R-Calculus, II: Many-Valued Logics
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1 Introduction 111.1 Belief revision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 R-calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Contents in the first-volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Contents in this volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 R-Calculus For Propositional Logic 242.1 Basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Monotonic tableau proof systems . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.1 Tableau proof system Tf . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.2 Tableau proof system Tt . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3 Nonmonotonic tableau proof systems . . . . . . . . . . . . . . 312.3.1 Tableau proof system St . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.2 Tableau proof system Sf . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4 R-calculi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4.1 R-calculus Rt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4.2 R-calculus Rf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5 Projecting R-calculi to tableau proof systems . . . . . . . . . 412.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 R-Calculus For L3-Valued Propositional Logic 453.1 Basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2 Monotonic tableau proof systems . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2.1 Tableau proof system Tt . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2.2 Tableau proof system Tm . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.3 Tableau proof system Tf . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3 Nonmonotonic tableau proof systems . . . . . . . . . . . . . . 523.3.1 Tableau proof system St . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3.2 Tableau proof system Sm . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3.3 Tableau proof system Sf . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4 R-calculi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4.1 R-calculus Rt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.4.2 R-calculus Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4.3 R-calculus Rf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.5 Satisfiability and unsatisfiability . . . . . . . . . . . . . . . . 653.5.1 t-satisfiability and t-unsatisfiability . . . . . . . . . . 653.5.2 m-satisfiability and m-unsatisfiability . . . . . . . . . . 673.5.3 f-satisfiability and f-unsatisfiability . . . . . . . . . . 683.6 Projecting R-calculi to tableau proof systems . . . . . . . . . 703.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4 R-Calculus For L3-Valued PL, II 754.1 Monotonic tableau proof systems . . . . . . . . . . . . . . . . 754.1.1 Tableau proof system Tt . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.1.2 Tableau proof system Tm . . . . . . . . . . . . . . . . 774.1.3 Tableau proof system Tf . . . . . . . . . . . . . . . . 784.2 Nonmonotonic tableau proof systems . . . . . . . . . . . . . . 794.2.1 Tableau proof system St . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2.2 Tableau proof system Sm . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.2.3 Tableau proof system Sf . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.3 R-calculi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.3.1 R-calculus Rt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.3.2 R-calculus Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2 R-Calculus For Propositional Logic 242.1 Basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Monotonic tableau proof systems . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.1 Tableau proof system Tf . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.2 Tableau proof system Tt . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3 Nonmonotonic tableau proof systems . . . . . . . . . . . . . . 312.3.1 Tableau proof system St . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.2 Tableau proof system Sf . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4 R-calculi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4.1 R-calculus Rt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4.2 R-calculus Rf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5 Projecting R-calculi to tableau proof systems . . . . . . . . . 412.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 R-Calculus For L3-Valued Propositional Logic 453.1 Basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2 Monotonic tableau proof systems . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2.1 Tableau proof system Tt . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2.2 Tableau proof system Tm . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.3 Tableau proof system Tf . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3 Nonmonotonic tableau proof systems . . . . . . . . . . . . . . 523.3.1 Tableau proof system St . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3.2 Tableau proof system Sm . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3.3 Tableau proof system Sf . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4 R-calculi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4.1 R-calculus Rt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.4.2 R-calculus Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4.3 R-calculus Rf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.5 Satisfiability and unsatisfiability . . . . . . . . . . . . . . . . 653.5.1 t-satisfiability and t-unsatisfiability . . . . . . . . . . 653.5.2 m-satisfiability and m-unsatisfiability . . . . . . . . . . 673.5.3 f-satisfiability and f-unsatisfiability . . . . . . . . . . 683.6 Projecting R-calculi to tableau proof systems . . . . . . . . . 703.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4 R-Calculus For L3-Valued PL, II 754.1 Monotonic tableau proof systems . . . . . . . . . . . . . . . . 754.1.1 Tableau proof system Tt . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.1.2 Tableau proof system Tm . . . . . . . . . . . . . . . . 774.1.3 Tableau proof system Tf . . . . . . . . . . . . . . . . 784.2 Nonmonotonic tableau proof systems . . . . . . . . . . . . . . 794.2.1 Tableau proof system St . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2.2 Tableau proof system Sm . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.2.3 Tableau proof system Sf . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.3 R-calculi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.3.1 R-calculus Rt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.3.2 R-calculus Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
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