應用數學(第3版)（簡體書）

本書共11個單元，主要內容有：緒論、函數、極限與連續、導數與微分、導數的應用、不定積分、定積分及其應用、常微分方程、拉普拉斯變換、線性代數簡介和數學建模. 本書對內容進行了重構，劃分為百余個知識要點，對部分知識要點採用“理論—例題—練習”的模塊化結構編寫，力求讓學生熟練掌握和運用該知識點.本書對於部分知識在實際生活中的應用，進行了提煉和重點介紹. 本書將教學與輔導融為一體，一書兩用，例題、習題豐富，重點內容滾動復習，便於學生自學.本書在內容的選編上同時兼顧學生專升本的升學需要，並在相應章節的例題、習題中選配了往屆專升本的部分典型試題. 本書內容通俗易懂、直觀精煉，突出實用性、應用性，可作為高職高專各專業的高等數學教材，也可供參加專升本入學考試的考生復習參考.

本教材主編謝穎，副教授，畢業於哈爾濱師範大學，基礎數學專業。學校數學教研室主任，學科帶頭人，有近20年的教學經驗，多年來從事高等數學的研究與教學工作，具有一定的理論功底，具有非常豐富教學實踐和科研能力；在教學和教學改革上表現較為突出。多年來運用自己獨到的教學方式，所帶的教學班在高等數學考試中始終保持名列前茅的通過率。並先後在國家公開刊物上發表論文10余篇，編寫教材三部，研究成果豐厚，同時也積極參與學院組織高等數學教學改革、教學大綱的制定與修改的工作，積累了較豐富的學術底蘊，總結了大量的交流心得，在實際教學中頗具推廣意義。對本教材所涉及內容有獨特深入的思考和研究，特別是在理論和實踐相結合，增強教材的科學性、實用性方面，有很強的把握和創新能力

本書遵循職業教育教材編寫規律和職業院校學生學習規律，配套齊全。

前　言
為滿足我國高等職業教育蓬勃發展的需要， 我們根據高職教學的特點， 在研究、剖析、
對比多種同類教材和廣泛吸取全國同行意見的基礎上精心選擇教材內容而編寫了本書。書中
突出了應用數學“掌握要領、強化應用、培養技能” 的原則， 充分體現了以應用為目的的高
職教學基本原則． 修訂後的教材具有以下特點：
１ 體現立德樹人
章末設“數學廣角” 融入數學歷史、數學文化、數學人物等內容， 有助於加深學生對數
學知識的理解， 使學生在掌握知識的同時， 領會人生哲理， 樹立正確的人生觀．
２ 強調學以致用
本書重點強調了數學概念與實際問題的聯繫， 且充分考慮了高職高專學生的數學基礎，
適當配備了微積分在幾何、物理、力學、經濟等方面的應用實例， 適用專業面較廣．
３ 注意初高銜接
書中對於初等數學與應用數學（高等數學） 的聯繫和區別進行了梳理， 有利於學生做好
知識銜接工作．
４ 強調方法指引
書中對於學習方法進行了梳理， 提出了具體的學習環節要求和學習方法， 有利於學生自
查， 幫助學生更快地進入學習狀態．
５ 融入數字資源
書中以二維碼的形式融入了多個視頻資源， 方便學生自學這些知識點， 實現了數紙融合．
本書適用於１５０ 課時以內的教學， 可供各專業的高職高專學生使用和參考．
本書的主要內容有： 緒論、函數、極限與連續、導數與微分、導數的應用、不定積分、
定積分及其應用、常微分方程、拉普拉斯變換、線性代數簡介和數學建模．
參加本書編寫的有： 哈爾濱職業技術學院謝穎（ 第８ ～ １１ 章及附錄）、哈爾濱職業技術
學院郭鑫（第１ ～７ 章）． 本書由謝穎負責總體規劃， 由彭彤主審．
由於編者水平所限， 書中存在不足和考慮不周之處， 期望得到專家、同行和讀者的批評
指正， 以使本書在教學實踐中不斷完善．
編　者

