自動控制中的線性代數（簡體書）

《自動控制中的線性代數》共 9 章. 第 1~4 章詳細論述線性空間、矩陣和線性代數、線性映射和線性空間的分解. 第 5~9 章討論線性映射和矩陣的分解(包括譜分解、奇異值分解、滿秩分解和極分解)、範數、矩陣函數, 特別是解線性定常狀態方程所需的矩陣指數函數, 線性映射與矩陣的廣義逆, 矩陣方程(包括線性矩陣方程、連續時間和離散時間代數 Riccati 方程), 以及線性代數在自動控制中的應用(包括 Lyapunov 穩定性理論、可控可觀測性及可鎮定可檢測性分析、傳遞函數矩陣在RH∞ 中的互質分解、Hankel 算子的 Schmidt 分解).

目錄
第1章 線性空間與線性映射 1
1.1 線性空間 1
1.1.1 線性空間的概念 1
1.1.2 向量的線性相關性 3
1.2 基與坐標、坐標變換 5
1.2.1 基與維數、坐標 5
1.2.2 基變換與坐標變換 8
1.3 線性子空間 11
1.3.1 線性子空間的概念 11
1.3.2 子空間的交與和 13
1.3.3 子空間的直和、補子空間 17
1.4 線性映射 18
1.4.1 線性映射的定義 18
1.4.2 線性映射的矩陣表示 19
1.4.3 線性空間的同構 26
1.5 線性映射的值域與核 27
1.6 復合映射 31
1.7 商空間 32
1.8 習題 37
第2章 多項式矩陣與 Smith 標準形 42
2.1 多項式矩陣 42
2.2 初等變換與多項式矩陣的 Smith 標準形 44
2.3 初等因子與等價條件 51
2.4 多項式矩陣的理想與互質 57
2.5 習題 58
第3章 線性變換與空間分解 63
3.1 線性變換的特徵值和特徵向量 63
3.2 相似條件、相似化簡與自然標準形 70
3.2.1 矩陣相似條件 70
3.2.2 相似化簡與自然標準形 72
3.3 Cn×n 與 Rn×n 中的 Jordan 標準形 74
3.3.1 Cn×n 中的 Jordan 標準形 74
3.3.2 Rn×n 中的 Jordan 標準形 77
3.3.3 線性空間V的廣義特徵子空間分解 78
3.4 *小多項式與空間**分解定理 83
3.4.1 化零多項式與*小多項式 83
3.4.2 空間**分解定理 86
3.4.3 C 上 n 維線性空間 V 的分解 89
3.5 循環不變子空間與空間第二分解定理 100
3.5.1 循環不變子空間 100
3.5.2 空間第二分解定理 101
3.6 習題 108
第4章 酉空間及酉空間上的線性變換、二次型 111
4.1 內積空間 111
4.1.1 內積和內積空間的定義 111
4.1.2 內積空間的性質 113
4.1.3 酉空間的度量 116
4.2 標準正交基、Schmidt 正交化方法 117
4.3 酉變換與正交變換 122
4.4 冪等矩陣與正交投影 124
4.4.1 投影變換與冪等矩陣 124
4.4.2 正交補、正交投影 129
4.5 伴隨映射 131
4.6 正規變換與正規矩陣 135
4.7 Hermitian 矩陣與二次齊式 143
4.7.1 Hermitian 矩陣、實對稱矩陣 143
4.7.2 Hermitian 二次齊式 145
4.7.3 正定二次齊式、正定 Hermitian 矩陣 146
4.7.4 Hermitian 矩陣偶在合同變換下的標準形 151
4.8 Rayleigh 商 158
4.9 習題 163
第5章 線性映射與矩陣的分解 168
5.1 單純線性變換與矩陣的譜分解 168
5.1.1 單純線性變換的譜分解 168
5.1.2 單純矩陣的譜分解 174
5.1.3 正規變換與正規矩陣的譜分解 177
5.2 線性映射與矩陣的奇異值分解 185
5.3 線性映射與矩陣的滿秩分解 190
5.4 線性映射與矩陣的極分解 193
5.5 習題 196
第6章 範數及其應用 199
6.1 向量範數 199
6.2 矩陣與線性映射的範數 205
6.2.1 矩陣範數 205
6.2.2 矩陣的誘導範數與線性映射的範數 207
6.3 矩陣序列與極限 212
6.4 矩陣冪級數 214
6.5 習題 217
第7章 矩陣函數 223
7.1 齊次狀態方程的解與矩陣冪級數 223
7.2 矩陣函數的 Jordan 表達式 225
7.3 矩陣函數的多項式表示 227
7.4 矩陣函數的 Lagrange-Sylvester 內插公式 233
7.5 一階線性定常非齊次微分方程組的解 234
7.6 線性定常連續時間系統的穩定性 236
7.7 線性時變微分方程 x˙ (t) = A(t)x(t) 237
7.8 習題 242
第8章 線性映射與矩陣的三類廣義逆 245
8.1 線性映射與矩陣的廣義逆 245
8.1.1 線性映射的廣義逆 245
8.1.2 矩陣的廣義逆 251
8.2 線性映射與矩陣的自反廣義逆 255
8.2.1 線性映射的自反廣義逆 255
8.2.2 矩陣的自反廣義逆 257
8.3 線性映射與矩陣的偽逆 258
8.4 廣義逆與線性方程組的解 262
8.4.1 相容非齊次方程的解 262
8.4.2 相容非齊次方程的*小範數解 264
8.5 不相容非齊次方程的*優近似解 265
8.6 習題 267
第9章 矩陣方程及其應用 269
9.1 Kronecker 積的定義與性質 269
9.2 Kronecker 積的特徵值 273
9.3 線性矩陣方程 274
9.3.1 矩陣的列展開與行展開 274
9.3.2 線性矩陣代數方程 276
9.4 矩陣指數應用一: 穩定性理論 278
9.5 矩陣理論應用: 可控性與可觀測性 280
9.5.1 狀態可控性及其判據 280
9.5.2 狀態可觀測性及其判據 284
9.5.3 空間分解定理的應用: 可控性與可觀測性的本質 285
9.5.4 狀態反饋、極點配置與鎮定問題 287
9.5.5 狀態觀測器及輸出注入反饋 289
9.5.6 傳遞函數矩陣在 RH∞ 中的互質分解 291
9.5.7 可控性、可觀測性的度量與平衡實現 296
9.6 矩陣指數應用二: Hankel 算子及其 Schmidt 分解 300
9.6.1 Hankel 算子 300
9.6.2 Hankel 範數的計算 301
9.6.3 Hankel 算子的 Schmidt 分解 303
9.7 連續時間代數 Riccati 方程的解 305
9.8 離散時間代數 Riccati 方程的解 312
9.9 習題 318
符號表 325
附錄 A 基本代數系統 327
A.1 抽象代數的基本概念 327
A.2 群 327
A.2.1 多項式群 328
A.2.2 二進制加法群 329
A.3 環 331
A.4 域 333
附錄 B 多項式 334
B.1 線性代數 334
B.2 多項式環與 Euclidean 除法 337
B.3 多項式理想 340
B.4 多項式的因式分解 344
B.5 多項式的根與系數的關係 346
附錄 C 一些結果的證明 347
C.1 引理 2.2.1 和引理 2.2.2 的證明 347
C.1.1 引理 2.2.1 的證明 347
C.1.2 引理 2.2.2 的證明 348
C.2 確定過渡矩陣 X 350
參考文獻 358