影響區域和特徵錐90

2．7．2泊松公式的物理意義、惠更斯原理92

2．8波動方程的基本理論93

2．8．1振動的動能和位能 93

2．8．2初邊值問題解的唯一性與穩定性 94

2．8．3柯西問題解的唯一性與穩定性 97

2．9波動方程的應用案例100

2．9．1波動方程在均勻傳輸線方程中的應用100

2．9．2弦振動方程在斜拉橋上的應用101

2．9．3波動方程在動力打樁中的應用106

2．9．4波動方程在琴弦發聲中的應用110

2．9．5波動方程在高頻輸電斷路中的應用113

小結114

習題114



第3章調和方程117

3．1調和方程的導出119

3．2調和方程的邊值問題120

3．3格林公式及其應用121

3．3．1格林公式121

3．3．2調和函數的基本性質122

3．4格林函數126

3．4．1格林函數的概念126

3．4．2格林函數的基本性質128

3．5靜電源像法129

3．5．1球域的格林函數129

3．5．2半空間的格林函數131

3．5．3二維區域的格林函數131

3．6調和方程的基本理論134

3．6．1極值原理134

3．6．2邊值問題解的唯一性136

3．7調和方程的應用案例137

3．7．1導體槽內的電位分佈問題137

3．7．2油氣滲流問題139

小結139

習題139



第4章二階線性偏微分方程的分類141

4．1二階線性偏微分方程的分類與化簡143

4．1．1兩個自變量二階線性偏微分方程的分類143

4．1．2兩個自變量二階線性偏微分方程的化簡144

4．1．3化二階線性偏微分方程為標準型146

4．2三類方程的比較150

4．2．1線性方程的疊加原理150

4．2．2三類方程解的性質的比較152

4．2．3三類方程定解問題提法的比較155

小結158

習題159



參考文獻160