目　錄
前　言
二維碼索引
第1 章　緒　論／ ００１
數學的作用與意義／ ００２
應用數學與初等數學的聯繫與區別／ ００３
如何學好應用數學／ ００４
綜合練習／ ００６
第2 章　函　數／ ００７
區間與鄰域／ ００８
函數的定義、表示法及幾何意義／ ００９
函數的有界性／ ０１１
函數的單調性／ ０１１
函數的奇偶性／ ０１２
函數的周期性／ ０１３
反函數／ ０１４
分段函數／ ０１５
基本初等函數／ ０１６
復合函數和初等函數／ ０１７
函數模型的建立———幾何方面／ ０１８
函數模型的建立———經濟方面／ ０１９
綜合練習／ ０２３
第3 章　極限與連續／ ０２５
數列的概念／ ０２６
數列的極限／ ０２７
函數的極限／ ０２８
極限的運算法則／ ０３０
極限存在的準則／ ０３２
第一個重要極限ｌｉｍ ｘ→０
ｓｉｎ ｘ
ｘ ＝１ ／ ０３３
第二個重要極限ｌｉｍ ｘ→∞ １ ＋ １ｘ ( )ｘ ＝ ｅ ／ ０３５
無窮小／ ０３７
無窮大／ ０３８
無窮小的性質／ ０３９
無窮小與無窮大的關係／ ０４０
無窮小的比較／ ０４１
函數的連續與間斷／ ０４４
復合函數的連續性／ ０４７
反函數的函數連續性／ ０４８
初等函數的連續性／ ０４８
閉區間上連續函數的性質／ ０４９
綜合練習／ ０５０
第4 章　導數與微分／ ０５３
導數概念的引入／ ０５４
導數的定義／ ０５５
利用定義求導數／ ０５７
導數的幾何意義／ ０５９
導數的物理意義／ ０６０
導數的經濟意義／ ０６０
可導與連續的關係／ ０６１
函數的四則運算求導法則／ ０６３
復合函數的求導法則／ ０６５
反函數的求導法則／ ０６８
常數和基本初等函數的求導公式／ ０７０
高階導數的定義／ ０７０
二階導數的物理意義／ ０７１
隱函數的定義／ ０７３
隱函數的求導法則／ ０７３
參數方程確定的函數求導法則／ ０７５
函數微分的概念／ ０７６
微分的幾何意義／ ０７８
微分的運算／ ０７９
微分在近似計算中的應用／ ０８１
綜合練習／ ０８２
第5 章　導數的應用／ ０８５
羅爾（Ｒｏｌｌｅ） 定理／ ０８６
拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ） 中值定理／ ０８８
柯西（Ｃａｕｃｈｙ） 中值定理／ ０９１
洛必達法則／ ０９２
函數的單調性／ ０９５
函數的極值／ ０９７
函數的最值／ １００
函數的凹凸性及拐點／ １０２
弧微分／ １０４
曲率／ １０５
導數在經濟分析中的應用———邊際成本／ １０７
導數在經濟分析中的應用———需求彈性分析／ １１０
綜合練習／ １１３
第6 章　不定積分／ １１５
原函數的概念／ １１６
不定積分的概念／ １１７
不定積分的幾何意義／ １１９
積分基本公式／ １２０
積分的基本運算法則／ １２１
直接積分法／ １２２
第一類換元積分法／ １２４
第二類換元積分法／ １３１
分部積分法／ １３４
積分表的應用／ １３８
綜合練習／ １４２
第7 章　定積分及其應用／ １４５
定積分概念的引入／ １４６
定積分的定義／ １４８
定積分的幾何意義／ １５０
定積分的性質／ １５２
定積分的計算公式———變上限函數／ １５４
牛頓?萊布尼茨公式／ １５５
定積分的換元法／ １５７
定積分的分部積分法／ １６０
廣義積分———無限區間上的積分／ １６２
廣義積分———無界函數的積分／ １６５
定積分的應用———微元法／ １６７
定積分的應用———平面圖形的面積／ １６８
定積分的應用———體積／ １７１
定積分的應用———變力所做的功／ １７４
定積分的應用———液體的壓力／ １７６
定積分的應用———平均值／ １７８
定積分的應用———經濟領域／ １８０
綜合練習／ １８３
第8 章　常微分方程／ １８５
微分方程的基本概念／ １８６
一階微分方程———可分離變量的微分方程／ １８９
一階微分方程———一階線性微分方程／ １９１
可降階的高階微分方程／ １９４
二階線性齊次微分方程解的結構／ １９６
二階常系數線性微分方程的解法———二階常系數
　線性齊次微分方程／ １９７
二階常系數線性微分方程的解法———二階常系數
　線性非齊次微分方程／ ２００
微分方程應用舉例／ ２０３
綜合練習／ ２０７
第9 章　拉普拉斯變換／ ２０９
拉普拉斯變換的定義／ ２１１
單位脈衝函數及其拉氏變換／ ２１３
周期函數的拉氏變換／ ２１５
拉氏變換的性質———線性性質／ ２１７
拉氏變換的性質———延遲性質／ ２１８
拉氏變換的性質———位移性質／ ２１９
拉氏變換的性質———微分性質／ ２２０
拉氏變換的性質———積分性質／ ２２１
拉氏變換的性質———相似性質／ ２２２
拉氏變換的性質———其他性質／ ２２３
拉普拉斯逆變換———查表法／ ２２５
拉普拉斯逆變換———部分分式法／ ２２７
拉氏變換的應用———微分方程的拉氏變換解法／ ２３１
拉氏變換的應用———線性系統的傳遞函數／ ２３４
綜合練習／ ２３７
第10 章　線性代數簡介／ ２３９
二階行列式／ ２４０
三階行列式／ ２４２
三階行列式按行（列） 展開／ ２４４
ｎ 階行列式的定義／ ２４６
ｎ 階行列式的性質／ ２４８
ｎ 階行列式的計算／ ２５３
克萊姆法則／ ２５６
矩陣的概念／ ２５８
矩陣的運算／ ２６０
線性方程組的矩陣表示法／ ２６３
逆矩陣的定義／ ２６４
逆矩陣的求法／ ２６５
逆矩陣的性質／ ２６７
用逆矩陣法解矩陣方程／ ２６８
矩陣的初等變換／ ２６９
初等矩陣／ ２６９
初等變換求逆矩陣／ ２７０
矩陣的秩的定義／ ２７２
用初等變換求矩陣的秩／ ２７３
一般線性方程組／ ２７６
高斯消元法／ ２７８
線性方程組的相容性定理／ ２８１
線性方程組的通解／ ２８４
綜合練習／ ２８８
第11 章　數學建模／ ２９１
數學應用的廣泛性／ ２９２
數學模型／ ２９３
建立數學模型的方法和步驟／ ２９５
常見的數學模型———用數學模型解決智力遊戲問
　題／ ２９７
常見的數學模型———應用微分方程知識的數學模
　型／ ２９９
常見的數學模型———代數模型／ ３００
建模練習———七橋問題／ ３０１
建模練習———報童的策略／ ３０２
建模練習———體育訓練／ ３０３
建模練習———新產品的推銷／ ３０４
綜合練習／ ３０５
附錄／ ３０６
附錄Ａ　基本初等函數的圖形及主要性質／ ３０６
附錄Ｂ　常用積分公式／ ３０８
附錄Ｃ　拉普拉斯變換表／ ３１７
參考文獻／ ３２０